shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

При x ≥ –1 f′(x) ≥ 0 ⇒ f(x) возрастает.Ответ: убывает на [–∞; –1]; возрастает на [–1; +∞].б) f(x) =( x + 12) 4 + ( x + 14) 4. f′(x) =(x + 12)3 + (x + 4)3 =4= (2x + 16)(x2 + 24x + 144 – x2 – 16x – 48 + x2 + 8x + 16) == 2(x + 8)(x2 + 16x + 112); D < 0;Знак f′(x) зависит только от (x + 8).При x ≤ –8 f′(x) ≤ 0 ⇒ f(x) убывает. При x ≥ –8 f′(x) ≥ 0 ⇒ f(x) возрастает.Ответ: убывает на (–∞; –8]; возрастает на [–8; + ∞).5.1.С02. а) y(x) = (x + 8)2(x – 4).y′(x) = 2(x + 8)(x – 4) + (x + 8)2 = (x + 8)(3x) = 3x(x + 8);Точка максимума — (–8); точка минимума — 0.Обе принадлежат отрезку [–8; 4].f(–8) = 0; f(0) = –256; f(4) = 0; Сумма: –256. Ответ: –256.б) y(x) = (x – 7)2(x – 10) [7; 10].y′(x) = 2(x – 7)(x – 10) + (x – 7)2 = (x – 7)(3x – 27) = 3(x – 7)(x – 9);Точка максимума: 7; минимума: 9.f(7) = 0; f(9) = –4; f(10) = 0; Искомая сумма (–4).

Ответ: –4.5.1.С03.34013а) f(x) = x3 – 5x2 + 3.f′(x) = x2 – 10x = x(x – 10);f′(x) ≤ 0 при x ∈ [0; 10] ⇒ f(x) убывает на [0; 10];f′(x) ≥ 0 при x ∈ (–∞; 0] и [10; +∞) ⇒ f(x) возрастает на (–∞; 0] и на [10; +∞);f(0) = 3; f(10) =1000– 500 + 3 < 0;3т.к. f(x) монотонна на [0; 10] и принимает значения разных знаков наконцах, то она имеет ровно 1 нуль (с учетом непрерывности f(x)).Ответ: f(x) возрастает на (–∞; 0] и на [10; +∞) и убывает на [0; 10]; f(x)имеет один ноль на (0; 10].13б) f(x) = x3 – 3x2 + 1.

