shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 46
Текст из файла (страница 46)
а) f(x) =3x+2 53−. ОДЗ: x ≠ − .22x + 35Найдем f′(x) и исследуем на знакопостоянство:f′(x) = −3⋅ 2130 + 4 x 2 + 12 x + 94 x 2 + 12 x + 39− =−=−;22(2 x + 3) 55 ⋅ (2 x + 3)5 ⋅ (2 x + 3) 2−6 ± 36 − 394; D < 0 ⇒ f′(x) < 0 ∀x ∈ ОДЗ.4––x2−32⎞ ⎛ 2⎛⎞Ответ: f(x) убывает на интервалах ⎜ −∞; − ⎟ и ⎜ − ; +∞ ⎟ .3⎠ ⎝ 3⎝⎠f′(x) = 0 ⇒ x1,2 =45б) аналогично с а). ОДЗ: x ≠ − . f ( x) =15x + 3 2−.5x + 48′15x + 3 2 ⎞1⋅ 55−− ≠0⎟⎟ = −25x488+(5x4)+⎝⎠⎛f′(x) = ⎜⎜∀x ∈ ОДЗ (т.к.
(5x + 4)2 > 0).––4−5x⎛4⎞⎛ 4⎞Ответ: f(x) убывает на интервалах ⎜ −∞; − ⎟ и ⎜ − ; +∞ ⎟ .5⎠ ⎝ 5⎝⎠5.2.В02.а) аналогично с 5.2.В01 а): ОДЗ: x ≠ 0.′⎛ 2 x2 + 15x − 8 ⎞ (4 x + 15) x − (2 x2 + 15x − 8) 4x2 +15x − 2x2 −15x + 8 2x2 + 8=.=⎟⎟ =xx2x2x2⎝⎠f′(x) = ⎜⎜f′(x) > 0 ∀x ∈ ОДЗ.++x0Ответ: f(x) возрастает на интервалах (–∞; 0) и (0; +∞).б) аналогично с 5.2.В01 а): ОДЗ: x ≠ 0.′⎛ 3x 2 + 8 x − 15 ⎞ (6 x + 8) x − (3 x 2 + 8 x − 15)=⎟ =⎟xx2⎝⎠f′(x) = ⎜⎜=6 x 2 + 8 x − 3 x 2 − 8 x + 15 3 x 2 + 15; D < 0 ⇒ f′(x) > 0 ∀x ∈ ОДЗ.=x2x2360++x0Ответ: f(x) возрастает на интервалах (–∞; 0) и (0; +∞).5.2.В03. а) аналогично с 5.2. а): ОДЗ: x ≠ 0.131+tg25°. f′(x) = 25 += 25 + 3 = 0 ; f′(x) = 0;2310 x10 x5x13125x = –1; x = − .5f(x) = 25 x −–+1−5+x0Ответ: f(x) возрастает на интервалах ⎛⎜ −∞ ; − 1 ⎞⎟ и (0; +∞) и убывает на5⎝⎠⎛ 1⎞⎜ − ; 0⎟ .⎝ 5⎠б) аналогично с 5.2.В01 а): ОДЗ: x ≠ 0.f(x) = 16x –1211+ tg20°.
f′(x) = 16 + 3 = 16 + 3 ; f′(x) = 0 ⇒ x = − .48x4x8x 2–+−14+x0⎛⎝1⎞Ответ: f(x) возрастает на интервалах ⎜ −∞; − ⎟ и (0; +∞); f(x) убывает на4⎠⎛ 1 ⎞⎜ − ; 0⎟ .⎝ 4 ⎠5.2.В04. а) y(x) = x +4. ОДЗ: x ≠ 0; a = [–4; –0,4].xОбозначим множество решений как E(y) и рассмотрим y′(x):y′(x) = 1 –4; y′(x) = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x1,2 = ±2;x2x1 = 2 — не корень, т.к. ∉ a; x2 = –2;––++–202⇒ при x = –2 — max; y(–2) = –2 +x4= –2 – 2 = –4.−2Рассмотрим y(x) от краевых точек отрезка a:44= –5; y(–0,4) = –0,4 += –0,4 – 10 = –10,4;−0, 4−4⇒ E(y) = [–10,4; –4]. Ответ: E(y) = [–10,4; –4].y(–4) = –4 +361б) аналогично с а): ОДЗ: x ≠ 0;1;x1y′(x) = 4 – 2 ;xy(x) = 4x +12y′(x) = 0 ⇒ x1,2 = ± ; x1 =11— не корень, т.к. ∉ a, x2 = − ;22⎛ 1⎞⎛ 1⎞ 1y ⎜ − ⎟ = 4⋅⎜ − ⎟ += −2 − 2 = −4 ;⎝ 2⎠⎝ 2⎠ −12–+−–012+12x1— max.21Рассмотрим y(x) от краевых точек: y(–1) = 4 ⋅ (–1) += –5,(−1)2y(–0,2) =4 ⋅ (–0,2) +⇒ при x = −1= –0,8 – 5 = –5,8,−0, 2⇒ E(y) = [–5,8; –4].
