shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ответ: a = , x1 = 2, x2 = 0.55⎩ x4 = x2 = 5a − 2 = 0⎪ x3 = 5a⎪ x = 5a − 2⎩ 426.5. D10. а) 449 x − 70 x + 26 = cos14πx – 81a2 – 72a – 13.Левая часть уравнения ≥ 4 (т. к. 49x2 – 70x + 26 ≥ 1).Правая часть уравнения ≤ 4 (т. к. –(81a2 + 72a + 13) ≤ 3.Получаем систему:⎧(7 x − 5) 2 = 0⎧⎪4(7 x − 5)2 +1 = 4⎪⇔ ⎨cos14πx = 1 ⇒⎨2⎪⎩3 + cos14πx − (9a + 4) = 4⎪2⎩(9a + 4) = 0⇒ равенство достигается при a =45, x = . Ответ: a =9745,x= .972б) 1425 x −10 x + 2 = cos10πx – 36a2 – 60 – 12.Левая часть уравнения ≥ 14 (т. к. 25x2 – 10x + 2 ≥ 1),правая часть уравнения ≤ 14 (т. к.
–(36a2 + 60a + 12) ≤ 13⇒ равенство достигается при a =()2(6.5. D11. а) 3a 2 − 10a + 3 + 3x2+x51, x = . Ответ: a =65− 243a)251,x= .65= 0.471Сумма квадратов равна 0 ⇔ каждый из них = 0 ⇒⎧⎪3a 2 − 10a + 3 = 0;⎨ x2 + x= 35 a⎪⎩3При a = 3: x2 + x – 6 = 0; x1 = –3, x2 = 2.−1 ± 17.21−1 ± 17Ответ: при a = 3, x = 2, x = –3, при a = , x =.3213При a = : x2 + x – 4 = 0, D = 1 + 16 = 17; x3,4 =2б) (2a2 – 5a + 2)2 + (2 x + 2 x − 128a) 2 = 0.Сумма квадратов равна 0 ⇔ каждый из них равен 0 ⇒⎧⎪2a 2 − 5a + 2 = 0;⎨ x2 + 2 x= 27 a⎪⎩2При a = 2: x 2 + 2x – 8 = 0; x1 = –4; x2 = 2.1 2: x + 2x – 6 = 0; x3,4 = −1 ± 7 .21Ответ: при a = 2 x = 2 x = –4; при a =x = −1 ± 7 .2⎧⎪81x − 2 ≤ 98b +13 ⎧2 x ≤ 8b + 176.5.D12.
а) ⎨ x + 2. ⎨;8b +15⎩2 x ≥ 8b + 11⎪⎩36 ≥ 6При a =1117 ⎤⎡x ∈ ⎢ 4b + ; 4b + ⎥ ;22⎦⎣17⎧1 + k = 4b +2 ;⎪1 − k = 4b + 11⎪⎩2⎪т.к. корни симметричны относительно 1 ⇒ ⎪⎨322 = 8b + 14; b = − .32Ответ: b = − .x −111b + 6⎪⎧36 ≤ 6⎧2 x ≤ 11b + 8. ⎨;11b + 7x +1819≥⎩2 x ≥ 11b + 5⎪⎩⎡11b 5 11b⎤x∈⎢+ ;+ 4⎥ ;⎣ 2 2 2⎦б) ⎨т.к. корни симметричны относительно 7 ⇒11b⎧⎪⎪7 + k = 2 + 4;⎨⎪7 − k = 11b + 5⎪⎩2 247214 = 11b + 61;228 = 22b + 13;b=1515. Ответ: b =.2222§ 6. Логарифмическая функция6.6.D01.
