shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Прямая пересекает оси в точках3⎠12⎛2⎞(0; –6) и ⎜ ; 0 ⎟ . Площадь треугольника ⋅ 6 ⋅ = 2. Ответ: 2.23⎝3⎠54.2.С05. а) f ( x) = − 2 , 5f(x)+4F(x)+17=0, x ∈ (0, +∞).x55⎛ 5⎞Найдем первообразную, F ( x) = ∫ ⎜ − 2 ⎟ dx = + C , т.к. F(1)=0, + C = 0 тоx1⎝ x ⎠С=–5247т.е. F ( x) =5−5 .xПодставвим в уравнение, получим25 205+ − 20 + 17 = 0 , 3x2–20x+25=0, тогда x1=5, x2 = ;3x2 x6б) f ( x) = 2 , x ∈ (–∞, 0), 6f(x)–5F(x)–26=0x5⎛ 5⎞F ( x) = ∫ ⎜ − 2 ⎟ dx = + Cx⎝ x ⎠−66dx = − + C , т.к. F(–1)=0, тоx2x66+C=0 т.е.
C=–6 и F ( x) = − − 6xF ( x) = ∫Подставвим в уравнение, получим36 30+ + 30 − 26 = 0 , 4x2+30x+36=0x2 x3Итак, x1=–6, x2 = − .2х−3х−24.2.С06. а) f ( х) =.g ( х) =х−2х−32х−3 х−2⎛ х−3⎞=⇔⎜⎟ =1 ⇔х−2 х−3⎝ х−2⎠Найдем точки пересечения:⇔ ⎨⎧ х − 3 = х − 2⇔ х = 2,5 ;⎩ х − 3 = 2 − х; х ≠ 2; х ≠ 3х − 2 − ( х − 3)1;f / ( х) ==/( х − 2) 2( х − 2) 2f (2,5)=4; f(2,5)=–1.Уравнение касательной: у=4(х–2,5)–1. Ответ: у=4х–11.х+3х+5; g ( х) =. Найдем точки пересечения:х+5х+3⎧⎡ х + 3 = х + 52х+3 х+5 ⎛ х+3⎞⎪⎢==⎜=1⇔⎨ ⎣ х + 3 = − х − 5 ⇔ х = −4 ;⎟х+5 х+3 ⎝ х+5⎠⎪ х ≠ −3; х ≠ −5⎩х + 5 − ( х + 3)2/f /(–4)=2; f(–4)=–1.f ( х) ==2( х + 5)2х+5()б) f ( х) =Уравнение касательной у=2(х+4)–1. Ответ: у=2х+7.4.2.С07. а) f ( х) =х 2 − 28; у=–6х.хНайдем точки пересечения248⎧⎪7 х 2 = 28х 2 − 28⇔ х = ±2 .= −6 х ⇔ ⎨х⎪⎩ х ≠ 0f / ( х) =2 х 2 − х 2 + 28 х 2 + 2828== 1+ 2 .22хххДля точки х=2: f / (2) = 1 + 7 = 8 ; f(2)=–12.Уравнение касательной: y = 8(x – 2) – 12; y = 8x – 28.Для точки х=–2: f′(–2) = 8; f(–2) = 12.Уравнение касательной: y = 8(x + 2) + 12; y = 8x + 28.Ответ: y = 8x – 28; y = 8x + 28.б) f ( х) =х 2 − 4848= х−; у=–2х.ххНайдем точки пересеченияf / ( х) = 1 +⎧⎪3х 2 = 48х 2 − 48, x = ±4;= −2 х ⇔ ⎨х⎪⎩ х ≠ 048.х2Для точки х=4: f /(4)=4; f(4)=–8.Уравнение касательной: у=4(х–4)–8.
у=4х–24.Для точки х=–4: f′(–4)=4; f(–4)=8.Уравнение касательной: у=4(х+4)+8 у=4х+24. Ответ: 4x + 24; 4x – 24.4.2.С08.а) f ( х) =х6 − 16 х 4.х − 5 х + 1052Первообразная возрастает там, где ее производная — то есть f(х) положительна, убывает — там где отрицательна.()х 4 х 2 − 16х 6 − 16 х 4. Знаменатель положителен, т.к. его D<0.=х 2 − 5 х + 105 х 2 − 5 х + 105Исследуем знак х4(х2–16)=х4(х–4)(х+4). Применим метод интервалов:++x-404Ответ: первообразная возрастает на (–∞; –4] и на [4; +∞), убывает на [–4; 4].б) f ( х) =х 6 − 25 х 4.х 2 + 2 х + 98Пусть F(х) — первообразная, f(х) — производная F(х).