Ответ: E(y) = [–5,8; –4].5.2.В05. а) аналогично с 5.2.В04 а): ОДЗ: x ∈ R;f(x) =7x1⎤⎡; a = ⎢ −2; ⎥ .2⎦x2 + 1⎣f′(x) =7( x 2 + 1) − 7 x(2 x) 7 x 2 + 7 − 14 x 2 −7 x 2 + 7 −7( x + 1)( x − 1)=== 2;( x 2 + 1)2( x 2 + 1) 2( x + 1)2( x 2 + 1) 2f′(x) = 0 ⇔ х=±1+––1–1xx1= 1 — ∉ ОДЗ, x2 = –1 — точка минимума;7 ⋅ (−2)14−77= − , f(–2) ==− ,f(–1) =522(−2)2 + 117⋅⎛1⎞2 = 14 ⇒ E ( y ) = ⎡ − 7 ; 14 ⎤ .f⎜ ⎟=⎢ 2 5⎥⎝ 2 ⎠ 1 +1 5⎣⎦4147⎡ 7 14 ⎤и наименьшее − .Ответ: E ( y ) = ⎢ − ; ⎥ , т.е.
наибольшее52⎣ 2 5⎦б) аналогично с 5.2.В04 а): ОДЗ: x ∈ R.f′(x) =3624( x 2 + 1) − 4 x ⋅ 2 x 4 x 2 + 4 − 8 x 2 −4( x 2 − 1)== 2; f′(x) = 0 ⇔ х=±1;( x 2 + 1)2( x 2 + 1) 2( x + 1) 2⎡1⎤x1 = –1, x2 = 1 — не корень, т.к. ∉ ⎢ −5; ⎥ ;5⎦⎣+––f(–1) =x1–1⇒ при x = –1 — min.14⋅−44(−5)2010⎛1⎞5 = 20 = 10 .=–2,f(–5)==−=−,f⎜ ⎟=12613(−1)2 + 1(−5)2 + 1⎝5⎠+ 1 26 1325⇒ E(y) = ⎡⎢ − 2; 10 ⎤⎥ .⎣13 ⎦⎡⎣Ответ: E(y) = ⎢ −2;5.2.В06. а) g(x) =10 ⎤10, т.е. наибольшее, а наименьшее –2.13 ⎥⎦3−20 + 2 x 3 9 − x3.
ОДЗ: x ≠ 0.4xНайдем g′(x) и участки знакопостоянства:g′(x) ==(2 3 9 − 3x 2 ) ⋅ 4 x − 4(−20 + 2 x 3 9 − x3 ) 2 3 9 x − 3x3 + 20 − 2 x 3 9 + x3==16 x 24 x2−2 x3 + 20 − x3 + 1 −( x − 1)( x 2 + x + 1)==; g′(x) = 0 ⇔ x = 1.4 x22 x22 x3++–x10Ответ: функция возрастает на (–∞; 0) и (0; 1) и убывает на (1; +∞).−6 + 3x 5 14 − x3. Аналогично а): ОДЗ: x ≠ 0.6x′⎛ −6 + 3x 5 14 − x3 ⎞ (35 14 − 3x 2 )6 x − (−6 + 3x 5 14 − x3 )6=g′(x) = ⎜⎜⎟⎟ =6x36 x 2⎝⎠б) g ( x) ==3 5 14 x − 3x3 + 6 − 3x 5 14 + x3 −2 x3 + 6 − x3 + 3 −( x − 3 3)( x 2 + 3 3x + 3 3)===;6x26 x23x 23x3g′(x) = 0 ⇔ x = 3 3 .++0–32xОтвет: функция возрастает на (–∞; 0) и (0;33 ) и убывает на ( 3 3 ; +∞).1− x5.2.В07.
