shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 33
Текст из файла (страница 33)
а) f ( х) =. f / ( х) = −.2х−2( х − 2)б) f ( х) =255Пусть х0 — точка касания.Тогда f /(х0)=tg135°;−16( х0 − 2 )2⎧⎪( х − 2 )2 = 16⎧ х0 = 6= −1 ⇔ ⎨ 0⇔⎨.⎩ х0 = −2⎪⎩ х0 ≠ 2При х0=6, уравнение касательной у=–(х–6)+f(6)=–(х–6)+4; у=–х+10.При х0=–2, уравнение касательной у=–(х–2)+f(–2)=–х–2–4 у=–х–6.Ответ: y = –x + 10; y = –x – 6.б) f ( х) = −99. f / ( х) =.2х−4( х − 4)Пусть х0 — точка касания. Тогда f /(х0)=tg45°.9( х0 − 4 )22⎧ х0 = 7⎪⎧( х − 4 ) = 9=1⇔ ⎨ 0⇔⎨;⎩ х0 = 1⎪⎩ х0 ≠ 4При х0=7 уравнение касательной у=х–7+f(7)=х–7–3 у=х–10.При х0=1 уравнение касательной у=х–1+f(1)=х–1+3 у=х+2.Ответ: y = x – 10; y = x + 2.4.2.D08.а) f ( х) =55.
f / ( х) = − 2 . Угловой коэффициент прямой у=–4х равен –4.ххЕсли х0 — точка касания, то f /(х0)=–4.−55.= −4 ⇒ х0 = ±2х025⎛⎞уравнение касательной: у = −4 ⎜ х − 5 ⎟ +⎜⎟22⎝⎠⎛ 5⎞Точка касания ⎜⎜ ; 2 5 ⎟⎟ .⎝ 2⎠При х0 =При х0 = −⎛55⎞уравнение касательной: у = −4 ⎜⎜ х + ⎟⎟ +22 ⎠⎝⎛Точка касания ⎜⎜ −⎝( 5 ) + (4 5 )2Ответ: у = –4x + 4 5 ; y = –4x – 4 5 ; S = 85 .44. f / ( х) = 2 .ххУгловой коэффициент прямой у=5х равен 5.Если х0 — точка касания, то f /(х0)=542.=5⇒ х =±х25256⎛ 5⎞f ⎜⎜ −⎟⎟ = −4 х − 4 5 .⎝ 2 ⎠⎞5;− 2 5 ⎟ .⎟2⎠Расстояние между точками касания S =б) f ( х) = −⎛ 5⎞f ⎜⎜⎟⎟ = −4 х + 4 5 .⎝ 2 ⎠2= 85 .При х0 =2уравнение касательной:52 ⎞⎛⎛ 2 ⎞⎛ 2⎞у = 5⎜ х −; 2 5⎟ .⎟+ f ⎜⎟ = 5 х − 4 5 . Точка касания ⎜5⎠⎝ 5⎠⎝⎝ 5⎠2При х0 = −уравнение касательной:52 ⎞⎛у = 5⎜ х +⎟+5⎠⎝⎛ 2 ⎞f ⎜−⎟ = 5 х + 4 5 . Точка касания5⎠⎝⎛ 2⎞; − 2 5⎟ .⎜−5⎝⎠Расстояние между точками касания S =1626.+ 16 ⋅ 5 = 455Ответ: y = 5x – 4 5 ; y = 5x + 4 5 ; S = 426.54.2.D09.а) f ( х) = −44.
f / ( х) = 2 .ххУравнение касательной в точке (х0; f(х0)): у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);у=4 ( х − х0 )х02−4 4 х − 8 х0.=х0х02По условию уравнение х =4 х − 8 х0−4 − 8 х0имеет корень (–1): −1 =;х02х022⎪⎧ х0 − 8 х0 − 4 = 0⎪⎧ х0 = 4 + 20⇔⎨;⎨≠х0⎪⎩ 0⎩⎪ х0 = 4 − 20Тогда при х0 = 4 + 20 у =Получим у =х +19+4 5х +19−4 536 + 16 54 х − 32 + 16 536 − 16 54х + 436 + 16 5−1 .=4х + 436 − 16 5−1 .−1 .Ответ: Угловые коэффициентыб) f ( х) ==−1 .При х0 = 4 − 20 : у =Получим у =4 х − 32 − 16 519+4 5и19−4 5.22; f / ( х) = − 2ххУравнение касательной в точке (х0; f(х0)):у=f /(х0)(х–х0)+f(х0);у=−2 ( х − х0 )х02+2 −2 х + 4 х0.=х0х0225713По условию, уравнение − х =−2 х + 4 х0имеет корень 3.х022−6 + 4 х0⎪⎧ х + 4 х0 − 6 = 0 D;⇔⎨ 0= 10 ; х0 = −2 ± 10 .24х0⎪⎩ х0 ≠ 021.=При х0 = −2 + 10 ; f / ( х0 ) = −14 − 4 10 2 10 − 72−1При х0 = −2 − 10 ; f / ( х0 ) = −.=14 + 4 10 2 10 + 71−1−1 =Ответ: угловые коэффициенты2 10 − 7и2 10 + 7.4.2.D10.а) f ( х) =33− 3 .