f′(x) = x2 – 6x = x(x – 6);f′(x) ≤ 0 при x ∈ [0; 6] ⇒ f(x) убывает на [0; 6];f′(x) ≤ 0 при x ∈ (–∞; 0] и x ∈ [6; +∞)⇒f(x) возрастает на (–∞; 0] и на [6; +∞);f(0) = 1; f(6) =216– 108 + 1 < 0;3Т.к. на концах отрезка [0; 6] f(x) принимает значения разных знаков, то наэтом отрезке нуль ровно один в силу монотонности и непрерывности f(x).Ответ: f(x) возрастает на (–∞; 0] и на [6; +∞) и убывает на [0; 6]; на [0; 6]f(x) имеет один ноль.5.1.С04.а) f(x) = 4x3 – 5x4 + 0,03.⎛⎝3⎞f′(x) = 12x2 – 20x3 = 4x2(3 – 5x) = –20x2 ⎜ x − ⎟ ;5⎠3⎡3⎞f′(x) ≤ 0 при x ≥ ⇒ f(x) убывает на ⎢ ; +∞ ⎟ ;5⎣5⎠f′(x) ≥ 0 при x ≤+33⎤⎛⇒ f(x) возрастает на ⎜ −∞; ⎥ .55⎦⎝+035–x⎛ 3⎞В силу всего этого, уравнение f ( x) = f ⎜ ⎟ имеет единственный корень⎝5⎠33(т.к. т.— точка глобального максимума).553⎤3⎛⎡3⎞Ответ: f(x) возрастает на ⎜ −∞; ⎥ ; убывает на ⎢ ; +∞ ⎟ ; x = .5⎦5⎝⎣5⎠x=б) f(x) = 5x3 – 3x4 – 0,05.341⎛⎝5⎞f′(x) = 15x2 – 12x3 = 3x2(5 – 4x) = –12x2 ⎜ x − ⎟ ;4⎠f′(x) ≤ 0 при x ≥5⎡5⎞⇒ f(x) убывает на ⎢ ; +∞ ⎟ ;4⎣4⎠f′(x) ≥ 0 при x ≤5⎤5⎛⇒ f(x) возрастает на ⎜ −∞; ⎥ .4⎦4⎝5— точка глобального максимума,45⎛5⎞f ( x) = f ⎜ ⎟ имеет единственный корень x = .4⎝4⎠Точка⎛⎝поэтомууравнение5⎤Ответ: f(x) возрастает на ⎜ −∞; − ⎥ ;4⎦5⎡5⎞убывает на ⎢ ; +∞ ⎟ ; x = .4⎣4⎠5.1.С05.а) Пусть (x1, y1) — первая точка, тогда y1 = x1 + 3.Имеем (x1; x1 + 3).Пусть (x2, y2) — вторая точка, тогда y2 = x2 – 1.Имеем (x2; x2 – 1).По условию x1 = x2.L(x) = (x + 2)2 + (x + 2)2 + (x – 1 + 3)2 + (x + 3 + 3)2;L(x) = 4x2 + 24x + ...;A(x1; x1 + 3);B(x1; x1 – 1);M(–2; –3);f(x1) = AM2 + BM2 = (x1 + 2)2 + (x1 + 3 + 3)2 + (x1 + 2)2 + (x1 – 1 + 3)2 == 4x12 + 24x1 + 4 + 36 + 4 + 4;Наименьшее значение парабола принимает в вершинеx1 = −b24=−= −3 ;2a8A(–3; 0); B(–3; –4);Ответ: (–3; 0); (–3; –4).б) (x1, y1) и (x2, y2).Тогда по условию y1 = x1 + 5; y2 = x2 – 3 и x1 = x2;Имеем точки (x1; x1 + 5) и (x1; x1 – 3).Сумма квадрата расстояний до M(–1; –2):L(x) = (x + 1)2 + (x + 1)2 + (x + 5 + 2) + (x – 3 + 2)2 = 4x2 + 16x + 52;L(x) = 4x2 + 16x + ...x0 = −342b= −2 .25MПарабола достигает наименьшего значения в вершине −b= −2 .;2ax1 = –2;Итак, точки (–2; 3) и (–2; –5).Ответ: (–2; 3) и (–2; –5).5.1.С06.

а) f(x) = 2,5x4 + 4x3 + 1,7,⎛⎝6⎞f′(x) = 10x3 +12x2 = 2x2(5x + 6) = 10x2 ⎜ x + ⎟ ;5⎠66⎤⎛f′(x) < 0, при x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; − ) ⇒ f(x) убывает на ⎜ −∞; − ⎥ ;5⎦5⎝⎡ 6⎣6⎞⎠f′(x) > 0, при x ∈ [ − ; +∞) ⇒ f(x) возрастает на ⎢ − ; +∞ ⎟ ;556⎛ 6⎞— точка глобального минимума и уравнение f ( x) = f ⎜ − ⎟5⎝ 5⎠6имеет только одно решение x = − .56⎤6⎛⎡6⎞Ответ: f(x) убывает на ⎜ −∞; ⎥ ; возрастает на ⎢ ; +∞ ⎟ ; x = − .5⎦5⎝⎣5⎠Значит, −б) f(x) = 0,5x4 – 3x3 + 1,6.⎛⎝9⎞f′(x) = 2x3 – 9x2 = 2x2 ⎜ x − ⎟ ;2⎠9При x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; ) f′(x) < 0 ⇒ f(x) убывает на2При x >9⎤⎛⎜ −∞; ⎥ .2⎦⎝9⎡9⎞f′(x) > 0 ⇒ f(x) возрастает на ⎢ ; +∞ ⎟ .2⎣2⎠9⎛9⎞— глобальный минимум ⇒ уравнение f ( x) = f ⎜ ⎟ имеет единственное2⎝2⎠9решение x = .25.1.С07.34312а) f(x) = 17 − 16 x − x 4 .f′(x) = –16 – 2x3 = –2(x3 + 8);При x ≥ –2 f ′(x) ≤ 0 ⇒ f(x) убывает на [2; +∞);При x ≤ –2 f ′(x) ≥ 0 ⇒ f(x) возрастает на (–∞; 2];Из этого следует, что x = 2 — глобальный максимум и неравенство f(x) ≥f(2) верно только при x = 2.б) f(x) = 3 + 32x – x4.f′(x) = 32 – 4x3 = –4(x3 – 8);При x ≥ 2 f′(x) ≤ 0 ⇒ f(x) убывает на [2; +∞);При x ≤ 2 f′(x) ≥ 0 ⇒ f(x) возрастает на (–∞; 2];Значит, x = 2 — глобальный максимум и неравенство f(x) < f(2) верно привсех x кроме x = 2, т.е.

