shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 41
Текст из файла (страница 41)
А05. а) y(x) =3149x2 + 12x + 4 = 0, (3x + 2)2 = 0, x = –⎛ 2⎞⎝⎠442;32y ⎜ − ⎟ = − + ⋅ ln .33 33434323Ответ: − + ⋅ ln .4.6. A06. а) y(x) = x2 + 6 x + 6 + 4ln(x – 2), x0 = 3.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = 2x0 +3x0 + 6+4= 6 + 1 + 4 = 11;x0 − 2f(x0) = 9 + 18 = 27 ⇒ yкас. = 11x – 6.Ответ: у = 11x – 6.б) y(x) = –3x2 + 2 x − 1 – ln(x – 1), x0 = 2.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = –6x0 +1x0 − 1−1= –12 + 1 – 1 = –12,;x0 − 1f(x0) = –12 + 2 = –10 ⇒ yкас. = –12x + 14.Ответ: y = –12x + 14.Уровень В.4.6. В01.а) f(x) = (x – 5)log4(33 –4x), F(4) – F(3) — сравнить с нулем.F′(x) =f(x) < 0 на [3;4] ⇒ F(x) убывает на [3;4] ⇒ F(3) > F(4) ⇒⇒ F(4) – F(3) < 0.Ответ: F(4) – F(3) < 0;б) f(x) = (x – 3)log2(13 –3x), F(–2) – F(–5) — сравнить с нулем.f(x) = 0: x = 3, x = 4f(x) < 0 при x < 3, F(x) убывает на [–5;–2] ⇒ F(–5) > F(–2) ⇒;⇒ F(–2) – F(–5) < 0.
Ответ: F(–2) – F(–5) < 0.2, tgα-?54 x0 − 1tgα = f′(x0) ⇒ f′(x0) = 4ln(5x0 + 3) +⋅ 5 = −13 ⇒ tgα = –13.5 x0 + 34.6. В02. а) f(x) = (4x – 1)ln(5x + 3), x0 = –Ответ: tgα = –13.4, tgα-?35x − 3tgα = f′(x0) ⇒ f′(x0) = 5ln(3x + 5) +⋅ 3 = −29 ⇒ tgα = –29.5 + 3xб) f(x) = (5x – 3)ln(3x + 5), x0 = –Ответ: tgα = –29.4.6. В03. а) f(x) = 4x + 3 – ln2⋅log2(3x + 1), α = arctg3, x0-?tgα = f′(x0) = 3; f′(x0) = 4 –322= 3 ⇒ x = . Ответ: x = .3x + 133б) f(x) = 3x – 2 – ln4⋅log4(3x + 2), α = arctg2, x0-?tgα = f′(x0) = 2315f′(x0) = 3 –311= 2 ⇒ x = . Ответ: x = .3 x0 + 2334.6.В04. а) f(x) = ln( x − 4)e3 x; x = 5.x +1f(x) = ln(x – 4) + lne3x – ln(x + 1) = ln(x – 4) + 3x – ln(x + 1),11;+ 3−x−4x +11 2323f′(5) = 1 + 3 – =.
Ответ:.6 66f′(x) =б) f(x) = ln( x − 1)e4 x; x = 3.x+4f(x) = ln(x – 1) + 4x – ln(x + 4); f′(x) =116161; f ′(3) = . Ответ:.+4−1414x −1x+44.6.B05. а) f(x) = –x – 3 + 5ln(3x – 4), yкас.|| y = 14x – 20.По условию, угловой коэффициент yкас. и y равны ⇒ f′(x0) = 14,f′(x0) = –1 +⎛5⎞155= 14 ⇒ x0 = ;3 x0 − 43514f ⎜ ⎟ = − − 3 = − ⇒ yкас.= 14x – 28.33⎝ 3⎠Ответ: y = 14x – 28.б) f(x) = –x – 1 – 5ln(2x + 3), yкас.|| y = –11x – 22.f ′(x0) = –11, f′(x0) = –1 –10= –11 ⇒ x0 = –1;2 x0 + 3f(x0) = 1 – 1 = 0 ⇒ yкас.= –11x – 11.Ответ: y = –11x – 11.4.6.B06.