Исследуем промежутки её знакопостоянства. Знаменатель положителен, т.к. его D<0. Исследуем числитель х6–25х4=х4(х–5)(х+5)+--+x-505Ответ: F(х) возрастает на (–∞; –5] и [5; +∞), убывает на [–5; 5].4.2.С09.а) f ( х) =3х 2 + 77= 3х + .хх2493 2х + 7 ln х + С ;2375375F ( х) = F (5) ⇔ х 2 + 7 ln х + С =+ 7 ln 5 + С ; х 2 = −7 ln х + + 7 ln 5 .2222Первообразная F ( х) = ∫ f ( х) =Очевидно, что х=5 — корень.
Других нет, т.к. слева возрастающая прих∈(0; +∞) функция, а справа убывающая. Ответ: x = 5.б) f ( х) =5х2 + 44= 5х + .хх5 2х + 4ln х при х∈(0; +∞);2520F ( х) = F (2) ⇔ х 2 + 4ln х + С =+ 4ln 2 + С .22Первообразная: F ( х) = ∫ f ( х) =Очевидно, что х=2 — корень. Других нет, т.к. в уравнении слева стоит возрастающая при х∈(0; +∞) функция, а справа константа.Ответ: x = 5.4.2.С10.а) f ( х) = −f / ( х) =16.х16; f(–2)=8; f /(–2)=4.х2Уравнение касательной у=4(х+2)+8=4х+16.
Эта прямая пересекает оси вточках (0; 16) и (–4; 0). Расстояние между ними: S = 16 + 256 = 4 17 .Ответ: 4 17 .б) f ( х) = −f / ( х) =6.х6;х2f(–1)=6; f /(–1)=6. Уравнение касательной у=6(х+1)+6=6х+12. Эта прямаяпересекает оси в точках (0; 12) и (–2; 0). Расстояние между нимиS = 4 + 144 = 2 37 . Ответ: 2 37 .x24.2.С11. а) y = − , y =4– общая точка (–2; 1).x2−1−1 ⎛ 4−1⎛ 4 x2 ⎞⎛ x ⎞⎞⎛ 4 x⎞S = ∫ ⎜ 2 − ⎜ − ⎟ ⎟ dx = ∫ ⎜ 2 − ⎟ dx = ⎜ − + ⎟ =2⎠−2 ⎝ x−2 ⎝ x⎝ 2 ⎠⎠⎝ x 4 ⎠ −21= 4 + − (2 + 1) = 1, 25 .
Ответ: 1,25;4x3⎛ 1⎞б) y = , y = 2 – общая точка ⎜ 3; ⎟9x⎝ 3⎠33⎛ 3 x2 ⎞1 3 2 2⎛ 3 x⎞S = ∫ ⎜ 2 − ⎟ dx = ⎜ − − ⎟ = −1 − + + =9⎠x182 2 9 92⎝ x⎝⎠2250Ответ:2.94.2.С12.4ха) f ( х) = 3х − .f / ( х) = 3 +4х2⎛ 2⎞⎛ 2⎞f / ⎜ − ⎟ = 12 ; f ⎜ − ⎟ = −2 + 6 = 4 .⎝ 3⎠⎝ 3⎠⎛⎝2⎞Уравнение касательной: у = 12 ⎜ х + ⎟ + 4 = 12 х + 12 . Эта прямая пересекает3⎠12оси в т. (0; 12) и (–1;0). Площадь искомого треугольника: S = ⋅12 ⋅1 = 6 .Ответ: 6.б) f ( х) = 4 х −22⎛1⎞⎛1⎞.
f / ( х) = 4 + 2 ; f / ⎜ ⎟ = 12 ; f ⎜ ⎟ = 2 − 4 = −2 .хх⎝2⎠⎝2⎠⎛⎝1⎞Уравнение касательной у = 12 ⎜ х − ⎟ − 2 = 12 х − 8 . Эта прямая пересекает2⎠12 8⎛2⎞оси в т. (0; –8) и ⎜ ; 0 ⎟ . Площадь искомого треугольника: S = ⋅ 8 ⋅ = .23 3⎝3⎠Ответ:8.3Уровень D.4.2. D01.()5 х 2 + 8155.==8181хх3х−х− 281х + 81х+х10 х 4 − 15 х 4 − 1215 х 2 −5 х 2 − 1215Найдем у / ( х) =.=х6х4а) у =Искомые абсциссы — те, производная у /(х) в которых равна −14.135−5 х 2 − 121514;=−135х4⎧ 14 4х − 5 х 2 − 1215 = 0⎪;⎨135⎪х ≠ 0⎩D=232; х12 = 135 ; х22 = −1215< 0 , чего быть не может.
