shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ОДЗ: x ∈ (–∞; +∞)x 2 − 2 x + 152( x 2 − 2 x + 15) − (2 x − 5)(2 x − 2) 2 x 2 − 4 x + 30 − 4 x 2 + 14 x − 10==( x 2 − 2 x + 15) 2( x 2 − 2 x + 15) 2−2 x 2 + 10 x + 20x 2 − 5 x − 10=−2;( x 2 − 2 x + 15) 2( x 2 − 2 x + 15)25 ± 65;2⎡ 5 − 65 5 + 65 ⎤;f(x) возрастает на ⎢⎥;2 ⎦⎥⎣⎢ 2x2 – 5x – 10 = 0; D = 25 + 40 65; x =⎛f(x) убывает на ⎜⎜ −∞;5 − 65 ⎤⎥ и на2 ⎥⎦⎝2x − 3б) f(x) = −4 + 2.
D(f) = R.x − 6 x + 15f′(x) ==⎡ 5 + 65⎞; +∞ ⎟ .⎢⎟⎣⎢ 2⎠2 x 2 − 12 x + 30 − (2 x − 3)(2 x − 6) 2 x 2 − 12 x + 30 − 4 x 2 + 18 x − 18==( x 2 − 6 x + 15)2( x 2 − 6 x + 15) 2−2 x 2 + 6 x + 12x 2 − 3x − 6= −2 2; f′(x) = 0 ⇔ x2 – 3x – 6 = 0;22( x − 6 x + 15)( x − 6 x + 15)23 + 153 − 15; x2 =;22⎡ 3 − 15 3 + 15 ⎤;f(x) возрастает на ⎢⎥;2 ⎥⎦⎢⎣ 2D = 9 + 6 = 15; x1 =⎛f(x) убывает на ⎜⎜ −∞;⎝⎡ 3 + 15⎞3 − 15 ⎤; +∞ ⎟ .⎥ и на ⎢⎟2 ⎦⎥2⎣⎢⎠2⎛ x−3 ⎞⎟ , [–11; 10].⎝ x − 17 ⎠2( x − 3) x − 17 − x + 3( x − 3)y′(x) =.⋅= −28( x − 17) ( x − 17) 2( x − 17)35.2.С06. а) y(x) = ⎜367На [–11; 10] есть один экстремум; в точке x = 3;y(–11) =1, y(10) = 1, y(3) = 0.4Наибольшее: 1; наименьшее: 0.2⎛ x − 10 ⎞⎟ , [8; 11].⎝ x − 12 ⎠x − 10 x − 12 − x + 10x − 10y′(x) = 2;⋅= −4x − 12( x − 12)3( x − 12)3б) y(x) = ⎜На [8; 11] есть один экстремум в точке x = 10;f(8) =1; f(11) = 1; f(10) = 0.4Наибольшее: 1; наименьшее: 0.5.2.С07.а) y(x) =y′(x) =( x − 1)2+ 14.
D(y) = R \ {±6};x 2 − 362( x − 1)( x 2 − 36) − ( x − 1) 2 (2 x) 2( x − 1)( x 2 − 36 − x 2 + x) 2( x − 1)( x − 36)==;( x 2 − 36) 2( x 2 − 36) 2( x 2 − 36)2y′(x) = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 36;––++–61+366xy(x) возрастает на (–∞; –6), на (–6; 1] и на [36;+∞) и убывает на [1; 6) и на (6; 36].б) y(x) =y′(x) =( x − 4)2– 8. D(y) = R \ {±8}.x 2 − 642( x − 4)( x 2 − 64) − ( x − 4) 2 ⋅ 2 x 2( x − 4)( x 2 − 64 − x 2 + 4 x) 8( x − 4)( x − 16)==;( x 2 − 64)2( x 2 − 64)2( x 2 − 64) 2y′(x) ≥ 0 при x ∈ (–∞; –8) ∪ (–8; 4] ∪ [16; +∞) ⇒ y(x) возрастает на(–∞; –8), на (–8; 4] и на [16; +∞).y′(x) ≤ 0 при x ∈ [4; 8) ∪ (8; 16] ⇒ y(x) убывает на [4; 8) и на (8; 16].5.2.С08.а) f(x) =f′(x) =x 2 − 3x + 16.