f / ( х) = − 2 .ххПусть х0 — точка касания.Тогда уравнение касательной: у=f /(х0)(х–х0)+f(х0) у =−3 ( х − х0 )х02+3−3.х0Из условия задачи следует, что угловой коэффициент касательной либо 12,11, либо –12, либо − .121231 случай: f / ( х0 ) = − 2 = 12 — корней нет;х0либо2 случай: f / ( х0 ) = −31— корней нет;=х02 123 случай: f / ( х0 ) = −3= −12 ⇒ х0 = ±0,5 ;х024 случай: f / ( х0 ) = −31= − ⇒ х0 = ±6 .12х02Ответ: у = −11х − 2 ; у = − х − 4 ; y = –12x + 9; y = –12x – 15.12121− 2 . По условию, угловой коэффициент искомых прямых либо 9,х111либо , либо –9, либо − . f / ( х) = − 2 .99х1Пусть (х0; f(х0)) — точка касания.
1 случай: f / ( х0 ) = − 2 = 9 — корней нет;х0б) f ( х) =2 случай: f / ( х0 ) = −1 1= — корней нет;х02 93 случай: f / ( х0 ) = −11= −9 ⇒ х0 = ± ;3х02258⎛1⎞⎛1⎞Уравнения касательных у = −9 ⎜ х − ⎟ + f ⎜ ⎟ = −9 х + 3 + 1 = −9 х + 4 ;3⎠⎝⎝ 3⎠⎛1⎞⎛ 1⎞или у = −9 ⎜ х + ⎟ + f ⎜ − ⎟ = −9 х − 3 − 5 = −9 х − 8 ;3⎠⎝⎝ 3⎠4 случай: f / ( х0 ) = −11= − ⇒ х0 = ±3 ;9х02111 111( х − 3) + f (3) = − х + + − 2 = − х − 1 ;993 393111 112или у = − ( х + 3) + f (−3) = − х − − − 2 = − х − 2 .993 3931112Ответ: у=–9х+4; у=–9х–8; у = − х − 1 ; у = − х − 2 .9393у=−4.2.D11.а) f ( х) =44⇒ f / ( х) = − 2 .хх2⎞⎛⎟;3⎠⎝212 214у = f / (6)( х − 6) + = − х + + = − х + .
Эта прямая пересекает ось орди393 3934⎞⎛нат в т. ⎜ 0; ⎟ , абсцисс в т. (12; 0).3⎠⎝Уравнение касательной в т. М ⎜ 6;Координаты точки M равны среднему арифметическому точек пересеченияпрямой с осями координат, значит M — середина отрезка.Ответ: точка M делит отрезок пополам.б) f ( х) =33⇒ f / ( х) = − 2хх⎛⎝3⎞Уравнение касательной в точке М ⎜ −2; − ⎟2⎠33у = f (−2) ( х + 2 ) − = − х − 3 . Эта прямая пересекает ось ординат в т. (–4;24/0) ординат — (0; –3).
Координаты точки M равны среднему арифметическому точек пересечения прямой с осями координат, значит M — серединаотрезка. Ответ: точка М делит отрезок пополам.4– две общие точки с абсциссами 1 и 4.x4 44 4⎛⎞⎛⎞S = ∫ ⎜ − ( x − 3)2 ⎟ dx = ∫ ⎜ − x 2 + 6 x − 9 ⎟ dx =1⎝ x1⎝ x⎠⎠4.2.D12. а) y=(x–3)2, y =⎛= ⎜ 4 ln x −⎝4⎞x3641+ 3x 2 − 9 x ⎟ = 4 ln 4 − + 48 − 36 + − 3 + 9 =333⎠1=4ln4–21+12+6=8ln2–3Ответ: 8ln2–3;259б) y=(x–6)2, y =32– две точки пересечения с абсциссами 2 и 8.x88 32⎛( x − 6) 3 ⎞8 43⎛⎞S = ∫ ⎜ − ( x − 6) 2 ⎟ dx = ⎜ 32 ln x −⎟ = 64 ln 2 − − =3 ⎠23 32⎝ x⎠⎝= 64 ln 2 −72= 64 ln 2 − 24 .3Ответ: 64ln2–24.§ 3. Иррациональные функцииУровень А.4.3.А01.
