shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 53
Текст из файла (страница 53)
проходя через нее y'(x) меняет знак с "+" на "–", то это точка максимума;⎛9 16 ⎞б) f(x)=ln(13x+9)+ln(16–13x), ОДЗ x ∈ ⎜ − , ⎟⎝ 13 13 ⎠f '( x) =⎛ 13x − 16 + 13x + 9 ⎞⎛⎞1313(26 x − 7)−= −13 ⎜⎟ = −13 ⎜⎟13x + 9 16 − 13x13+916−1313+916−13()()()()xxxx⎝⎠⎝⎠точка экстремума x =726т.к.
f'(x) меняет знак с "+" на "–", то это точка максимума.5.6.В07.а) f(x)=–5+(x–23)(ln(x–23)f'(x)=ln(x–23)+1=ln(e(x–23))f'(x)=0 при x − 23 =11⇒ x = 23 +eeИтак, x=23+e – точка экстремума;б) f(x)=13+(x+22)ln(x+22)f'(x)=ln(x+22)+1=ln(e(x+22))f'(x)=0, при x + 22 =11⇒ x = − 22ee1eИтак, x = − 22 – точка экстремума.5.6.В08.а) y(x) = ln(x + 21) – ln(x + 14) – 9.y′(x) =11−= 0;x + 21 x + 14x + 14 = x + 21;нет решений;y′(x) < 0.Ответ: функция монотонно убывает при x ∈ (–14; +∞).б) y(x) = ln(x + 7) – ln(x + 23) + 12.y′(x) =11−= 0;x + 7 x + 23x + 7 = x + 23;нет решений;427y′(x) > 0Ответ: функция монотонно возрастает при x ∈ (–7; +∞).5.6.В09.а) f(x)=ln(x–8)–21+21x+3, ОДЗ: x>8f '( x) =21⎛ 1⎞⎛ x−9⎞+ 21 = −21⎜− 1⎟ = 21⎜⎟x −8⎝ x −8 ⎠⎝ x −8 ⎠точка экстремума x=9, это точка минимума.б) f(x)=ln(x–13)13–13x+5, ОДЗ: x>13f '( x) =13⎛ 1⎞⎛ x − 14 ⎞− 13 = 13 ⎜− 1⎟ = −13 ⎜⎟x − 13⎝ x − 15 ⎠⎝ x − 13 ⎠точка экстремума x=14, это точка максимума.5.6.В10.а) y(x) = ln(11x – 10) – ln(10x – 11) + 11.y′(x) =1110⎛ 11⎞−= 0; D(y)= ⎜ ; +∞ ⎟11x − 10 10 x − 11⎝ 10⎠11(10x – 11) – 10(11x – 10) = 0;нет решений;y′(x) > 0;⎛ 11⎞; +∞ ⎟ .⎝ 10⎠Ответ: функция убывает при x ∈ ⎜б) y(x) = ln(9x – 13) – ln(13x – 9) – 2.y′(x) =913−= 0;9 x − 13 13x − 9⎛ 13⎞; +∞ ⎟ ;⎝9⎠9(13x – 9) – 13(9x – 13) = 0; D ( y ) = ⎜нет решений;y′(x) > 0.⎛ 13⎞; +∞ ⎟ .⎝9⎠Ответ: функция возрастает при x ∈ ⎜5.6.В11.а) f(x) = x2 – 16x + 14lnx – 3.
f′(x) = 2x – 16 +x2 – 8x + 7 = 0; x = 7; x = 1;f(7) = 49 – 112 + 14ln7 – 3 = –66 + 14ln7;f(1) = 1 – 16 – 3 = –18;f(1) — максимум.Искомое число: –17. Ответ: –17.14= 0;xб) f(x) = x2 – 13x + 11 lnx – 8. f′(x) = 2x – 13 +2x2 – 13x + 11 = 0; x1 = 1; x2 =f(1) = 1 – 13 – 8 = –20;42811;211= 0;x1119711⎛ 11 ⎞ 121 13 ⋅11f⎜ ⎟=−+ 11ln − 8 = −+ 11ln242242⎝ ⎠f(1) — максимум ⇒наименьшее целое число, большее –20 — это –19.Ответ: –19.5.6.В12.⎡ 1 ⎤а) f(x) = 4x2 – 12ln(x + 0,5) + 2, ⎢ − ; 1⎥ .⎣ 4 ⎦12= 0;f′(x) = 8x –x + 0,58x2 + 4x – 12 = 0; 2x2 + x – 3 = 0;3D = 1 + 24 = 25; x1 = − ; x2 = 1;233f(1) = 4 – 12 ln + 2 = 6 – 12 ln ;22111⎛ 1⎞ 1f ⎜ − ⎟ = − 12ln + 2 = 2 − 12ln .444⎝ 4⎠ 4⎛ 1⎞91Ответ: fmax = f ⎜ − ⎟ = − 12ln ;4⎝ 4⎠ 432fmin = f(1) = 6 – 12 ln .⎡ 1⎣⎤⎦б) f(x) = 7x2 – 21 ln(x + 0,5) – 2, ⎢ − ; 1⎥ .4f′(x) = 14x –21= 0;x + 0,53214x2 + 7x – 21 = 0; 2x2 + x – 3 = 0; x = − ; x = 1;3232f(1) = 7 – 21 ln – 2 = 5 – 21 ln ;191⎛ 1⎞ 7f ⎜ − ⎟ = − 21ln − 2 = −1 − 21ln ;4164⎝ 4 ⎠ 16⎛ 1⎞913Ответ: fmax = f ⎜ − ⎟ = −1 − 21ln ; fmin = f(1) = 5 – 21 ln .1642⎝ 4⎠Уровень С.5.6.С01.