а) log0,5(ax2 – (a + 1)x + 6) = log0,5(3x2 – (a + 1)x + 2a).x2(a – 3) = 2a – 6;т.к. при a = 3 бесконечно много решений, а при остальных a их ≤ 2 ⇒Ответ: a = 3.б) log0,1(ax2 – (a – 4)x + 4) = log0,1(4x2 – (a – 4)x + a).x2(a – 4) = a – 4;т.к. при a = 4 бесконечно много решений, а при остальных a их ≤ 2 ⇒Ответ: a = 4.6.6.D02. а) 2 + log2(x – 3a – 4) ≤ log2(–x – 2a – 21).Сначала решим при всех a: 4x – 12a – 16 ≤ –x – 2a – 21; 5x ≤ 10a – 5;⎧ x ≤ 2a − 1⎪⎨ x > 3a + 4 ;⎪ x < −2a − 21⎩3a + 4 < –2a – 21;a < –5 — ОДЗ;2a – 1 > 3a + 4;a < –5;т.о.
решения нет при a ≥ –5. Ответ: a ≥ –5.б) 1 + log3(x – a + 2) ≤ log3(–x – 7a + 22).Сначала решим при всех a: 3x – 3a + 6 ≤ –x – 7a + 22; 4x ≤ –4a + 16;⎧x ≤ 4 − a⎧a − 2 < 22 − 7a ⎧a < 3⎪; ⎨.⎨x > a − 2 ; ⎨⎩a < 3⎪ x < 22 − 7a ⎩4 − a > a − 2⎩Т.о. решений нет при a ≥ 3.Ответ: a ≥ 3.6.6.D03. а) (4x + 2a – 3)(x – 2a + 3)log4x = 0.⎧⎪ x1 = 1⎪нули: ⎨ x2 = 2a − 3 ;⎪13⎪ x3 = − a +⎪⎩24x > 0;⎧ 2a − 3 > 0⎪1) ⎨ a 3;⎪⎩− 2 + 4 ≤ 0⎧⎪⎪a >⎨⎪a ≥⎪⎩32 ⇒ a>3;322473⎧ 2a − 3 ≤ 0⎪2) ⎨ 1 3;⎪⎩− 2 + 4 > 0⎧⎪⎪a ≤⎨⎪a <⎪⎩332 ⇒a< ;322но т.к. должны быть 2 различных решения ⇒ при a = 1 x1 = x2 = 1,x3 < 0 ⇒ не подходит ⇒12Ответ: a ≠ 2, a ≠ − , a ≠3.2б) (7x + a + 2)(x – a – 2)log7x = 0.⎧⎪ x1 = 1⎪нули: ⎨ x2 = a + 2 ;⎪−a − 2⎪ x3 =⎪⎩7x > 0;⎧a + 2 > 0⎧ a > −2; ⎨⇒ a > −2 ;−a−2≤0⎩⎩ a ≥ −21) ⎨⎧−a + 2 ≤ 0⇒ a < −2 ;⎩−a − 2 > 02) ⎨но т.к. должны быть 2 различных решения ⇒ x2 = 1 x3 = 1 не подходит ⇒Ответ: a ≠ 2, a ≠ –1, a ≠ –9.6.6.D04.
а) alog42x – (2a + 3)log4x + 6 ≤ 0.x > 0;1) a = 0; –3log4x + 6 ≤ 0, не одно решение;2) a ≠ 0;D = 4a2 + 12a + 9 – 24a = (2a – 3)2 = 0 ⇒одно решение при a =33. Ответ: a = .22б) alog22x – (3a – 2)log2x – 6 ≤ 0.1) a = 0; 2log2x – 6 ≤ 0, много решений;2) a ≠ 0;D = 9a2 + 4 – 12a + 24a = (3a + 2)2 = 0 ⇒23одно решение будет при a = − .23Ответ: a = − .6.6.D05.