при x ∈ (–∞; 2) ∪ (2; +∞).5.1.С08.а) y(x) = –2(x2 – 14x + 13)(x – 13)2.y′(x) = –2(2x – 14)(x – 13)2 – 4(x – 13)(x2 – 14x + 13) == –4(x – 13)((x – 7)(x – 13) + x2 – 14x + 13) == –4(x – 13)(x2 – 20x + 91 + x2 – 14x + 13) == –4(x – 13)(2x2 – 34x + 104) = –8(x – 13)(x2 – 17x + 52) = –8(x – 13)2(x – 4);В т. 13 y′(x) обращается в 0, но не меняет знак;В т. 4 y′(x) обращается в 0 и меняет знак с «+» на «–»⇒ это точка максимума.+––x413Ответ: 4 — точка максимума, точек минимума нет.б) y(x) = 8(x2 – 15x + 14)(x – 1)2 = 8(x – 14)(x – 1)3.y′(x) = 8(x – 1)3 + 24(x – 1)2(x – 14) = 8(x – 1)2(x – 1 + 3x – 42) =⎛⎝= 8(x – 1)2(4x – 43) = 32(x – 1)2 ⎜ x −43 ⎞⎟;4 ⎠В т.

1 y′(x) обращается в 0, но не меняет знак;43y′(x) обращается в 0 и меняет знак с «–» на «+» ⇒ это точка443минимума. Ответ:— точка минимума, точек максимума нет.4В т.5.1.С09.а) f(x)=(21x2–2x–3)2f'(x)=2(21x2–2x–3)(42x–2)=2(21x2–9x+7x–3)(42x–2)=⎛⎝=84(7x–3)(3x+1) ⎜ x −x1 =3 ⎞⎛1 ⎞⎛1⎞1 ⎞⎛⎟ = 84 ⋅ 7 ⋅ 3 ⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ = 07 ⎠⎝3 ⎠⎝21 ⎠21 ⎠⎝1311x2 = − x3 =Ответ:;732121б) f(x)=(15x2–8x+1)2f'(x)=2(15x2–8x+1)(30x–8)=2(15x2–5x–3x+1)(30x–8)=344⎛⎝= 20(3x − 1)(5 x − 1) ⎜ x −4⎞1 ⎞⎛1 ⎞⎛4⎞⎛⎟ = 900 ⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟15 ⎠3515⎝⎠⎝⎠⎝⎠114x2 = x3 =35151Ответ: .5x1 =5.1.С10.а) f(x) = 5x3 + 2x + 2 2 .f′(x) = 15x2 + 2 > 0 ⇒ f(x) возрастает на (–∞; +∞);f(–1) < 0, f(1) > 0 ⇒ существует ровно один нуль.б) f(x) = 4x3 + 5x + 6 .f′(x) = 12x2 + 5 > 0 ⇒ f(x) возрастает на (–∞; +∞);f(–1) < 0, f(1) > 0 ⇒ существует ровно один нуль.5.1.С11.а) f(x) = 3x3 + 3x2 – 8x – 1.⎛⎝2 ⎞⎛4⎞⎠⎝⎠f′(x) = 9x2 + 6x – 8 = 9 ⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ ;33⎡ 2 1⎤На промежутке ⎢ − ; ⎥ у f(x) нет экстремумов.⎣ 3 3⎦8 4 12819−2029⎛1⎞ 1 1 8⎛ 2⎞f ⎜ − ⎟ = − + + −1 =, f ⎜ ⎟ = + − −1 =.−1 = −−1 =9 3 39999⎝ 3⎠ 9 3 3⎝ 3⎠⎡ 29 19 ⎤;⎥.⎣ 2 9⎦Множество значений: ⎢ −б) f(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 1.⎛5 ⎞⎛1⎞⎡ 1 5⎤f ′(x) = 9x2 – 12x – 5 = 9 ⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ ; на ⎢ − ; ⎥ у f(x) экстремумов нет3 ⎠⎝3⎠⎣ 6 6⎦⎝−1 4 72 48 − 7325⎛ 1 ⎞ −3 1 5f ⎜− ⎟ =,− + −1 =+ −==−72 6 727272⎝ 6 ⎠ 216 6 6125 − 300 − 300 − 72547⎛ 5 ⎞ 3 ⋅125 25 25f⎜ ⎟=.− − −1 ==−216667272⎝6⎠25 ⎤⎡ 547; − ⎥.72 ⎦⎣ 72Множество значений: ⎢ −5.1.С12.а) Пусть x — длина стороны квадрата.Вместимость коробки: V(x) = x(33 – 2x)2.V′(x) = (33 – 2x)2 – 4x(33 – 2x) = (33 – 2x)(33 – 2x – 4x) == 3(33 – x)(11 – x) = 3(2x – 11)(2x – 33)Точка максимума — x = 5,5; в ней V′(x) меняет знак с «+» на «–».