а) f(x) = 2(x – 3)ln(x – 3) [3 + e–2; 3 + e3].f′(x) = 2ln(x – 3) + 2 = 0;x – 3 = e–1;x = 3 + e–1;f(3 + e–1) = 2(e–1)lne–1 = –2e–1;f(3 + e–2) = –4e–2;429f(3 + e3) = 6 ⋅ e3;Ответ: fmax = f(3 + e3) = 6e3; fmin = f(3 + e–1) = –2e–1.б) f(x) = 3(x – 3)ln(x – 3) [3 – e–2; 3 – e5].f′(x) = 3ln(x – 3) + 3 = 0;x = 3 + e–1;f(3 + e–1) = –3e–1;f(3 + e–2) = –6e–2;f(3 + e5) = 15e5; Ответ: fmax = f(3 + e5) = 15e5; fmin = f(3 + e–1) = –3e–1.855.6.С02. а) f(x) = (8x + 5)ln(8x + 5) + .ОДЗ: x > −58f′(x) = 8ln(8x + 5) + 8 ≥ 0;ln(8x + 5) ≥ –1;8x ≥ e–1 – 51858x ≥ e−1 − .18Ответ: при x ≥ e−1 −5⎤5⎛ 5 1— возрастает; при x ∈ ⎜ − ; e−1 − ⎥ — убывает.8⎦8⎝ 8 856б) f(x) = (5x – 6)ln(5x – 6) – .f′(x) = 5ln(5x – 6) + 5 ≥ 0;616; 5 x − 6 ≥ e−1 ; x ≥ e−1 + .555166⎤⎛6 1Ответ: при x ≥ e−1 + — возрастает; при x ∈ ⎜ ; e−1 + ⎥ — убывает.5⎦55⎝5 5ОДЗ: x >⎛ 1⎞5.6.С03.
а) f(x) = 6ln(3x + 1) + ln(4 – x). ОДЗ: x ∈ ⎜ − ; 4 ⎟ ;⎝ 3 ⎠f′(x) =18118 x − 72 + 3x + 121x − 71≥0;≥0;+≥0;(3x + 1)( x − 4)(3x + 1)( x − 4)3x + 1 x − 4–+x47121⎛ 1 71 ⎤⎡ 71 ⎞Ответ: x ∈ ⎜ − ; ⎥ — возрастает; x ∈ ⎢ ; 4 ⎟ — убывает.⎝ 3 21 ⎦⎣ 21 ⎠1−3б) f(x) = 5ln(2x – 3) + 2ln(6 – x).⎛3⎝2⎞⎠ОДЗ: x ∈ ⎜ ; 6 ⎟ ; f′(x) =–+3243010210 x − 60 + 4 x − 614 x − 66+=≥ 0;;2x − 3 x − 6(2 x − 3)( x − 6)(2 x − 3)( x − 6)3376x⎛ 3 33 ⎤⎡ 33 ⎞⎥ — возрастает; при x ∈ ⎢ 7 ; 6 ⎟ — убывает.27⎝⎦⎣⎠1125.6.С04. а) f(x) = x + ln(1 – 2x) + ln5. f′(x) = +≥ 0; ОДЗ: 1 – 2x > 0;44 2x −12x −1 + 82x + 7≥0;≥0;(2 x − 1)2x −1Ответ: при x ∈ ⎜ ;–+−72x12⎛7⎤⎡ 7 1⎞Ответ: при x ∈ ⎜ −∞; − ⎥ — возрастает; x ∈ ⎢ − ; ⎟ — убывает.2⎦⎝⎣ 2 2⎠3535б) f(x) = x + ln(5 – 2x) – ln8. f′(x) = +26 x − 15 + 106x − 5=≥0;≥0;2x − 55(2 x − 5)2x − 5ОДЗ: 5 – 2x > 0;–+56x52⎛⎝Ответ: при x ∈ ⎜ −∞;5⎤⎡5 5 ⎞— возрастает; при x ∈ ⎢ ; ⎟ — убывает.6 ⎦⎥⎣6 2 ⎠5.6.С05.