а) (lg2x – 4algx + 3a2)2 + (a2 – a – 6)2 = 0.сумма квадратов равна 0 ⇔ каждый член из этой суммы равен 0 ⇒22⎪⎧lg x − 4a lg x + 3a = 0;⎨ 2⎪⎩a − a − 6 = 0474При a = 3: lg2x – 12lgx + 27 = 0; lgx = 3; lgx = 9.При a = –2: lg2x + 8lgx + 12 = 0; lgx = –6; lgx = –2юОтвет: При a = 3, x = 1000; x = 109; при a = –2, x =11; x = 6 ; при10210других a — решений нет.б) (lg2x + 3algx + 2a2)2 + (a2 – 2a – 3) = 0.сумма квадратов равна 0 ⇔ каждый из членов этой суммы равен 0 ⇒22⎪⎧lg x + 3a lg x + 2a = 0;⎨ 2⎪⎩a − 2a − 3 = 0При a = 3: lg2x + 9lgx + 18 = 0; lgx = –3; lgx = –6.При a = –1: lg2x – 3lgx + 2 = 0; lgx = 2; lgx = 1.Ответ: если a = –1, то x = 100; x = 10;если a = 3, то x = 10–6; x = 10–3;при других a решений нет.6.6.D06.а) 4log7sinx + alog7sinx – (a2 – 4a – 5) = 0.1) a = –4 — нет решений.2) a ≠ –4log 7 sin x =(a − 5)(a + 1)≤ 0 (если sinx ∈ (0; 1]4+a++– –4––15a ∈ (–∞; –4) ∪ [–1; 5]Ответ: a ∈ (–∞; –4] ∪ [–1; 5].б) 6log4sinx + alog4sinx – a2 + 7a – 10 = 0.1) a = –6 — нет решений.2) a ≠ –6(a − 2)(a − 5)log 4 sin x =≤ 0 (т.к.
sinx ∈ (0; 1])6+a+– –6+2–5a ∈ (–∞; –6) ∪ [2; 5]Ответ: a ∈ (–∞; –6) ∪ [2; 5].6.6.D07.а) (x – 14)(x – 26) a 2 − 24a log13 ( x − 13) − 25 ≥ 0 .Чтобы x = 14 было решением, а x = 26 — не было, необходимо, чтобыподкоренное выражение при x = 14 было ≥ 0, а при x = 26 ≤ 0.2⎪⎧a − 24a ⋅ log13 1 − 25 ≥ 0;⎨ 2⎪⎩a − 24a − 25 < 0475⎧a ∈ (−1; 25)⎪⇒⎨⎡a ≥ 5⎪ ⎢ a ≤ −5⎣⎩Ответ: a ∈ [5; 25).б) (x – 16)(x – 30) a 2 − 15a log15 ( x − 15) − 16 ≥ 0 .Чтобы x = 16 было решением, а x = 30 не было необходимо, чтобыподкоренное выражение при x = 16 было ≥ 0, а при x = 30 меньше 0.⎧⎡a ≥ 42⎪⎪⎧a − 16 ≥ 0⇒⎨ 2; ⎨ ⎢⎣ a ≤ −4⇒⎪⎩a − 15a − 16 < 0 ⎪⎩a ∈ (−1; 16)Ответ: a ∈ [4; 16).6.6.D08.а)13log12 (10 x 2 + 1) + 15=a.1 − 3log12 (10 x 2 + 1)log12(10x2 + 1)(13 + 3a) = a – 15;13— решений нет;3132) a ≠ − ;3a − 15log12(10x2 + 1) =≥ 0 (т.к.
