shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ответ: arctg3 + πk, k ∈ ∧.б) Пусть x0 — абсцисcа точки касания, тогда f(x0) = f ′(x0) по условию5sinx0 – cosx0 = 5cosx0 + sinx0;4sinx0 = 6cosx0 ⇒ tgx0 =333⇒ x0 = arctg + πk , k ∈ ∧. Ответ: arctg +πk , k ∈ ∧.2224.4.А03. а) f(x) = –5cosx + 27x2 – 6x – 1.Первообразная F(x) = –5sinx + 9x3 – 3x2 – x + C.По условию F(0) = 0 ⇒ C = 0.Ответ: F(x) = –5sinx + 9x2 – 3x2 –x.б) f(x) = –4cosx + 3x2 + 4x + 1.Первообразная F(x) = –4sinx + x3 + 2x2 + x + C.По условию F(0) = 0 ⇒ C= 0.Ответ: F(x) = –4sinx + x3 + 2x2 + x.4.4.А04. а) f(x) = 2x – 5sinx + 1.f ′(x) = 2 — 5cosx; f(0) = 1; f′(0) = –3.Уравнение касательной в т. (0; 1): y = –3(x – 0) + 1 = –3x + 1.Ответ: y = –3x + 1.б) f(x) = 5x – 4sinx + 1. f′(x) = 5 – 4cosx; f(0) = 1; f′(0) = 1.Уравнение касательной в т.
(0; 1): y = 1(x – 0) + 1 = x + 1.Ответ: y = x + 1.4.4.А05. а) f(x) = 3sinx – 2cosx.Первообразная F(x) = –3cosx – 2sinx + C.По условию F(–2π) = 0: –3 + C = 0 ⇒ C = 3; F(x) = –3cosx – 2sinx + 3.График пересекает ось ординат в т. (0; F(0));F(0) = –3 – 0 + 3 = 0. Ответ: (0; 0).б) f(x) = 2sinx – 3cosx. Первообразная F(x) = –2cosx – 3sinx + C.По условию F(2π) = 0 ⇒ –2 + C = 0 ⇒ C = 2; F(x) = –2cosx – 3sinx + 2.График F(x) пересекает ось ординат в т.
(0; F(0));F(0) = –2 – 0 + 2= 0. Ответ: (0; 0).278π2π⎛⎝1⎞4.4.А06. а) S = 4 ∫ sin xdx = −4 cos x π2 = − ⎜ −4 ⋅ ⎟ = 2 ;π2330⎠0б) S = 2 ∫ cos xdx = 2 sin x − π = 1 .π−66Уровень В.4.4.В01. а) f(x) = x2 – 4cos3x; F ( x) =По условию F(–x) = –F(x): −Отсюда, C = 0.
Ответ: F ( x) =б) f(x) = x4 + 2cos2x; F ( x) =x3 4− sin 3x + C .3 3x3 4x3 4+ sin 3 x + C = − + sin 3 x − C .3 33 3x3 4− sin 3 x .3 3x5+ sin 2 x + C .5По условию F(–x) = –F(x):−x5x5− sin 2 x + C = − − sin 2 x − C . Отсюда C = 0.55Ответ: F ( x) =x5+ sin 2 x .54.4.В02. а) f(x) = (10x2 – 57x + 54) sinπx.Касательная к графику F(x) параллельна оси абсцисс, значит F′(x) = f(x) = 0;f(x) = (10x2 – 57x + 54)sinπx = 0;⎡⎢ x = k, k ∈ Z⎢⎡sin πx = 09⇔ ⎢x = ;⎢ 2⎢21057540xx−+=⎣⎢6⎢x = .⎢⎣5Ответ: x =96, x = , x = k, k ∈ ∧.25б) f(x) = (20x2 + 4(x – 9)sinπx.Касательная параллельна оси абсцисс, значит F′(x) = f(x) = 0;f(x) = (20x2 + 41x – 9)sinπx = 0⎡⎢ x = k, k ∈ Z⎢sinπx=0⎡91⎢x = − 9⇔; Ответ: x = − , x = , x = k, k ∈ ∧.⎢2⎢44520x41x90+−=⎣⎢⎢x = 1⎢⎣54.4.В03.а) f(x) = tg(2x –3).Касательная к графику F(x) образует угол arctg5 ⇒ f(x) = F′(x) = 5 в этойточке: f(x) = tg(2x – 3) = 5; 2x – 3 = arctg5 + πk;279x=arctg 5 + 3 πkarctg 5 + 3 πk++, k ∈ ∧.