а) f(x) = 3x – 40ln(3x + 20) + 8. ОДЗ: 3x + 20 > 0;f′(x) = 3 −1209 x + 60 − 1203x − 20=≥0;≥ 0;3x + 203x + 203x + 20–+x20320−3Ответ: при x ≥20⎛ 20 20 ⎤— возрастает; x ∈ ⎜ − ;⎥ — убывает.3⎝ 3 3⎦б) f(x) = 11x – 18ln(11x + 9) + 10. ОДЗ: 11x + 9 > 0;f′(x) = 11 −18 ⋅11 11(11x + 9) − 18 ⋅1111x − 9=≥0;≥ 0;11x + 911x + 911x + 9–−911Ответ: x ≥+911x9⎛ 9 9⎤— возрастает; x ∈ ⎜ − ; ⎥ — убывает.11⎝ 11 11 ⎦5.6.С06. а) f(x) = 17x – 8ln(17x + 4) – 8. ОДЗ: 17x + 14 > 0;f′(x) = 17 –8 ⋅1717(17 x + 4) − 8 ⋅1717 x − 4≥ 0;=≥0;17 x + 417 x + 417 x + 4431–+x4174−17Ответ: при x ≥4⎛ 4 4⎤— возрастает; при x ∈ ⎜ − ; ⎥ — убывает.17⎝ 17 17 ⎦б) f(x) = 13x – 6ln(13x + 3) – 2; ОДЗ: 13x + 3 > 0;f′(x) = 13 –6 ⋅1313 x − 3≥ 0;≥0;13x + 313 x + 3–−+x313313⎛3 3⎤⎡3⎞Ответ: при x ∈ ⎜ − ; ⎥ — убывает, при x ∈ ⎢ ; +∞ ⎟ — возрастает.⎝ 13 13 ⎦⎣13⎠5.6.С07.
а) f(x) = 9x2 – 75x + 50lnx + 8. ОДЗ: x > 0;f′(x) = 18x – 75 +56x1 = ; x2 =50≥ 0; 18x2 – 75x + 50 ≥ 0; D = 5625 – 3600 = 452;x10;3++–560⎛⎝Ответ: при x ∈ ⎜ 0;103x5 ⎤ ⎡10⎞; +∞ ⎟ — возрастает;∪6 ⎦⎥ ⎣⎢ 3⎠⎡ 5 10 ⎤⎥ — убывает.⎣6 3 ⎦x∈⎢ ;б) f(x) = x2 – 25x + 33lnx – 5. ОДЗ: x > 0;f′(x) = 2x – 25 +33≥ 0;x2x2 – 25x + 33 ≥ 0; D = 625 – 264 = 192; x1 =⎛⎝Ответ: при x ∈ ⎜ 0;⎡3⎣23; x2 = 1123⎤∪ [11; +∞ ) — возрастает;2 ⎦⎥⎤⎦x ∈ ⎢ ; 11⎥ — убывает.5.6.С08. а) f(x) = x2 – 3x –f′(x) = 2x – 3 –43211ln(2x + 1)5 + ln3.
ОДЗ: 2x + 1 > 0; x > − ;2254 x2 − 4 x − 8( x − 2)( x + 1)= 0;=0;=2x +12x +12x + 1–+–1+–−12x2⎛ 1⎝⎤⎦Ответ: при x ≥ 2 — возрастает; x ∈ ⎜ − ; 2 ⎥ — убывает.2311ln(2x – 1)7 + ln7. ОДЗ: x > ; x > ;2232214 x + 4 x − 24( x − 3)( x + 2)=f′(x) = 2x + 3 –= 0;=0;2x −12x −12x −1б) f(x) = x2 + 3x ––++–x312–2⎛1⎝⎤⎦Ответ: при x ≥ 3 — возрастает; при x ∈ ⎜ ; 3⎥ — убывает.25.6.С09. а) f(x) = –5x – lnx>1. ОДЗ: 3x – 1 > 0;3x − 11;3f′(x) = –5 +–38 − 15 x= 0;=3x − 1 3x − 1+–x81513⎛18⎤8Ответ: возрастает при x ∈ ⎜ ; ⎥ ; убывает при x ≥ .15⎝ 3 15 ⎦19б) f(x) = x – ln(3x + 2). ОДЗ: 3x + 2 > 0; x > −19f′(x) = −+33x − 25== 0;3 x + 2 9(3 x + 2)+–2−32;3253Ответ: возрастает при x ≥x25⎛ 2 25 ⎤; убывает при x ∈ ⎜ − ;⎥.3⎝ 3 3⎦6⎞⎛⎝⎠420 x + 2== 0;f′(x) = 5 –664x +4x +55635.6.С10. а) f(x) = 5x – ln ⎜ 4 x + ⎟ + ln4.
