shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ответ: 10.5.3.B06. а) g(x) = 15 ⋅x − 11x − 24−2.−2 x − 48 − x + 111x − 24 − ( x − 11)( x − 24) 2x − 372g ′( x) = 15 ⋅= 15 2 x − 24= 15;23x24−x − 242 ( x − 24 ) 21()x = 37 — критическая точка.б) g(x) = 11 ⋅x +1x − 23.3751−1x − 23 − ( x + 1)( x − 23) 2x − 472 x − 46 − x − 12g ′( x) = 11⋅= 11;= 11323x − 232 ( x − 23) 22 ( x − 23) 2()x = 47 — критическая точка.15.3.B07. а) g(x) = (20 – x)(x – 6) 3 + 6.20 − x1g ′( x) = − ( x − 6 ) 3 +x=3( x − 6)23=−3x + 18 + 20 − x3( x − 6)23=−4 x + 383( x − 6)23=−4 x − 3823( x − 6) 3;19— критическая точка.21б) g(x) = (21 – x)(x – 18) 3 – 14.13g ′( x) = − ( x − 18 ) +21 − x23 ( x − 18 ) 3=−3 x + 54 + 21 − x23 ( x − 18 ) 3=−4 x + 7523 ( x − 18 ) 375)4= −4;23 ( x − 18 ) 3(x −75— критическая точка.4105.3.B08.
а) g(x) = x x − 6 x + 11 . g′(x) = 5 x − 6 = 03636⇔ x= ⇒x=;525393393⎛ 36 ⎞ 10 36 6 26g ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ − + 11 =. Ответ:.2525⎝ 25 ⎠ 3 25 5 2539б) g(x) = 4 x x − 9 x − 4 . g′(x) = 6 x − 9 = 0 ⇔ x = ⇒ x = ;249 3 81274343⎛9⎞g ⎜ ⎟ = 4 ⋅ ⋅ − − 4 = − − 4 = − . Ответ: − .4 2 4444⎝4⎠x=5.3.B09. а) g(x) = −2 x x + 6 x + 19 . g ′( x) = −3 x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4.g(4) = –16 + 24 + 19 = 27.Ответ: 27.11⇒x=4168 1 31 31515⎛1⎞g ⎜ ⎟ = − ⋅ + − 2 = − + − 2 = −1 . Ответ: −1 .16 4 168 161616⎝ 16 ⎠б) g(x) = −8 x x + 3 x − 2 . g ′( x) = −12 x + 3 = 0 ⇔ x =25.3.B10. а) g(x) = 7(x+14) 3 (x+11)12⎛−2 ( x + 11) 3 ( x + 14 ) 3⎜−g ′( x) = 7 ⋅ ⎜14⎜ 3 ( x + 14 ) 3 3 ( x + 11) 3⎝376−13+ 4.⎞7( x + 8)⎟ = 7 ⋅ 2 x + 22 − x − 14 =;1414⎟ 3⎟( x + 14 ) 3 ( x + 11) 3 3 ( x + 14 ) 3 ( x + 11) 3⎠критическая точка x = –8.Ответ: –8.2б) g(x) = 10(x+12) 3 (x+2)−13+ 9.12⎛−2 ( x + 2 ) 3 ( x + 12 ) 3−g ′( x) = 10 ⋅ ⎜⎜14⎜ 3 ( x + 12 ) 3 3 ( x + 2 ) 3⎝⎞x −8⎟ = 10 ⋅ 2 x + 4 − x − 12 = 10 ⋅;1414⎟ 33⎟3 ( x + 2) 33 ( x + 2) 3x+12x+12()()⎠x = 8 критическая точка.Ответ: 8.1⎡3⎣2⎞⎠5.3.B11.