D(f) = R \ {0}.x(2 x − 3) x − x 2 + 3x − 16 x 2 − 16=;x2x2f′(x) ≤ 0 при x ∈ [–4; 0) ∪ (0; 4] ⇒ f(x) убывает на [–4; 0) и на (0; 4].f(1) = 14;2⎛ 49 21⎞49+ 11⎜ − + 16 ⎟712⎛7⎞ ⎝ 4⎠ = 2f⎜ ⎟==;7714⎝2⎠⎡ 71⎣⎞⎠Множество значений: ⎢ ; 14 ⎟ .14368x 2 − x + 2525= x + − 1 . D(f) = R \ {0}.xx25 ( x − 5)( x + 5);f′(x) = 1 − 2 =xx2б) f(x) =f′(x) ≤ 0 при x ∈ [–5; 0) ∪ (0; +5] ⇒ f(x) убывает на [–5; 0) и на (0; 5].23256 + 25 31⎛5⎞ 5f ⎜ ⎟ = + 10 − 1 =; f(3) = 3 + + 1 ==;2333⎝2⎠ 2⎛ 31 23 ⎤Множество значений: ⎜ ;⎥.⎝ 3 2⎦5.2.С09.36а) y(x) = x +.
y′(x) = 1 − 36 = ( x − 6 )( x + 6 ) ;xx2x2Пусть x0 — середина отрезка, тогда x0 +36= 12;x0x02 − 12 x0 + 36⇔ x0 = 6. Отрезок [1; 11].x0б) y(x) = 49x +100100. y′(x) = 49 – 2 ;xxПусть x0 — середина отрезка, тогда 49x0 –100= 0;x021010;x=−— точка максимума,77⎡ 13 ⎤⎛ 10 ⎞f ⎜ − ⎟ = −140 ⇒ искомый отрезок ⎢ − ; −1⎥ . Отрезок⎝ 7⎠⎣ 7⎦x0 = ±⎡ 13 ⎤⎢ − 7 ; −1⎥ .⎣⎦3 x3−1 .2− x232⎛⎞9 x 2 ⎜ − x 2 ⎟ − 3x3 (−2 x)x 2 ( x 2 − 2)6 x 2 − 3x 43⎝⎠f′(x) == −3.=222⎛2 2⎞⎛2 2⎞⎛2 2⎞⎜ −x ⎟⎜ −x ⎟⎜ −x ⎟⎝3⎠⎝3⎠⎝3⎠5.2.С10.
а) f(x) =Точка экстремума x = − 2 — точка минимума.Точка экстремума x = 2 — точка максимума.б) f(x) =5 x3−7 .6 x2 − 99⎞⎛x2 x2 − ⎟5 ⎛ 3x2 (2x2 − 3) − x3 (4x) ⎞ 5 (6 x 4 − 9 x 2 − 4 x 4 ) 5 (2x4 − 9x2 ) 10 ⎜⎝2⎠f′(x) = ⎜⎜= ⋅= ⋅.222222⎟⎟ = 3 ⋅33⎝3(2x2 − 3)2x−x−(23)(23)(2x−3)⎠3693Точка экстремума x = −3Точка экстремума x =5.2.С11. а) f(x) =22— точка максимума.— точка минимума.x2.x + 5x − 6212 ⎞⎛5x ⎜ x − ⎟2 x( x 2 + 5 x − 6) − x 2 (2 x + 5)5 x 2 − 12 x5⎠⎝f′(x) ===.( x − 1) 2 ( x + 6) 2( x − 1) 2 ( x + 6) 2 ( x − 1) 2 ( x + 6) 2Точка экстремума x = 0 — точка максимума.Точка экстремума x =б) f(x) =f′(x) =12— точка минимума.57 x2−7 .x + 2x − 3214 x( x 2 + 2 x − 3) − 7 x 2 (2 x + 2) 14 x 2 − 3 − 14 x14 x ( x − 3)==.( x − 1)2 ( x + 3) 2( x − 1) 2 ( x + 3) 2 ( x − 1) 2 ( x + 3) 2Точка экстремума x = 0 — точка максимума.Точка экстремума x = 3 — точка минимума.5.2.С12.