а) y ( x) = 2. Аналогично5.2.В06 а): ОДЗ: x ∈ R;4 x + 8 x + 13′221− x⎛⎞ (1 − x)(8 x + 8) + 4 x + 8 x + 13 −4 x + 8 x + 21y′(x) = ⎜ 2=;⎟=(4 x 2 + 8 x + 13) 2(4 x 2 + 8 x + 13)2⎝ 4 x + 8 x + 13 ⎠y′(x) = 0 ⇔ –4x2 + 8x + 21 = 0; D = 16 + 84 = 100;363−4 ± 1037⇒ x1 = − , x2 = .−422–++xx1x2x1,2 =⎛3⎞⎛7⎞⎛ 3 7⎞Ответ: функция возрастает на ⎜ −∞; − ⎟ и ⎜ ; +∞ ⎟ и убывает на ⎜ − ; ⎟ .2⎠ ⎝2⎠⎝⎝ 2 2⎠x−4x−4=.4 x 2 + 12 x + 9 (2 x + 3) 23аналогично а): ОДЗ: x ≠ − .2(2 x + 3)2 − 4(2 x + 3)( x − 4) 2 x + 3 − 4 x + 16 19 − 2 x==;y′(x) =(2 x + 3)3(2 x + 3)2(2 x + 3)4б) y ( x) =y′(x) = 0 ⇔ x = 7,5.+––1,5–x7,5Ответ: функция возрастает на (–1,5; 7,5] и убывает на (–∞; –1,5) и на [7,5; +∞).155.2.В08.
а) f(x) = x 2 +2x22 ( x3 − 1)2. f′(x) = − 2 =.5x5 5x5 x2Точка экстремума x = 1. Это точка минимума, т.к. f′(x) меняет знак с «–» на «+».13б) f(x) = x 2 −162⎛8 ⎞ 2 ( x3 − 8). f ′( x) = ⎜ x − 2 ⎟ = ⋅.3⎝3xx ⎠ 3x2Точка экстремума x = 2. Это точка минимума, т.к. f′(x) меняет знак с «–» на «+».5.2.В09. а) f(x) = –2x3 –1+ 4.x1 ⎞⎛ 2 1 ⎞⎛6 ⎜ x2 −⎟⎜ x +⎟1 1 − 6x46 ⎠⎝6⎠⎝=−f′(x) = –6x + 2 =;22xxx11Точки x = 4 и x = − 4 — точки экстремума.661x = 4 — точка минимума, т.к.
f′(x) меняет знак с «–» на «+»,61x = − 4 — точка максимума, т.к. f′(x) меняет знак с «+» на «–».65б) f(x) = 2 x3 + − 5.x⎛5 ⎞⎛ 25⎞6 ⎜⎜ x 2 −⎟⎜ x +⎟6 ⎟⎜6 ⎟⎠5⎝⎠⎝2;f′(x) = 6 x − 2 =xx22Точки х= 436455и x = −4— точки экстремума.66x=45— точке минимума. т. к. f′(x) меняет знак с «–» на «+»,65— точке максимума, т. к. f′(x) меняет знак «+» на «–».611 (2 x − 1)(2 x + 1)5.2.В10. а) y(x) = 4x + . y′(x) = 4 – 2 =.xxx21— точка минимума.На [0,2; 1] есть экстремум2⎛1⎞f ⎜ ⎟ = 2 + 2 = 4, f(0,2) = 0,8 + 5 = 5,8. f(1) = 4 + 1 = 5⎝2⎠x=4Наибольшее значение: 5,8. Наименьшее: 4.1616 (3x − 4)(3x + 4), [–2; –0,5].
y′ = 9 – 2 =.xxx2⎛ 4⎞На [–2; –0,5] есть 1 экстремум ⎜ − ⎟ .⎝ 3⎠⎛ 4⎞f ⎜ − ⎟ = –12 – 12 = –24, f(–2) = –18 – 8 = –26, f(–0,5) = –4,5 – 32 = –36,5.⎝ 3⎠б) y = 9x +Наибольшее: –24. Наименьшее: –36,55.2.В11. а) f(x) = 7x –3,57( x − 5)3 + 1+7.f′(x)=7+;=7( x − 5) 2( x − 5)3( x − 5)3x = 4 — точка экстремума, точка минимума.б) f(x) = 5x +2,55( x + 3)3 − 1=5+ 3.