Итак х2=135. Значит,14х = 135 = 3 15 и х = −3 15 — искомые абсциссы.Ответ: 3 15 , −3 15 .251б)999 х 2 + 576.==6464 хх3х−х− 264х + 64х+хНайдем у / ( х) =18 х 4 − 17 х 4 − 1728 х 2 −9 х 2 − 1728.=х6х4Искомые абсциссы — те, производная у /(х) в которых равна −17.216⎧ 17 4х − 9 х 2 − 1728 = 0−9 х 2 − 172817 ⎪;;=−216⎨4216 ⎪х≠х0⎩16 ⋅ 216222D=25 ; х1 = 276 ; х2 = −<0.34Итак, х2=216, значит х = 6 6 и х = −6 6 — искомые абсциссы.Ответ: 6 6 ; −6 6 .4.2.D02. а) f ( х) = −f / ( х) =1.6х1.
Пусть х0 — точка касания.6х2Уравнение касательной: у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);у=111х1.−=−х−6 х0 6 х0 6 х02 3х06 х02⎛ 11⎞111Касательная проходит через ⎜ − ; ⎟ , значит = −;−224 х02 3 х0⎝ 4 2⎠⎧⎪12 х 2 + 8 х0 + 1 = 012 х02 + 8 х0 + 1.=0⇔⎨ 0224 х0⎪⎩ х0 ≠ 0D= 16 − 12 = 4 ;4−4 ± 211х0 =; х0 = − или х0 = − .122622Уравнения касательных: у = х + и у=6х+2.3322Ответ: y = x + ; y = 6x + 2.332.б) f ( х) =3х2f / ( х) = − 2 .3хРешаем 12x02 + 8x + 1 = 0;Пусть х0 — точка касания.Уравнение касательной: у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);252у=−2х2224++= − 2 х+.3 х03х02 3 х0 3х03х0⎧⎪1,5 х02 − 4 х0 + 2 = 024.+⇔⎨23х0 3 х0⎪⎩ х0 ≠ 0D2= 4 − 3 = 1 ⇒ х0 = 2 или х0 = .Решаем 1,5 х02 − 4 х0 + 2 = 0 ;43123Уравнения касательных: у = − х + и у = − х + 2 .263123Ответ: y = − x + ; y = − x + 2 .632Касательная проходит через (1; 0,5); 0,5 = −4.2.D03.
а) f ( х) =х 2 − 11х + 28 ( х − 4)( х − 7).=х2х2При х≤4 f(х)≥0, значит F(х) возрастает.При х∈[4; 7] f(х)≤0, значит F(х) убываетПри х∈[7; +∞) f(х)≥0, значит F(х)возрастает.Исходя из этого, заключаем, что на отрезке [3; 7] наибольшее значение F(х)достигает в х=4.28⎛ 11 28 ⎞F ( х) = ∫ f ( х) = ∫ ⎜1 − + 2 ⎟ dx = х − 11ln х − + С .ххх ⎠⎝Известно, что F(4)=1⇒4–11ln4–7+С=1⇒С=4+11ln4.28+ 4 + 11ln 4 .х10 24х 2 − 10 х + 24 ( х − 4 )( х − 6 )б) f ( х) === 1− + 2 .х хх2х2Ответ: F ( х) = х − 11ln х −При х≤4 f(х)≥0, значит F(х) возрастает.При х∈[4; 6] f(х)≤0, значит F(х) убывает.При х∈[6; +∞) f(х)≥0, значит F(х) возрастает.Исходя из этого, заключаем, что на отрезке [1; 6] наибольшее значение F(х)достигает в х=4.F ( х) = ∫ f ( х) = х − 10ln х −24+С .хИзвестно, что F(4)=–2⇒4–10ln4–6+С=–2 С=10ln4.24+ 10 ln 4 .х5х − 3224.2.D04. а) f ( х) =.