а) y(x) = 8x2 + ln(4x + 9) –3.y′(x) = 16x +164; y′′( x) = 16 −=0;4x + 9(4 x + 9) 22⎪⎧(4 x + 9) = 1⇒ 4x + 9 = 1 ⇒ x = –2.⎨⎪⎩4 x + 9 > 0В точке x = –2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс.Следовательно, x = –2 — точка минимума y′(x).y(–2) = 29. Ответ: 29.б) y(x) = 2x2 + ln(2x + 9) –2y′(x) = 4x +4−24; y′′( x) = 4 −; y′′(x) = 0;2x + 9(2 x + 9)2⎧⎪(2 x + 9) 2 = 14=0 ⇒ ⎨⇒ 2x + 9 = 1 ⇒ x = –4.2(2 x + 9)⎪⎩2 x + 9 > 0В точке x = –4 вторая производная меняет знак с минуса на плюс.Следовательно, x = –4 — точка минимума y′(x).y(–4) = 30.
Ответ: 30.3164.6.В07. а) y(x)=ln((3x–2)(4–x)=ln(–3x2+14x–8);y′(x)=1111⋅ (−6 х + 14); y′(2)=⋅ (−6 ⋅ 2 + 14) = ⋅ 2 = .14 х − 3х 2 − 814 ⋅ 2 − 3 ⋅ 4 − 884Ответ: 0,25б) y(x)=ln((3x–4)(10–3x))=ln(42x–9x2–40);1⋅ (−18 х + 42);42 х − 9 х 2 − 40111010y′(3)=⋅ (−18 ⋅ 3 + 42) =⋅ 30 = . Ответ:42 ⋅ 3 − 9 ⋅ 27 − 401173939y′(x)=4.6. B08. а) f(x) = (4x + 3)ln(x – 4). Сравнить F(4;4) и F(4;9).f(x) = F′(x) = 0+–+x3 454F(x) убывает на (–4; 5) ⇒ F(4, 4) > F(4, 9). Ответ: F(4; 4) > F(4, 9).б) f(x) = (5x + 3)ln(x – 1).
Сравнить F(1, 1) и F(1, 3).F′(x) = f(x)f(x) = 0−+3−5–+x21x > 1. F(x) убывает на (1, 2] ⇒ F(1;1) > F(1;3). Ответ: F(1, 1) > F(1,3).4.6. В09. а) f(x) = –8 – 3 3 4 + 3x – 4ln( –x), x0 = –1.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x) = –3 ( 4 + 3x )−23−4;xf′(x0) = –3 + 4 = 1; f(x0) = –8 – 3 = –11;⇒ yкас. = x – 10.
Ответ: y = x – 10;б) f(x) = 5 + 5 6 + 5x – ln( –x), x0 = –1.f′(x0) = ( 6 + 5 x0 )−45−1= 1 + 1 = 2; f(x0) = 5 + 1 = 6;x0⇒ yкас. = 2x + 8. Ответ: y = 2x + 8.4.6. B10. а) f(x) = 7x + ln(3x – 2), x0 = 1.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = 7 +3= 7 + 3 = 10 ;3x − 2f(x0) = 7 ⇒ yкас. = 10x – 3.Ответ: y = 10x – 3.б) f(x) = 3x + ln(4x + 5), x0 = –1.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = 3 +4= 3+ 4 = 7 ;4 x0 + 5f(x0) = –3 ⇒ yкас. = 7x + 4.Ответ: y = 7x + 4.3174.6. B11. а) f(x) = x3ln(3 – x), x0 = 2.x03= −8 ; f(x0) = 0;3 − x0yкас.
= f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = 3x02⋅ln(3 –x0) –⇒ yкас. = –8(–x – 2) = –8x + 16. Ответ: y = –8x + 16.б) f(x) = x2ln(5 – x), x0 = 4;yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = 2x0⋅ln(5 –x0) –x02= −16 ; f(x0) = f(4) = 0;5 − x0⇒ yкас. = –16(x – 4) = –16x + 64.Ответ: y = –16x + 64.4.6. B12.