10x2 + 1 ≥ 1);3a + 1313 ⎞⎛a ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ [15; +∞ ) ;3⎠⎝1) a = −⎛⎝Ответ: a ∈ ⎜ −∞; −б)13 ⎞⎟ ∪ [15; +∞ ) .3⎠9 log 7 ( x 2 + 1) + 4=a.13 − 7 log 7 ( x 2 + 1)log7(x2 + 1)(9 + 7a) = 13a – 4;9— решений нет;792) a ≠ − ;713a − 42log7(x + 1) =≥ 0 (т.к. x2 + 1 ≥ 1);7a + 99⎞ ⎡ 4⎛⎞a ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ ;7 ⎠ ⎣13⎝⎠1) a = −⎛⎝9⎞⎡4⎣⎞⎠Ответ: a ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ .713476⎠6.6.D09. а) (x2 – 13x + 42)log3(10 + a2(x – 6) – 7a(x – 6)2) ≤ 0.Чтобы x = 6 — было решение, а x = 7 — не было, необходимо, чтобы10 + a2(x – 6) – 7a(x – 6)2 при x = 6 было больше 0, а при x = 7 ≤ 0⎪⎧10 > 0;⎨ 2⎪⎩a − 7 a + 10 ≤ 0a ∈ [2; 5];Таким образом x = 6 будет всегда решением.Ответ: a ∈ [2; 5].б) (x2 – 11x + 30)log12(88 + a2(x – 5) – 19a(x – a)2) ≤ 0.Т.к.
x = 5 — всегда решение ⇒ чтобы x = 6 не было решением, необходимо,чтобы:88 + a2(x – 5) – 19a(x – 5)2 ≤ 0 при x = 6;a2 – 19a + 88 ≤ 0;D = 9;a ∈ [8; 11].Ответ: a ∈ [8; 11].6.6.D10. а) log42x – (6a + 23)log4x + 9a2 + 69a + 132 = 0.D = 36a2 + 529 + 276a – 36a2 – 276a – 528 = 1;log4x = 3a + 11;x1 = 43a+11;log4x = 3a + 12;x2 = 43a+12;т.к. x1 и x2 симметричны относительно x = 40 ⇒3a +12⎪⎧40 + k = 4;⎨3a +11⎪⎩40 − k = 480 = 5 ⋅ 43a+11;3a + 11 = 2;a = –3.Ответ: a = –3.б) log112x – (10a + 23)log11x + 25a2 + 115a + 132 = 0.D = 100a2 + 529 + 460a – 100a2 – 460a – 528;log11x = 5a + 12;x1 = 115a+12;log11x = 5a + 11;x2 = 115a+11;т.к. x1 и x2 симметричны относительно x = 66 ⇒⎧⎪66 + k = 115a +12;⎨5 a +11⎪⎩66 − k = 11132= 115a+11 ⋅ 12;5a + 11 = 1;a = –2;Ответ: a = –2.4776.6.D11.
а) log33= x 2 + (5b − 1)2 .14 x 2 + 31 – log3(14x2 + 3) = x2 + (5b – 1)2;Т.к. левая часть ≤ 0, а правая ≥ 0 ⇒ x = 0, b =Ответ: при b =б) log91.51x = 0.59= x 2 + (13b − 12) 2 .10 x 2 + 91 – log9(10x2 + 9) = x2 + (13b – 12)2;Т.к. левая часть уравнения ≤ 0, а правая ≥ 0 ⇒ решения ∃, только при x = 0,b=12.13Ответ: при b =12x = 0.136.6.D12. а) (2x2 – (a + 4)x + 2a) log 2Т.к.
log 2|x|≤ 0.2|x|≤ 0 при x ∈ [–2; 0) ∪ (0; 2] ⇒ необходимо, чтобы корни2уравнения 2x2 – (a + 4)x + 2a равнялись –2 и 2.⎧−4 = a⇒ a = –4.⎩−2 + 2 = a + 4По теореме Виета: ⎨Ответ: a = –4.б) (4x2 – (a – 12)x – 3a) log 4Т.к. log 4|x|≤ 0.3|x|≤ 0 при x ∈ [–3; 0) ∪ (0; 3] ⇒ необходимо, чтобы корни3уравнения 4x2 – (a – 12)x – 3a равнялись –3 и 3.По теореме Виета: −9 = −4783a⇒ a = 12. Ответ: a = 12.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