а) f(x) =f′(x) =−5 x 2 + x + 22.x2 − 5(−10 x + 1)( x 2 − 5) + 27(5 x 2 − x − 22) − x 2 + 6 x − 5( x − 1)( x − 5)=;=−2222( x − 5)( x − 5)( x 2 − 5)2x = 1 и x = 5 — точки экстремума;92f(1) = − ; f(5) = −Ответ: −б) f(x) =f′(x) =49 147; ( f (1) + f (5)) = − .10 21047.103 x 2 + x − 27.x2 − 8(6 x + 1)( x 2 − 8) − 2 x(3x 2 + x − 27) − x 2 + 6 x − 8( x − 4)( x − 2)=;=−( x 2 − 8)2( x 2 − 8) 2( x 2 − 8) 2x = 2 и x = 4 — точки экстремума;f (2) =1325 15151; f (4) =; ( f (2) + f (4)) = . Ответ:.48 21616Уровень D.5.2.D01.
а) f(x) =f′(x) =3707 x − 19+3 .12 x 2 + 17 x − 57(12 x 2 + 17 x − 5) − (17 x − 19)(24 x + 17)=(12 x 2 + 17 x − 5)24⎞⎛7( x − 6) ⎜ x + ⎟−84 x 2 + 24 ⋅19 x + 2287 x 2 − 38 x − 247⎠⎝= −12= −12;=(12 x 2 + 17 x − 5)2(12 x 2 + 17 x − 5) 2(12 x 2 + 17 x − 5) 24⎤⎛⎝⎦8x − 7−3 .б) f(x) = 23x + 11x − 4f(x) убывает на ⎜ −∞; − ⎥ и на [6; +∞).724 x 2 + 88 x − 32 − (8 x − 7)(6 x + 11) 24 x 2 + 88 x − 32 − 48 x 2 − 46 x + 77==1⎞1⎞⎛⎛⎜ x − ⎟ ( x + 4)⎜ x − ⎟ ( x + 4)3⎠3⎠⎝⎝53⎞⎛⎞⎛⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟(8 x 2 − 14 x − 15)−24 x 2 + 42 x + 4524⎠⎠⎝= −3= −24 ⎝;1⎞1⎞1⎞⎛⎛⎛⎜ x − ⎟ ( x + 4)⎜ x − ⎟ ( x + 4)⎜ x − ⎟ ( x + 4)3⎠3⎠3⎠⎝⎝⎝35⎡⎞⎛⎤f(x) убывает на (–∞; –4), на ⎜ −4; − ⎥ и на ⎢ ; +∞ ⎟ .4⎦⎝⎣2⎠f′(x) =5.2.D02. а) y(x) =( x − 3) 3( x − 6)2−69.
D(y) = R \ {6};43( x − 3)2 ( x − 6) 2 − 2( x − 6)( x − 3)3y′(x) ==( x − 6)43x − 18 − 2 x + 6( x − 12)= ( x − 3)2= ( x − 3)2;( x − 6)3( x − 6)3y(x) возрастает на (–∞; 6) и на [12; +∞).x = 12 — точка минимума;y (12) =93 69109.−= 3 .
Ответ:3662 4б) y(x) =( x − 1)3 69. D(y) = R \ {7};−( x − 7) 2 23( x − 1)2 ( x − 7)2 − 2( x − 7)( x − 1)3 ( x − 1)2 (3 x − 21 − 2 x + 2) ( x − 1) 2 ( x − 19)==;( x − 7) 4( x − 7)3( x − 7)3–+++y′(x) =1719y(x) возрастает на (–∞; 7) и на [19; +∞).x = 19 — точка минимума; f (19) =5.2.D03. а) y(x) =183 69−= 6 — минимум. Ответ: 6.122 2( x − 15)2 23. ОДЗ: R \ {12};+( x − 12)3 81371y′(x) ==2( x − 15)( x − 12)3 − 3( x − 12)2 ( x − 15) 2=( x − 12)6( x − 15)( x − 12)2 (2 x − 24 − 3x + 45)( x − 15)( x − 21)=−;( x − 12)6( x − 12)4y(x) убывает на (–∞; 12), на (12; 15] и на [21; +∞).x = 21 — точка максимума; y(21) =62 23 11+= .