а) y(x) =2− x⎛ 21 ⎞⎛ 29 ⎞, F(y(x)), сравнить F ⎜ ⎟ и F ⎜ ⎟ .log 4 ( 5 x − 2 )⎝ 50 ⎠⎝ 50 ⎠Найдем промежутки возрастания и убывания F(x):F′(x) = y(x) = 0;y(x) =2− x=0;log 4 (5 x − 2)x = 2.–+–f(x)xF(x)32255⎛ 2 30 ⎞⎛ 21 ⎞⎛ 29 ⎞на ⎜ ; ⎟ F(x) убывает ⇒ F ⎜ ⎟ >F ⎜ ⎟ .⎝ 5 50 ⎠⎝ 50 ⎠⎝ 50 ⎠⎛ 21 ⎞⎛ 29 ⎞⎟ >F ⎜ ⎟ .⎝ 50 ⎠⎝ 50 ⎠Ответ: F ⎜б) f(x) =1− x⎛3⎞⎛7⎞, сравнить F ⎜ ⎟ и F ⎜ ⎟ .log 4 ( 7 x − 5 )⎝4⎠⎝9⎠Найдем промежутки возрастания и убывания F(x): F′(x) = f(x);⇒ f(x) =1− x=0;log 4 (7 x − 5)–+–f(x)xF(x)165773737⎛5 6⎞⎛3⎞⎛7⎞< ∈ ⎜ ; ⎟ , на котором F(x) убывает,<⇒ F ⎜ ⎟ >F ⎜ ⎟ .7749494⎝⎠⎝ ⎠⎝9⎠⎛3⎞⎛7⎞Ответ: F ⎜ ⎟ >F ⎜ ⎟ .⎝4⎠⎝9⎠Уровень С.4.6. С01. а) F(1) и F(2), если: F′(x) = f(x) = (5x2 – 29x + 20)log6(7 –x).Найдем промежутки возрастания F(x):318f(x) = (5x2 – 29x + 20)⋅log6(7 – x) = 0; x = 5, x = 0.8, x = 6;f(x)–++0,8–56x77 – x > 0, x < 7.F(x) убывает на [0.8;5] ⇒ F(1) > F(2).Ответ: F(1) > F(2).б) f(x) = (2x2 – 11x – 21)log3(10 – x), F(2) и F(4).(2x2 – 11x – 21)⋅log3(10 – x) = 0;x = 9, x = 7, x = –1,5;–++–1,5F(x)f(x)–79x10F(x)10 – x > 0, x < 10.F(x) убывает на [–1.5;7] ⇒ F(2) > F(4).Ответ: F(2) > F(4).4.6.C02.
а) f(x) = ln3⋅log6x–9(5x – 9), x0 = 2, yкас. = kx + b, k-?k = f′(x0);f(x) = ln3⋅ln(5 x − 9);ln(6 x − 9)56 ⎞⎛⎜ ln(6 x − 9) ⋅ 5 x − 9 − ln(5 x − 9) ⋅ 6 x − 9 ⎟f ′(x) = ln3⋅ ⎜⎟;ln 2 (6 x − 9)⎜⎜⎟⎟⎝⎠⎛⎝f ′(2) = ln3⋅ ⎜ 5ln 3 ⋅1⎞⎟=5.ln 3 ⋅ ln 3 ⎠Ответ: 5.б) f(x) = ln5⋅log7x–16(6x – 17), x0 = 3, k-?k = f′(x0);f(x) = ln5⋅67 ⎞⎛⎜ ln(7 x − 16) ⋅ 6 x − 17 − ln(6 x − 17) ⋅ 7 x − 16 ⎟ln(6 x − 17); f′(x) = ln5⋅ ⎜⎟;ln(7 x − 16)ln 2 (7 x − 16)⎜⎜⎟⎟⎝⎠⎛ 6 ⋅ ln 5 ⎞⎟ = 6 . Ответ: 6.2⎝ ln 5 ⎠f′(3) = ln5⋅ ⎜4.6.С03. а) f(x) = ex – 3, x0 = 3; g(x) = –4ln(x + 6), x0 = –5.f ′(x0) = e x −3 = 1;0f(x0) = 1 ⇒ y′кас. = x – 2; g′(x0) =−4= −4 ; g(x0) = 0 ⇒ y′′кас. = –4x –20;x+6⇒ y′ = y′′, x – 2 = –4x – 20 ⇒ x = 3,6.