а) f(x) = 6 3 4 x − 3 (8 x − 12 ) 3 . D( f ) = ⎢ ; +∞ ⎟ ;f′(x) =8316 x 2−83(8 x − 2) 2=83(8 x − 12) 2 − 3 16 x 2316 x 2 3 (8 x − 12) 2; f′(x) = 0 при (8x – 12)2 = 16x2⎡8 x − 12 = 4 x⎡ x = 3 ∈ D( f ),⎢8 x − 12 = −4 x ⇔ ⎢ x = 1 ∉ D( f ).⎣⎣В т. x = 3 f′(x) меняет знак ⇒ x = 3 — точка экстремума.Ответ: 3.1б) f(x) = 2(4 x) 3 − 3 8 x − 9 . D(f) = (0; +∞);f′(x) =83 3 16 x 2−83 3 (8 x − 9) 2=38 3 (8 x − 9) 2 − 16 x 2;3 3 16 x 2 3 (8 x − 9)2f′(x) = 0 при (8x – 9)2 = 16x2;⎡⎢x =⎡8 x − 9 = 4 x⎢8 x − 9 = −4 x ⇔ ⎢⎢x =⎣⎢⎣93В т. x = и x =449,43.4f′(x) меняет знак ⇒ это точки экстремума; в т.
x =98f′(x) неопределенна, но имеет один и тот же знак и справа, и слева от этойточки ⇒ x =99 3— не точка экстремума. Ответ: и .84 45.3.B12. а) f ( x) = x 2 − 2 x x − 2 x + 11⎞⎛f '( x) = 2 x − 3 x − 2 = 2( x − 2) ⎜ x + ⎟ на отрезке [4, 9] f'(x)>0, тогда максимум2⎠⎝достигается при x=9f(9)=81–2·9·3–18+1=10б) f ( x) = 2 − x 2 − 2 x x + 5 x5⎞⎛f '( x) = −2 x − 3 x + 5 = −2( x − 1) ⎜ x + ⎟2⎠⎝377На отрезке [1, 4] f'(x)<0 наименьшее значение достигается при x=4f(x)=2–16–16+20=–10.Уровень С.5.3.C01.а) y(x) = x + 2 − 2 −4 x − 5 .y′( x) =12 x+2+4−4 x − 5=−4 x − 5 + 8 x + 22 x + 2 −4 x − 5>0 ⇒⇒ y(x) возрастает при всех допустимых x.О.Д.З.⎧ x > −2⎧ x > −2⎪⇔⎨5⎨⎩4 x < −5⎪⎩ x < − 454Наибольшее значение в x = − ;3⎛ 5⎞y⎜− ⎟ =⎝ 4⎠ 2Наименьшее значение в x = –2; y(–2) = −2 3б) y(x) = 3 5 x − 4 − − x + 1 .y′( x) =152 5x − 4+12 −x +1> 0 ⇒ y(x) возрастает при всех допустимых x.О.Д.З.⎧x ≤ 1⎧− x + 1 ≥ 0⎪⇔4⎨⎨⎩5 x − 4 ≥ 0⎪x ≥ 5⎩Наибольшее значение в т.