Ответ:, k ∈ ∧.2222б) f(x) = tg(7x + 1).Касательная к графику F(x) образует угол arctg4 ⇒ f(x) = F′(x) = 4 в этойточке:f(x) = tg(7x+1) = 4; 7x + 1 = arctg4 + πk ⇒ x =Ответ:arctg 4 − 1 πk, k ∈ ∧.+77arctg 4 − 1 πk+, k ∈ ∧.774.4.В04. а) f(x) = 5xsin2πx.Тангенс искомого угла — производная F(x) в точке x0 =⎛1⎞π5551⎛1⎞, т.е. f ⎜ ⎟ .4⎝4⎠5tgα = f ⎜ ⎟ = sin = ; α = arctg + πk , k ∈ ∧. Ответ: α = arctg .2 444⎝4⎠ 4б) f(x) = –2xsin3πxТангенс искомого угла — производная F(x) в точке x0 =⎛1⎞⎝ ⎠π11⎛1⎞, т.е.
f ⎜ ⎟ .6⎝6⎠⎛ 1⎞⎝ ⎠1⎛ 1⎞⎝ ⎠tgα = f ⎜ ⎟ = − sin = − ; α = arctg ⎜ − ⎟ + πk, k ∈ ∧. Ответ: α = arctg ⎜ − ⎟ .63 2333π8π1214.4.В05. а) S = 2 ∫ cos 4 xdx = ∫ cos tdt = sin tπ2π212π33ππ⎛⎝π2π31⎛3⎞ 13= ⎜1 −;⎟= −2 ⎜⎝2 ⎟⎠ 2 41⎞б) S = 6 ∫ sin 3xdx = 2 ∫ sin tdt = −2 cos t 2 π = −2 ⎜ −1 + ⎟ = 1 .2π2π2393⎠3x3x13cos + x + 1 = sin 3x + x + 1 . f ′( x) = cos3x + 1 .22225Уравнение касательной в точке (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0); f ′(0) = ; f(0) = 1.25Ответ: y = x + 1 .25x5x15б) f ( x) = sin cos + 3x − 7 = sin 5 x + 3x − 7 ; f ′( x) = cos5 x + 3 .222211Уравнение касательной в точке (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0); f ′(0) = ; f(0) = –7.211Ответ: y = x − 7 .214.4.В07.
а) f(x) = 4x8 + 3x + tgx + 7. f ′( x) = 32 x7 + 3 +.cos 2 x4.4.В06. а) f(x) = sinУравнение касательной в точке (0; f(0)): y = f′(0)x + f(0); f′(0) = 4; f(0) = 7.Ответ: y = 4x + 7.280б) f(x) = 3x6 + 2x + tgx + 6. f ′( x) = 18 x5 + 2 +1.cos 2 xУравнение касательной в точке (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0); f ′(0) = 3; f(0) = 6.Ответ: y = 3x + 6.4.4. В08. а) f ( x) = 2 x + 1 − cos 2 2 x + sin 2 2 x − 6 .f ′( x) =12x + 1+ 4sin2xcos2x+ 4sin2xcos2x.Уравнение касательной в т. (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0), f ′(0) =11= 1 ; f(0) = –6.Ответ: y = x – 6.б) f ( x) = 6 x + 1 + 2cos 2 2 x − 2sin 2 2 x − 1 ;f ′( x) =36x +1– 8sin2xcos2x – 8sin2xcos2x.Уравнение касательной в т.
(0; f(0)):Ответ: y = 3x + 2.y = f ′(0)x + f(0), f′(0) = 3; f(0) = 2.4.4.В09.а) f(x) = 2sin3xcos3x – 5(2x + 1)0,4 = sin6x – 5(2x + 1)0,4;f ′(x) = 6cos6x – 4(2x + 1)–0,6. Уравнение касательной в т. (0; f(0)): y = f ′(0)x +f(0), f ′(0) = 2; f(0) = –5. Ответ: y = 2x – 5.б) f(x) = 3sin4xcos4x – 10(5x + 1)0,5 =3sin8x – 10(5x + 1)0,5.2f′(x) = 12cos8x – 25(5x + 1)–0,5.Уравнение касательной в т. (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0), f ′(0) = –13; f(0) = –10.Ответ: y = –13x –10.4.4.В10.