Ответ: .392 81 3( x − 9) 2 232( x − 9)( x − 8)3 − 3( x − 8) 2 ( x − 9) 2. y′(x) ==+327( x − 8)( x − 8)62 x − 16 − 3x + 27( x − 11)= ( x − 9)= −( x − 9);4( x − 8)( x − 8) 4б) y(x) =y(x) убывает на (–∞; 8), на (8; 9] и на [11; +∞).22 23+= 1 . Ответ: 1.33 274 44 ( x − 2)( x + 2)5.2.D04.
а) y(x) = x + − . y′(x) = 1 − 2 =;x 7xx2т. максимума — x = 11, y(11) =Область определения: x ≠ 0;Возрастает на (–∞; –2] и на [2; +∞); Убывает на [–2; 0) и на (0; 2];Точки экстремума 2 и –2;2432и − .779 29 ( x − 3)( x + 3);б) y(x) = x + + . y′(x) = 1 − 2 =x 7xx2ЭкстремумыОбласть определения x ≠ 0;Возрастает на (–∞; –3] и на [3; +∞); Убывает на [–2; 0) и на (0; 2];Точки экстремума –3 и 3; Экстремумы −4044и.77§ 3. Иррациональные функцииУровень А.35.3.A01. а) f ( x) = 5 x +3x2 =3x=536x+ 1 f '( x) = 5 −33925Ответ:39;253б) f ( x) = 3x +3x2 =3728416x=339x+ 9 f '( x) = 3 −43x2Ответ:=x2316.9=3x 2 − 43x25x 2 − 33x23x165.3.A02.
а) y(x) = −x− 5 . y′(x) = −3+x28( x)3=0;396479⎛ 9 ⎞ 64 128; y⎜ ⎟ = −⇒x=−5 = − −5 = − ;333864⎝ 64 ⎠ 31 16y(9) = − − 5 = −10 .3 3⎛ 79 ⎞Наибольшее значение (–10), наименьшее ⎜ − ⎟ .⎝ 3 ⎠545 8525=0; x = ⇒x=;б) y(x) = −+ 2 . y′(x) = − 2 +3x416xxxx=( )61 83⎛ 25 ⎞ 16 32y ⎜ ⎟ = − + 2 = − ; y(25) = − + 2 = .165555 55⎝ ⎠Наибольшее значение3, наименьшее5⎛ 6⎞⎜− ⎟ .⎝ 5⎠5.3.A03. а) y(x) = –4x x + 12 x − 1 .2xy′(x) = −4 x −6+xx=−4 x − 2 x + 6x=−6( x − 1)x.Точка x = 1 — экстремум, т.к. y′(x) меняет знак с «+» на «–» — то максимум.8x x + 8 x +1 .344( x − 1);y′(x) = 4 x −=xxб) y(x) =Точка x = 1 — экстремум, т.к.
y′(x) меняет знак с «–» на «+» — то минимум.5.4.A04.8а) f(x) = 5 x +f′(x) =52 x0−4( x)32=5x − 82x x⎛ 8⎞< 0 на ⎜ 0; ⎟ ⇒⎝ 5⎠+–б) f(x) = 10 x +x<. D(f) = (0; +∞);x8513xx⎛⎝− 8 . f′(x) =5x−132x x=13, но x > 0 по О.Д.З. f(x) убывает на10355.3.A06. а) y(x) = − x 3 x 2 −8⎤f(x) убывает на ⎜ 0; ⎥ .510 x − 132x x⎦≤ 0 при 10x – 13 < 0 и⎛ 13 ⎤⎜ 0; ⎥ .⎝ 10 ⎦27 3 2x − 11 .2373−x − 93 5 3 2 27 29x − ⋅ 3 = − 3 x2 − 3 = 3=05 32 3 xxxy′(x) = − ⋅⇔ x = –9, но –9 ∉ (0;+∞).Ответ: в (0;+∞) таких точек нет.393 59 2x−3y(x) = x 3 x 2 − 3 x 2 + 4 . y′(x) = ⋅ 3 x 2 − ⋅ 3 = 3 = 0 ;5 32 3 x52xб)x = 3 — критическая, 3 ∈ (0;+∞).