x = 1y(1) = 3⎛4⎞⎛4⎞1Наименьшее значение в т. x = ⎜ ⎟ ; y ⎜ ⎟ = − .5⎝5⎠ ⎝5⎠5.3.C02.а) y(x) = −4 x − 3 − 3 4 x + 5 . y′( x) =−2−4 x − 3−О.Д.З.⎧−4 x − 3 ≥ 0;⎨⎩4 x + 5 ≥ 03⎧⎪⎪ x ≤ − 4.⎨⎪x ≥ − 5⎪⎩45⎛ 5⎞Наибольшее значение в x = − : y ⎜ − ⎟ = 2 .4 ⎝ 4⎠37864x + 5<0.⎛ 3⎞⎝⎠2−3б) y(x) = 3 − x + 4 − 4 x − 3 . y′( x) =−<0;2 −x + 44x − 33Наименьшее значение в x = − : y ⎜ − ⎟ = −3 2 .44О.Д.З.⎧x ≤ 4⎧− x + 4 ≥ 0⎪;⇔⎨3.⎨4x−3≥0⎩⎪⎩ x ≥ 4⎛3⎞3313 .Наибольшее значение в x = : y ⎜ ⎟ =4 ⎝4⎠ 2Наименьшее значение в x = 4 : y ( 4 ) = − 13 .5.3.C03.а) f(x) = 6 x 2 − 4 x + 49 .6x2 – 4x + 49 > 0 всегда, так как D=16–4 ּ 6 ּ 49 < 0.f′(x) =12 x − 4=2 6 x 2 − 4 x + 49f′(x) < 0 при x <6x − 26 x 2 − 4 x + 49;11⎤⎛⇒ f(x) убывает на ⎜ −∞; ⎥ ;3⎦3⎝⎡11⎞f′(x) > 0 при x > ⇒ f(x) возрастает на ⎢ ; +∞ ⎟ .3⎣3⎠б) f(x) = 5 x 2 + 4 x + 41 .О.Д.З.: (–∞;+∞);f′(x) =10 x + 42 5 x 2 + 4 x + 41=10( x + 0.4)2 5 x 2 + 4 x + 41;при x < –0.4 f′(x) < 0 ⇒ f(x) убывает на (–∞;–0.4];при x > –0.4 f′(x) > 0⇒ f(x) возрастает на [–0.4;+∞).5.3.C04.
а) f(x) = (1 − 9 x) 1 + 18 x .Нули функции f(x): 1 и − 1 .9f ′( x) =91 + 18 x18− 9 1 + 18 x −81x1 + 18 x=9 − 81x − 9 − 162 x1 + 18 x=−243x1 + 18 x.⎡ 1 1⎤; ⎥ ; максимальное значение: f(0) = 1;⎣ 18 9 ⎦x = 0 — точка максимума, 0 ∈ ⎢ −⎛1⎞f ⎜ ⎟ = 0; f⎝9⎠⎛ 1⎞⎜ − ⎟ = 0 — минимальное значение. Ответ: 1 и 0.⎝ 18 ⎠б) f(x) = (9 − 4 x) 9 + 8 x . Нули функции f(x):99и− .84379f ′( x) = −4 9 + 8 x +(9 − 4 x)4=9 + 8x−36 − 32 x + 36 − 16 x9 + 8x=−48 x9 + 8x;⎡ 9 9⎤⎣⎦x = 0 — точка максимума, 0 ∈ ⎢ − ; ⎥ .8 4Максимальное значение: f(0) = 27.Минимальное значение — в концах отрезка, т.е.
0.Ответ: 27 и 0.5.3.C05.а) f(x) = x − 4 − x + 1 . D(f) = [4; +∞);f ′( x) =12 x−4−12 x +1=x +1 − x − 42 x − 4 x +1> 0 на D(f).Наибольшее значение — f(8) = 2 – 3 = –1.Наименьшее значение f(5) = 1 – 6 . Ответ: –1 и 1 − 6 .б) f(x) = x − 2 − x + 4 . D(f) = [2; +∞);f ′( x) =12 x−2−12 x+4=x+4 − x−22 x−2 x+4> 0 на D(f).Наибольшее значение: f(6) = 2 – 10 .Наименьшее значение f(3) = 1 – 7 . Ответ: 2 – 10 и 1 − 7 .5.3.C06.а) f ( x) =3x21− 2 x + (4 x − 3) 226Функция определена при x ≥34f '( x) = x − 2 + 4 x − 3⎧x < 2⎪⎧ x < 2⎪⎧ x < 2,⎨ 2,⎨2⎪⎩( x − 2) = 4 x − 3 ⎪⎩ x − 8 x + 7 = 0 ⎩( x − 1)( x − 7) = 0f'(x)=0, ⎨где x=1 – точка экстремума, причем минимума.⎛⎝4⎞Итак, ⎜ 1, − ⎟ – точка минимума f(x);3⎠3x21б) f ( x) = − 5 x + (2 x + 5) 223Функция определена при x ≥ −5.2f '( x) = x − 5 + 2 x + 5⎧x < 5⎪⎧ x < 5⎪⎧ x < 5,⎨ 2,⎨f'(x)=0 ⎨2⎪⎩( x − 5) = 2 x + 5 ⎪⎩ x − 12 x + 120 = 0 ⎩( x − 10)( x − 2) = 0т.е.