f′(x) = 5 −;23( x + 3)( x + 3)3( x + 3)x = –2 — точка экстремума, точка минимума.5⎞⎛6 ⎜ x3 − ⎟1515 3(2 x3 − 5)2⎠⎝=5.2.В12. а) f(x) = 3x + . f′(x) = 6x – 2 =.xxx2x22Точка35— точка экстремума, точка минимума.2б) f(x) = –2x2 +Точка31212( x3 + 3)– 9. f′(x) = –4x – 2 = −4.xxx2−3 — точка экстремума, точка максимума.Уровень С.52+ + 12 . D(f) = R \ {0; 2};x−2 x−52 −5 x 2 − 2 x 2 + 8 x − 8 −7 x 2 + 8 x − 87 x2 − 8x + 8f′(x) ==< 0,−==−( x − 2) 2 x 2( x − 2) 2 x 2( x − 2)2 x 2x 2 ( x − 2) 25.2.С01. а) f(x) =т.к. D числителя отрицателен ⇒f(x) убывает на (–∞; 0), на (0; 2) и на (2; + ∞).б) f(x) =43+ + 14 .
D(f) = R \ {0; 3];x−3 x365f′(x)=−434 x 2 + 3x 2 − 18 x + 277 x 2 − 18 x + 27− 2 =−=−<222( x − 3)xx ( x − 3)( x − 3)2 x 20,т.к.дискриминант числителя отрицателен;f(x) убывает на (–∞; 0), на (0; 3) и на (3; +∞).2 x 2 − 3x − 1. D(f) = R \ {0; 3};x 2 − 3x5.2.С02. а) f(x) =f ′( x) ==(4 x − 3)( x 2 − 3x) − (2 x − 3)(2 x 2 − 3 x − 1)=( x 2 − 3x)24 x 3 − 15 x 2 + 9 x − 4 x3 + 12 x 2 − 7 x − 3 −3 x 2 + 2 x − 33x 2 − 2 x + 3=− 2=<02222( x − 3x)( x − 3 x)( x − 3 x)2(т.к. D < 0), значит, f(x) убывает на (–∞; 0), на (0; 3) и на (3; +∞).б) f(x) =f ′( x) ==3x 2 + 4 x − 5. D(f) = R \ {0; 1};x2 − x(6 x + 4)( x 2 − x) − (2 x − 1)(3 x 2 + 4 x − 5) 6 x3 − 2 x 2 − 4 x − 6 x3 − 5x2 + 14 x − 3==( x 2 − x)2( x 2 − x) 2−7 x 2 + 10 x − 57 x 2 − 10 x + 5=−<022( x − x)( x 2 − x) 2(т.к.
D < 0), значит, f(x) убывает на (–∞; 0), на (0; 1) и на (1; +∞).5.2.С03.71 14 x3 − 56− 3 . f′(x) = − 3 =;24 x4 x3xx4а) f(x) = +f′(x) < 0 при x ∈ (0; 2 3 7 ] ⇒ f(x) убывает на ( 0, 2 3 7 ];f(x) возрастает на (–∞; 0) и на [ 2 3 7 ; +∞);1274f(–2) = − + − 3 < 0, f(–0,3) = −0,37+− 3 > 0.4 0, 09В силу монотонности f на (–∞; 0) имеем ровно один нуль.51 10 x3 − 30−10.f′(x)=−=;3 x3x23x3x3б) f(x) = +f′(x) ≥ 0 при x ∈ (–∞; 0) и x ∈ [ 3 30 ; +∞) — на этих промежутках fвозрастает; (–3; –0,3) ∈ (–∞; 0) и f монотонна на нем и в концах принимаетразные знаки.
Значит, есть ровно один нуль.5.2.С04. а) y(x) =15y′(x) = −x + 4 25+. D(y) = R \ {3};5x−325( x − 3) 2 − 125 ( x − 3 − 5 5)( x − 3 + 5 5)=;=25( x − 3) 2( x − 5)5( x − 3) 2y′(x) = 0 ⇔ x = 3 ± 5 5 .+3−5 5366––3+3+5 5xy(x) возрастает на (–∞; 3 – 5 5 ] и на [3 + 5 5 ; +∞);y(x) убывает на [3 – 5 5 ; 3) и на (3; 3 + 5 5 ].б) y(x) =x − 1 36. D(f) = R \ {6}.+3x−6136( x − 6) 2 − (6 3)2 ( x − 6 − 6 3)( x − 6 + 6 3)==;23 ( x − 6)3( x − 6) 23( x − 6)2y′(x) = −y(x) возрастает на (–∞; 6 − 6 3 ] и на [ 6 + 6 3 ; +∞);y(x) убывает на [6 – 6 3 ; 6) и на (6; 6 + 6 3 ].5.2.С05. а) f(x) = –1 +f′(x) ==2x − 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