а) f(x) = 3x2 + 2x + tg2x + 7. f ′(x) = 6x + 2 +2.cos 2 2xУравнение касательной в т. (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0), f ′(0) = 4; f(0) = 7.Ответ: y = 4x + 7.б) f(x) = 2x2 – 3x + tg5x –5. f′(x) = 4x – 3 +5.cos 2 5xУравнение касательной в т. (0; f(0)): y = f ′(0)x + f(0), f ′(0) = 2; f(0) = –5.Ответ: y = 2x – 5.4.4.В11.16а) f(x) = 1 + cos6x. Первообразная F(x) = x + sin6x + C.⎛π⎞π1π11π.По условию F ⎜ ⎟ = 2π . + sin 6 ⋅ + C = 2π ; C =6 666⎝6⎠16Ответ: F(x) = x + sin6x +11π.6б) f(x) = 3 + sin2x. Первообразная F(x) = 3x –1cos2x + C.2281⎛π⎞3π9π11По условию F ⎜ ⎟ = −3π ;− cos π + C = –3π ; C = − − .2 22 2⎝2⎠19π 1cos2x – − .22 2xx54.4.В12.
а) f(x) = 5x + sin . Первообразная F(x) = x 2 − 2cos + C .2225xПо условию F(0) = 0; 0 – 2 + C = 0 ⇒ C = 2. Ответ: F(x) = x 2 − 2cos + 2 .22xб) f(x) = 2x + cos .5xПервообразная F(x) = x2 + 5sin + C.5xПо условию F(0) = 0 + 0 + C = 0 ⇒ C = 0. Ответ: F(x) = x2 + 5sin .5Ответ: F(x) = 3x –Уровень С.π⎞⎛⎝4.4.С01. а) f(x) = 3ctg ⎜ 4 x + ⎟ + 5 x9 + 5 . f ′( x) =2⎠−129+ 5 x4 .π5⎛⎞sin 2 ⎜ 4 x + ⎟2⎠⎝Пересечение с осью ординат: (0; f(0)) = (0; 5).Уравнение касательной в т. (0; 5):y= f ′(0)x + 5; f ′(0) = –12.
Ответ: y = –12x + 5.−3π⎞⎛⎝б) f(x) = ctg ⎜ 3x + ⎟ + 5 x8 − 3 . f ′( x) =2⎠π⎞sin ⎜ 3x + ⎟2⎠⎝2⎛+85 3x .5Пересечение с осью ординат: (0; f(0)) = (0; –3)Уравнение касательной в т. (0; –3): y = f ′(0)x – 3; f ′(0) = –3. Ответ: y = –3x – 3.4.4.С02.а) f(x) = sinx – 7cosx. Первообразная F(x) = –cosx – 7sinx + C.Известно, что F(4π) = 0 ⇒ –cos4π – 7sin4π + C = 0 ⇒ C = 1.F(x) = –cosx – 7sinx + 1.Найдем нули: cosx + 7sinx = 1;150cos x +⎡⎢ x − arccos⎢⎢⎢ x − arccos⎣750150150Ответ: 2arccossin x =150= arccos= − arccos150⎛; cos ⎜ x − arccos⎝15011 ⎞1;⎟=50 ⎠50+ 2πk , k ∈ Z50;+ 2πn, n ∈ Z+ 2πk , k ∈ ∧, 2πn, n ∈ ∧,б) f(x) = sinx – 5cosx.
Первообразная F(x) = –cosx – 5sinx + C.Известно, что F(–4π) = 0 ⇒ –cos(–4π) –5sin(–4π) + C = 0.Отсюда C = 1. Найдем нули F: cosx + 5sinx = 1;2821cos x +5sin x =1⎛; cos ⎜ x − arccos1 ⎞1;⎟=26 ⎠26262626⎝1⎡⎢ x = 2arccos 26 + πk , k ∈ Z ; Ответ: 2arccos 1 + πk, k ∈ ∧; πn, n ∈ ∧.⎢26⎢⎣ x = πn, n ∈ Z4.4.С03. а) f(x) = 10sin2x – 5 3 sinx + 1.π= 1 в искомых точках.4⎛3⎞f(x) = 10sin2x – 5 3 sinx + 1 = 1; 10sin x ⎜⎜ sin x −⎟⎟ = 0 ;2⎝⎠Из условия следует, что F′(x) = f(x) = tg⎡sin x = 0⎡ x = πk , k ∈ Zπn⎢⎢⇔.Ответ:πk,k∈∧;(–1)π3 + πn, n ∈ ∧.3n⎢sin x =⎢ x = (−1) + πn, n ∈ Z⎢⎣⎢⎣32б) f(x) = 6sin2x – 3 2 sinx – 1.3π= –1 в искомых точках:4⎛2⎞f(x) = 6sin2x – 3 2 sinx – 1 = –1; 6sin x ⎜⎜ sin x −⎟=0;2 ⎟⎠⎝Из условия следует, что F′(x) = f(x) = tg⎡sin x = 0⎡ x = πk , k ∈ Zπn⎢⎢⇔.Ответ:πk,k∈∧;(–1)π2n4 + πn, n ∈ ∧.⎢sin x =⎢ x = (−1) + πn, n ∈ Z⎢⎣⎢⎣424.4.