x=2 – абсцисса точки экстремума, причем минимума.380Итак, (2, 1) – точка минимума f(x).5.3.C07.а) f(x) =2x – 3 3 ( x − 2) 2 − 2 . f′(x) = 2 − 32x−2;f′(x) = 0 при 3 x − 2 = 1 ⇔ x – 2 = 1 ⇔ x = 3;при x = 2 f′(x) — не определена.f′(x)+–f (x)+2x3x = 2 — точка максимума; x = 3 — точка минимума;f(2) = 2; f(3) = 1;f (2)=2;f (1)Ответ: 2.б) f(x) =4x – 3 ( x + 3) + 1 . f′(x) = 4 − 3f′(x) = 0 при33223x+31123x+3 = ; x = −3 = −.288=4x+3−3x+312;f′(x) не определена в точке x = –3;f′(x)+–+–3−x238x = 3 — точка максимума;23— точка минимума.8f (−3)−11−1144.Искомое отношение===⎛ 23 ⎞ −23 + 1 − 3 −46 + 4 − 3 45f ⎜− ⎟244⎝ 8 ⎠44Ответ:.45x=−5.3.C08.
а) f ( x) = x 3 x − 1 − 8 , на отрезке [2, 65].f '( x) = 3 x − 1 +x3 3 ( x − 1) 2=3x − 3 + x3 3 ( x − 1)2=4x − 33 3 ( x − 1) 2На отрезке (2, 65] f'(x)>0 поэтому наименьшее значение функция принимаетпри x=2, а наибольшее при x=65,т.е. fmin=f(2)=–6fmax=f(65)=252;381б) f ( x) = 4 − x 5 x − 4 x ∈ [5, 36]⎛xf '( x) = − ⎜ 5 x − 4 +5⎜− 4) 4x(5⎝⎞5x − 4 + x6x − 4⎟=−=−455⎟−x()( x − 4) 4545⎠На отрезке [5, 36], f'(x)<0, поэтому наименьшее значение функцияпринимает при x=36, а наибольшее при x=5.т.е.
fmin=f(36)=4–72=–68fmax=f(5)=4–5=–1.5.3.С09. а) h(x) = 5x + 12 2 − x − 9 , D(h) = (–∞; 2];h′( x) = 5 −62− x=5 2− x=52− x −65 ;2− x2− x63614⇔x=; при x = 2 h′(x) не определена.2− x = ⇔ 2 – x =52525h′(x)–x2h′(x) = 0 при+1425⎛⎝h(x) возрастает при x ∈ ⎜ −∞;14 ⎤⎡ 14, h(x) убывает при x ∈ ⎢ ;25 ⎦⎥⎣ 25⎛⎝Ответ: h(x) возрастает при x ∈ ⎜ −∞;⎤2⎥ .⎦14 ⎤⎡ 14; h(x) убывает при x ∈ ⎢ ;25 ⎦⎥⎣ 25б) g(x) = 3x – 2 x − 1 + 1 .