ОДЗ: 4 x + > 0 ; x > − ;5105433+–−310+−x110Ответ: возрастает при x ≥ −11⎤⎛ 3; убывает при x ∈ ⎜ − ; − ⎥ .10 ⎦10⎝ 102x − ln( x + 5) + ln 7 . ОДЗ: x > –5;7212x + 3f ′( x) = −== 0;7 x + 5 7( x + 5)+–+x–53−23⎤3⎛Ответ: возрастает при x ≥ − ; убывает при x ∈ ⎜ −5; − ⎥ .2⎦2⎝б) f ( x) =x2– 16x + 207 ln(x + 16) + 10.2207= 0;f′(x) = x – 16 +x + 16x 2 − 49;f ′( x) =x + 165.6.С11. а) f(x) =x2 = 49; x = ±7 — критические точки.–++–x–16–77Ответ: x = 7 — точка min; x = –7 — max.x2288– 17x + 288ln(x + 17) + 10.
f′(x) = x – 17 +;x + 172x 2 − 17 2 + 288 x 2 − 1f ′( x) ===0;x + 17x + 17б) f(x) =x2 = 1;x = ±1 — критические точки.+–17+––11xОтвет: x = –1 — точка max; x = 1 — min.5.6.С12. а) f(x) = 20 x – lnx7 + 1. f′(x) =10 x − 7 x = 0 ; x (10 x − 7) = 0 ;7x=;104949x=. Ответ: x =.10010043410x−7= 0; ОДЗ: x > 0;xб) f(x) = 18 x – lnx5 + 7. f′(x) =x=9x−(5= 0;x)x 9 x −5 = 0 ;52525; x=. Ответ: x =.98181Уровень D.5.6.D01. а) f(x)=2(x–12)2ln(x–12)–28(x–12)ln(x–12)+(x–12)2f'(x)=4(x–12)ln(x–12)+2(x–12)–28ln(x–12)–28+2(x–12)=4xln(x–12)–76ln(x–12)+4(x–12)–28=4xln(x–12)–76ln(x–12)+4x–76=(4x–76)(ln(x12)+1)=0x1=19, x2 = 12 +21eОтвет: 19;б) f(x)=2(x–10) ln(x–10)–24(x–10)ln(x–10)+(x–10)2f'(x)=4(x–10)ln(x–10)+2(x–10)–24ln(x–10)–24+2(x–10)==4xln(x–10)–64ln(x–10)+4x–64=(4x–64)(ln(x–10)+1)=0Ответ: 16.x1=16 x2=10+e.5.6.D02.
а) f(x)=(x–2)4ln(x–2)5+7=5(x–2)4ln(x–2)+7f'(x)=20(x–2)3ln(x–2)+5(x–2)3=(x–2)3(20ln(x–2)+5)=01⎞⎛( x − 2)3 ⎜ ln( x − 2) + ⎟ = 04⎠⎝1x1=2 x2 = 2 + 4eОтвет: 2; 2 +14e;б) f(x)=(x–9)10ln(x–9)21–5=21(x–9)10ln(x–9)f'(x)=210(x–9)9ln(x–9)+21(x–9)9=21(x–9)9(10ln(x–9)+1)=01⎞⎛( x − 9)9 ⎜ ln( x − 9) + ⎟ = 010 ⎠⎝1x1=9 x2 = 9 + 10e1Ответ: 9, 9 + 10e.5.6.D03.
а) f(x) = 7 + 20ln2(3x + 2). ОДЗ: x > −2;31⋅ 3 = 0;3x + 21⎛ 1⎞ln(3x + 2) = 0; 3x + 2 = 1; x = − ; f ⎜ − ⎟ = 7 = fmin.3⎝ 3⎠Ответ: min f ( x) = 7 .f′(x) = 40ln(3x + 2) ⋅⎛ 2⎞⎜ − ; +∞ ⎟⎝ 3⎠б) f(x) = –3 + 7ln2(7x + 8). ОДЗ: x > −8;7т.к. 7ln2(7x + 8) ≥ 0 ⇒ fmin = –3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