С04. а) f(x) = 2π sinπx + 5π cosπx.Первообразная F(x) = –2cosπx + 5sinπx + C;F(8) = –2cos8π + 5sin8π + C = C – 2.По условию расстояние от (0; 0) до (8; C – 2) равно 10. Значит,⎡C = 8.64 + (C – 2)2 = 100 ⇔ ⎢⎣ C = −4Ответ: F(x) = –2cosπx + 5sinπx + 8; F(x) = –2cosπx + 5sinπx – 4.б) f(x) = π sinπx – π cosπx. Первообразная F(x) = –cosπx – sinπx + C;F(3) = –cos3π – sin3x + C = C + 1.По условию расстояние от (0; 0) до (3; C + 1) равно 5:⎡C = 3.9 + (C + 1)2 = 25 ⇔ ⎢⎣C = −5Ответ: F(x) = –cosπx – sinπx + 3; F(x) = –cosπx – sinπx – 5.4.4.С05. а) f(x) = –6tgx + 3; y = –6x – 5.Пусть (x0; f(x0)) — точка касания. По условию f ′(x0) = −6= −6 .cos 2 x0⎡ cos x = 10⇒ x0 = πk, k ∈ ∧.Отсюда cos2x0 = 1 ⇔ ⎢⎣ cos x0 = −1283Уравнение касательных в т.
(πk; f(πk)): y = f ′(πk)(x –πk) + f(πk); f(πk) = 3y = –6x + 6πk + 3, k ∈ ∧. Ответ: y = –6x + 6πk + 3, k ∈ ∧.б) f(x) = 4tgx + 1; y = 4x + 5. Пусть (x0; f(x0)) — точка касания.По условию f ′( x0 ) =4= 4.cos 2 x0⎡ cos x = 10Отсюда cos2x0 = 1 ⇔ ⎢⇒ x0 = πk, k ∈ ∧.cosx0 = −1⎣Уравнение касательных в т.
(πk; f(πk)): y = f ′(πk)(x –πk) + f(πk); f(πk) = 1Ответ: y = 4x – 4πk + 1, k ∈ ∧.4.4.С06. а) f(x) = 2cosx – 11sinx. Первообразная F(x) = 2sinx + 11cosx + C.Производная f ′(x) = –2sinx – 11cosx.По условию F(x) = –f ′(x); 2sinx + 11cosx + C = 2sinx + 11cosx.Отсюда C = 0. Ответ: F(x) = 2sinx + 11cosx.б) f(x) = 5cosx + 12sinx. Первообразная F(x) = 5sinx – 12cosx + C.Производная f ′(x) = –5sinx + 12cosx.По условию f ′(x) = –F(x): –5sinx + 12cosx = –5sinx + 12cosx – C;Отсюда C = 0. Ответ: F(x) = 5sinx – 12cosx.4.4.С07.
а) f(x) = 3cosx – 4x; y = –x – 2;f′(x) = –3sinx – 4.По условию f′(x0) = –3sinx0 – 4 = –1, где (x0; f(x0)) — точка касания;π+ 2πk, k ∈ ∧.2⎛ π ⎞Наименее удалена от нуля точка ⎜ − ; 0 ⎟ .⎝ 2 ⎠–3sinx0 = 3 ⇔ x0 = −⎛ π⎛ π ⎞⎞⎛ π ⎞⎛π⎞⎛ π⎞Уравнение касательной в т. ⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟ : y = f ′ ⎜ − ⎟⎜ x + ⎟ + f ⎜ − ⎟ ;2⎠⎝ 2 ⎠⎝⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠⎠⎝ 23ππ3π⎛ π⎞⎛ π⎞f ′⎜ − ⎟ = −1 ; f ⎜ − ⎟ = 2π . Тогда y = −x − + 2π = − x + . Ответ: y = –x +.222⎝ 2⎠⎝ 2⎠б) f(x) = 2cosx – 3x; y = –x – 1По условию f′(x0) = –2sinx0 – 3 = –1, где (x0; f(x0)) — точка касания.–2sinx0 = 2 ⇒ x0 = −π+ 2πk, k ∈ ∧.2Наименее удалена от начала координат точка −⎛ π⎛ π ⎞⎞π.2⎛ π ⎞⎛π⎞⎛ π⎞Уравнение касательной в т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