Ответ: 3.Уровень В.5.3.B01. а) g(x) = (x + 8) x + 8 − 39 x + 8 + 10 .g′(x) =3393x + 24 − 39 3 x − 15.x +8 −==22 x +82 x +82 x+8При x > 5 g′(x) > 0 ⇒ g(x) возрастает на [5; +∞);При –8 < x < 5 g′(x) < 0 ⇒ g(x) убывает на [–8; 5).Ответ: возрастает на [5;+∞), убывает на (–8; 5].б) g(x) = (x – 10) x − 10 − 12 x − 10 + 14 .g′(x) =363x − 30 − 21 3( x − 14)==x − 10 −.2x − 102 x − 102 x − 10При 10 < x < 14 g′(x) < 0 ⇒ g(x) убывает.При x > 14 g′(x) > 0 ⇒ g(x) возрастает.Ответ: возрастает на [14;+∞), убывает на (10;14].5.3.B02.
а) g(x) = 3g ′( x) ==152( x − 6 )5 − 35 ( x − 6 )3 − 11 .( x − 6 )3 −1052( x − 6) =152( x − 6 ) ( x − 6 − 7) =15x − 6( x − 13) .2При 6 < x < 13 g′(x) < 0 ⇒ g(x) убывает на [6; 13].При x > 13 g′(x) > 0 ⇒ g(x) возрастает на [13; +∞).Ответ: возрастает на [13;+∞); убывает на [6;13].б) g(x) = 3g ′( x) =152( x − 12 )5 − 25 ( x − 12 )3 + 19 .( x − 12 )3 −752( x − 12 ) =152( x − 12 ) ( x − 12 − 5) =15x − 12( x − 17) ;2При x > 17 g′(x) > 0 ⇒ g(x) возрастает на [17; +∞).При 12 < x < 17 g′(x) < 0 ⇒ g(x) убывает на [12; 17].Ответ: возрастает на [17;+∞); убывает на [12;17].5.3.B03. а) g(x) =( x + 14) 21+ 5 ; D(y) = (–5; +∞);( x + 5) 212( x + 14)( x + 5) 2 −g ′( x) =374( x + 14)212( x + 5) 2x+5=4( x + 14)( x + 5) − ( x + 14)212( x + 5)( x + 5) 2==( x + 14)(4 x + 20 − x − 14)1( x + 5)( x + 5) 2( x + 14)(3 x + 6)=1( x + 5)( x + 5) 2.Единственная критическая точка из области определения (–5;+∞) — это x = –2.Ответ: x = –2.5.3.B04.
а) g(x) = −7( x + 2)( x − 4)g′(x) = −7( x − 4)−13+−13+1 .⎛⎞(2 x − 14)⎜ 3x − 12 − x − 2 ⎟.7=−⎜⎟ = −7444⎜⎟3333( x − 4)3( x − 4)⎝ 3( x − 4)⎠7( x + 2)x = 7 — точка максимума. Ответ: 7.б) g(x) = −5( x − 2)( x − 8)g′(x) = −5( x − 8)−13+−13+7 .⎛⎞(2 x − 22)⎜ 3x − 24 − x + 2 ⎟5=−.⎜⎟ = −5444⎜ 3( x − 8) 3 ⎟3−3( x − 8) 33(x8)⎝⎠5( x − 2)x = 11 — точка максимума.Ответ: 11.5.3.B05. а) g(x) = 14(x + 1) ( x − 11)⎛1x +1⎜−g ′( x) = 14 ⎜ ( x − 11) 3 −4⎜3( x − 11) 3⎝−13−7 .⎞⎛⎞(2 x − 34)⎟⎜ 3x − 33 − x − 1 ⎟14;=⎟⎜⎟ = 1444⎟⎜ 3( x − 11) 3 ⎟33( x − 11)⎠⎝⎠x = 17 — точка минимума.Ответ: 17.б) g(x) = 11(x – 4) ( x − 8)⎛⎜g′(x) = 11⎜ ( x − 8 )−13⎜⎝−−13− 14 .⎞⎛⎞x−4 ⎟⎜ 3 x − 24 − x + 4 ⎟ 2 x − 20;=11⎜⎟=4 ⎟44⎟⎜⎟3333( x − 8) ⎠⎝ 3( x − 8)⎠ 3( x − 8)x = 10 — точка минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