Очевидно,это и есть искомая сторона квадрата.Ответ: 5,5.345б) Пусть x — сторона квадрата.Вместимость коробки: V(x) = x(39 – 2x)2.V′(x) = (39 – 2x)2 – 4x(39 – 2x) = (39 – 2x)(39 – 2x – 4x) == 3(2x – 39)(2x – 13).Точка максимума — x = 6,5; в ней V′(x) меняет знак с «+» на «–». Очевидно,это и есть искомая сторона квадрата.Ответ: 6,5.Уровень D.5.1.D01.( x − 1)3 x 4– 3.233y′(x) = 2x3(x – 1)3 + x4(x – 1)2 = x3(x – 1)2(2(x – 1) + x) =22747⎛⎞⎛⎞= x3(x – 1)2 ⎜ x − 2 ⎟ = x3(x – 1)2 ⎜ x − ⎟ .7⎠2⎝2⎠⎝а) y(x) =Применим метод интервалов:++0–+x147⎡4⎞Ответ: y(x) возрастает на (–∞; 0] и на ⎢ ; +∞ ⎟ ;⎣7⎠⎡⎣y(x) убывает на ⎢ 0;4⎞⎟.7⎠( x 2 − 1)3 x 43+ 1.

y′(x) = 2x3(x – 2)3 + (x – 2)2x4 =223782 32 3 7=(x – 2) x (2x – 4 + x) = (x – 2) x ( x – 4) = (x – 2)2x3(x – ).2227б) y(x) =++0–87+x1⎡8⎞⎡8⎤Ответ: y(x) возрастает на (–∞; 0] и на ⎢ ; +∞ ⎟ ; y(x) убывает на ⎢ 0; ⎥ .⎣7⎠⎣ 7⎦5.2.D02.а) y(x) = –x3 + 12x – 15. y′(x) = –3x2 + 12.Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на [–2; 2]. Убывает на (–∞; –2] и на [2; +∞).Точки экстремума: 2 и –2. Экстремумы: –31 и 1.Множество значений: (–∞; +∞).346y1–4x2–2–31б) y(x) = –x3 + 3x – 4. y′(x) = –3x2 + 3.Область определения: (–∞; +∞).Возрастает на [–1; 1].Убывает на (–∞; –1] и на [1; +∞).Точки экстремума: 1 и –1.Экстремумы: –2 и –6.Множество значений: (–∞; +∞).y–11x–2–4–65.1.D03.а) y(x) = x3 + 3x2 + 20.

Характеристики

Список файлов книги