Ответ: x = –3,6.319б) f(x) = ex –2, x0 = 2; g(x) = 11ln(x – 9), x0 = 10.f ′(x0) = e x −2 = 1;0f(x0) = 1 ⇒ yкас. = x – 1; g′(x0) =11= 11 ; g(x0) = 0 ⇒ y′′кас. = 11x –110;x−9⇒ x – 1 = 11x – 110 ⇒ x = 10,9.Ответ: x =109.104.6.C04. а) y(x) = (x – 7)⋅ln(x – 3).F′(x) = y(x). Найдем max F(x).⎡ x = 7,y(x) = (x – 7)ln(x – 3) = 0; ⎢⎣x = 4–++4x7т. max: x0 = 4⇒ y′(x) = ln(x – 3) +x−7−3; y′(4) == −3.x−31Ответ: –3.б) y(x) = (x + 3)⋅ln(x + 5).F′(x) = y(x).⎡ x = −3,y(x) = (x + 3)ln(x + 5) = 0; ⎢⎣ x = −4т. max: x0 = –4⇒ y′(x) = ln(x + 5) +x+3⇒ y′(–4) = –1.x+5Ответ: –1.4.6.С05.
а) f(x) = 5 + 4x + 4ln2⋅log2(6 – x).yкас. ⊥ OY ⇒ yкас. || OX⇒ по условию f′(x0) = 0,f ′(x0) = 4 –4ln 24= 4−=0;(6 − x) ⋅ ln 26− x⇒ x0 = 5.y = 25M(x; 25)O(0; 0)320yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0);f(x0) = 5 + 20 = 25 ⇒ yкас. = 25;MO = 25 2 ; MO = x 2 + 625 = 25 2 ;⎡ x = 25,⇒т. (25;25), т. (–25;25).⎣ x = −25⇒ x2 = 625 ⇒ ⎢Ответ: (25; 25); (–25; 25).б) f(x) = 5 + 6x + 6ln3⋅log3(5 – x).f ′(x0) = 0, f′(x0) = 6 –6= 0 ; ⇒ x0 = 4.5 − x0f(x0) = 5 + 24 = 29 ⇒ yкас.
= 29,M(x; 29)y = 29O(0; 0)MO = 29 2 = x 2 + 292 ;⇒ x2 = 292 ⇒⎡ x = 29,⎢ x = −29 ⇒т. А (29;29), т. В (–29;29).⎣Ответ: (29; 29); (–29; 29).4.6.С06. а) f(x) = 4x2 – 4x + 5 + ln10lg(2x + 3), x0 = –1.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0);f ′(x0) = 8x – 4 +2= –8 – 4 + 2 = –10; f(x0) = 4 + 4 + 5 = 13;2x + 3⇒ yкас. = –10x + 3;⎛ 3 ⎞;0 ⎟ . Ответ: (0; 3);⎝ 10 ⎠⇒ т. ∩ с OX и OY: т. А (0;3), т.
В ⎜⎛ 3⎞⎜ ; 0⎟ .10⎝⎠б) f(x) = 16x2 – 4x – 3 + ln10lg(4x – 3), x0 = 1.f ′(x0) = 32x0 – 4 +4= 32 – 4 + 4 = 32; f(x0) = 16 – 4 – 3 = 9;4x − 3⇒ yкас. = 32x – 23;⎛ 23 ⎞⎛ 23 ⎞;0 ⎟ . Ответ: (0; –23); ⎜ ;0 ⎟ .⎝ 32 ⎠⎝ 32 ⎠⇒ т. ∩ с OX и OY: т. А (0;–23), т. В ⎜4.6.С07. а) f(x) =3x − 2; f(3) + f′(5) = F(1).4xF′(x) = f(x); f(3) + f′(5) = F(1);321711; f′(5) = 2 =;12502x1 7 181.⇒ F(1) = + =50 12 30031318111⎛3 1 ⎞;C=− ;∫ ⎜ − ⎟ dx = x − ln | x | +C ; F(1) = + C =42430075⎝ 4 2x ⎠f(3) =34ln | x | 11.−2753ln | x | 11Ответ: F(x) = x −−.42755x − 2б) f(x) =; f(2) + f′(3) = F(1), F(x)-?6x112f(2) = ; f′(3) = 2 =;2733x2 1 19⇒ f(2) + f′(3) = += F(1).=3 27 275ln | x |519⎛5 1 ⎞+ C ; F(1) = + C =F(x) = ∫ ⎜ − x ⎟ dx = x −;63627⎝6 3 ⎠75ln | x | 75ln | x | 7⇒ C = − ; ⇒ F(x) = x −−.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