f / ( х) = −.= 5+2х −1х −1( х − 1)Ответ: F ( х) = х − 10 ln х −Пусть х0 — точка касания.Уравнение касательной: у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);у=−2 х( х0 − 1)2+2 х0( х0 − 1)2+5+2.х0 − 1Эта прямая проходит через (–3; 5);2535=6( х0 − 1)2 х0+2( х0 − 1)2+5+⎧4 х0 + 4 = 02 х + 6 + 2 х0 − 22; 0=0⇔⎨⇔ x0 = −1 .2х0 − 1( х0 − 1)⎩ х0 ≠ 1х2х212Уравнение касательной: у = − − + 5 − 1 = − + 3,5 .x24х +177= 4−. f / ( х) =; Пусть х0 — точка касания.б) f ( х) =2х+2х+2( х + 2)Ответ: y = − + 3,5 .Уравнение касательной: у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);у=7х( х0 + 2 )2−7 х0( х0 + 2 )2+4−7.х0 + 2Эта прямая проходит через (2; 4).4=14( х0 + 2)2−7 х0( х0 + 2)2+4−14 − 7х0 − 7х0 −14−14 х07;= 0 ⇒ x0 = 0.=0;22х0 + 2( х0 + 2)( х0 + 2 )74Уравнение касательной: у = ⋅ x −14771+ 4 − .
Ответ: y = x + .16242−8 х4. f / ( х) =х2 + 7х2 + 74.2.D05. а) f ( х) =()2.Пусть х0 — точка касания.Уравнение касательной: у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);у=−8 х0 ( х − х0 ) + 4 х02 + 28(х20+7)2−8 х0 ( −5 − х0 ) + 4 х02 + 28(х02+7)2. Прямая проходит через (–5; 0). Значит=0; 12 х02 + 40 х0 + 28 = 0 ;12 х02 + 10 х0 + 7 = 0 ⇒ х0 = −1 , х0 = −7;3При х0=–1 уравнение касательной: у =8 ( х + 1) + 4 + 2864=х 5+ .8 856 ⎛7⎞4956840х+⎜ х + ⎟ + 4 ⋅ + 2873⎝3⎠939 = 27 х + 135 .При х0 = −=у=2125443224 224⎛ 49⎞⎜ + 7⎟81⎝ 9⎠х 527 х 135Ответ: у = + и у =.+8 8224 224−6 х3б) f ( х) = 2.
f / ( х) =. Пусть х0 — точка касания. Уравнение22х − 11х − 11(/)касательной: у=f (х0)(х–х0)+f(х0);254у=−6 х0 ( х − х0 ) + 3х02 − 33( х0 − 11)2.Прямая проходит через точку. (–1; 0);−6 х0 ( −4 − х0 ) + 3х02 − 33(х20)− 112=0;⎧⎪9 х02 + 24 х0 − 33 = 0 ⎪⎧3 х02 + 8 х0 − 11 = 011; ⎨ 2; х0=1 или х0 = − .⎨ 23⎪⎩ х0 ≠ 11⎪⎩ х0 ≠ 11−6 ( х − 1) + 3 − 3336= − х−.При х0=1: у =100502511 ⎞ 2211 ⎞ 121⎛⎛22 ⎜ х + ⎟ +− 33 22 ⎜ х + ⎟ +11811623⎠ 33⎠ 3⎝⎝==− х+.При х0 = − : у =222 ⋅ 2232211⎛ 121⎞−11⎜⎟81⎝ 9⎠Ответ: у=0,6х–0,24 и у =4.2D06.а) f ( х) =81162.х+2211()4 х 16 х 2 − 814х4х.==81324 х64 х34х +4х +28116 х − 814х −4х16 х 2 − 818181. Первообразная F ( х) = х ++С .= 1−16 х16 х 216 х 2811Подставим точку (81; 81): 81 = 81 ++С ; С = − .16 ⋅ 811681 1Ответ: F ( х) = х +− .16 х 16f ( х) =()7 х 49 х 2 − 36367х7х= 1−.==3236252 х49x343х7х +7х +3649 х 2 − 367х −7х36Первообразная: F ( х) = х ++С .49 х361.+С ⇒ С = −Подставим точку (36; 36): 36 = 36 +49 ⋅ 3649361.Ответ: F ( х) = х +−49 х 4916164.2.D07.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