D(g) = [1; +∞);g ′( x) = 3 −1x −1=3 x −1 −1x −1g′(x) = 0 при 3 x − 1 = 1 ⇔ x – 1 =f′(x)–+1110⇔x=99x109⎡10⎞; +∞ ⎟ ; g(x) убывает при⎣9⎠Ответ: g(x) возрастает на ⎢5.3.C10. а) f(x) = 2x – 12 x − 2 + 1 . D(f) = [2; +∞);f′(x) = 2 –6x−2=2x−2 −3x−2=0⇔ x−2 = 3⇔ x = 11;f′(x) меняет в точке 11 знак с «+» на «–» ⇒11 — точка минимума.382⎡ 10 ⎤⎢1; 9 ⎥ .⎣⎦⎤2⎥ .⎦б) f(x) = 3x – 6 x − 6 + 5 .
D(f) = [6; +∞);f′(x) = 3 –3x−6=3x − 6 −1x−6=0⇔ x = 7.f′(x) меняет в т. 7 знак с «–» на «+» ⇒7 — точка минимума.5.3.C11. а) f(x) =(x – 7) 5 + x + 2 . D(f) = [–5; +∞);f ′( x) = 5 + x +x−72 5+ x=2 x + 10 + x − 72 5+ x=3x +1;2 5+ xf′(x) обращается в 0 в x = –1 и меняет знак с «–» на «+» ⇒–1 — точка минимума.б) f(x) =(x + 1) 2 − x − 5 . D(f) = (–∞; 2];f ′( x) = 2 − x −x +12 2− x=4 − 2x − x −12 2− x= −3x −1.2 2− xТочка x = 1 — точка экстремума: f′(x) меняет в ней знак с «+» на «–» ⇒x = –1 — точка максимума.5.3.C12. а) f(x) = 14 x − 5 5 x − 101101 101 .
f ′( x) =1 4−57 5 x4 = x . 7 = x 2x=10−7 37x−15x4=7 5 x4 − xx ⋅ 5 x4=0.= x −0.3 .— точка экстремума, причем минимума.б) f(x) = 10 x − 7 7 x − 141141 141 . f ′( x) =5x−17x6=⎛ 5 1⎞⎜ x14 − ⎟⎜5 ⎟⎠−1= 5⎝.6655 x14x7x714⎛1⎞5x = ⎜ ⎟ — точка экстремума, причем минимума.⎝5⎠Уровень D.5.3.D01. а) y(x) = 2 – 3x + 8 3 x − 2 .y′( x) = −3 +123x − 2= −33x − 2 − 43x − 2=0;3x – 2 = 16 ⇒3x = 18 ⇔x = 6.Наибольшее значение y(6) = 2 – 18 + 8 ⋅ 4 = 16. Ответ: 16.б) y(x) = 1 – 5x + 4 5 x − 1 .y′( x) = −5 +105x − 1= −55x − 1 − 25x − 1=0;5x – 1 = 4 ⇒x = 1.Наибольшее значение: y(1) = 1 – 5 + 4 ⋅ 2 = 4. Ответ: 4.3835.3.D02. а) y(x) =17x +1 − 7x −1.⎛ 7x +1 − 7x −1 ⎞77⎜⎟+7⎜27x+127x−149 x 2 − 1⎟=y′( x) ==2 ⎟⎜2214 x − 2 49 x − 1⎜ 7x +1 − 7x −1 ⎟⎜⎟⎝⎠7> 0.=2 49 x 2 − 1 7 x + 1 − 7 x − 1−(()Наибольшее значение — в x = 7: y(7) =Наименьшее значение — в x = 5: y(5) =1б) y(x) =)5x + 1 − 5x − 1150 − 481..6 − 34.⎛ 5x + 1 − 5x − 1 ⎞55⎜⎟+525 x 2 − 1⎟=y′( x) = 2 5 x + 1 2 5 x −21 = ⎜2 ⎜ 5x + 1 − 5x − 1 2 ⎟5x − 1 − 5x − 1⎜⎟⎜⎟⎝⎠5> 0.=2 25 x 2 − 1 5 x + 1 − 5 x − 1−()(())Наибольшее значение в x = 4: y(4) =121 − 191Наименьшее значение в x = 2: y(2) =.11 − 3.5.3.D03.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