а) f ( х) = 12 5 х − 3 .6566Первообразная F ( х) = ⋅12 ⋅ х 5 − 3х + С = 10 х 5 − 3х + С .6Подставим точку (3; 4): 4 = 10 ⋅ 35 − 9 + С ⇒ С = 13 − 30 5 3 .6Ответ: F ( х) = 10 х 5 − 3х + 13 − 30 5 3 .3б) f ( х) = 9 х + 2 . Первообразная F ( х) = 6 х 2 + 2 х + С .Подставим точку (6; –2) −2 = 36 6 + 12 + С ⇒ С = −14 − 36 6 .3Ответ: F ( х) = 6 х 2 + 2 х − 14 − 36 6 .4.3.А02. а) f ( х) = 3 3 х − 5 . f / ( х) =13х2.Пусть (х0; f(х0)) — точка касания, тогда тангенс угла — производная в этойточке.13х02=1⇔ х02 = 512 ⇔ х0 = ± 512 = ±16 2 .8Ответ: x = 16 2 ; x = −16 2 .б) f ( х) = −5 5 х − 3 . f / ( х) = −1 .5х4Пусть (х0, f(х0)) — точка касания, тогда tg угла — производная в этой точке.−15х0414= − ⇔ х04 = 1024 ⇔ x0 ± 4 1024 = ± 32 = ±4 2 .Ответ: x = 4 2 ; x = −4 2 .4.3.А03. а) f ( х) =64 х − 225.8 х + 15490064 8 х + 15 −+ 960( 64 х − 225 ) 256 х +хх/.f ( х) ==228 х + 158 х + 15()()()Уравнение касательной в точке (4; f(4)): у=f /(4)(х–4)+f(4);260f / (4) =256 ⋅ 2 + 450 + 960 1922256 − 225=1;== 2 ; f (4) =96131312Ответ: у=2х–7.б) f ( х) =81х − 121.9 х + 11()9(81х − 121)2 х.9 х + 1181 9 х + 11 −/f ( х) =Уравнение касательной в точке (4; f(4)): у=f /(4)(х–4)+f(4);(9 x )f ( x) =2− 112=(9)() =9x − 11 9 x + 11x − 11 .9 x + 119 x + 11999; f ′(4) = ; f(4) = 7.
Ответ: y = x − 2 .f ′( x) =442 x4.3.А04. а) f ( х) = 4 х − 15 ; g ( х) = 5 х − 21 .4 х − 15 = 5 х − 21 ;4х−15=5х−21х=6⎧⎧; ⎨;⎨⎩4 х − 15 ≥ 0⎩4 х − 15 ≥ 022; f / (6) = ; f(6)=3.f / ( х) =34 х − 15Найдем точки пересечения:Уравнение касательной в точке (6; 3): у=f /(6)(х–6)+f(6).Ответ: у =2х −1 .3б) f ( х) = 4 х + 1 ; g ( х) = 3х + 7 .Найдем точки пересечения:f / ( х) =24х + 1; f / (6) =⎧4 х + 1 = 3х + 7⎧х = 6⇔⎨;4 х + 1 = 3х + 7 ⇔ ⎨⎩4 х + 1 ≥ 0⎩4 х + 1 ≥ 02; f(6)=5;5Уравнение касательной в точке (6; 5). у=f /(6)(х–6)+f(6).
Ответ: у =213х+ .55442 34.3.А05. а) S = ∫ 9 xdx = 9 − x 2 = 6 ⋅ 8 = 48 . Ответ: 48;3 0093 42383б) S = ∫ 4 xdx = 4 ⋅ x 2 = ⋅ 8 =04.3.А06. а) f ( х) =0233 х64.3Ответ:64.3.2Первообразная F ( х) = х 3 + С .2612Известно, что уравнение 2 х − 3 = х 3 + С имеет корень 1 ⇒ С=–2.2Ответ: первообразная F ( х) = х 3 − 2 .б) f ( х) =433 х.2Первообразная: F ( х) = 2 х 3 + С .2Уравнение х + 2 = 2 х 3 + С имеет 1 своим корнем, С=3–2=1.2Ответ: F ( х) = 2 х 3 + 1 .Уровень В.4.3.В01.
а) f ( х) =х+2х+2.х+22 х = х−2 ;х2х хх−/f ( х) =Уравнение: у(х)=f /(4)(х–4) +f(4); f /(4)=1f(4)=5;8111111х − + 5 = х + 4 . Ответ: х + 4 .828282х−4х−х−42 х = х+4 .− 4 . f / ( х) =б) f ( х) =х2x xху=Уравнение: у(х)=f /(1)(х–1)+f(1); f / (1) =Ответ: у =551; f (1) = −7 ; у = х − 9 .22251х−9 .224.3.В02.а) f ( х) = 2 х + 6 х − 11 . f / ( х) = 2 +36 х − 11.Уравнение касательной у=f /(2)(х–2)+f(2) f /(2)=5; f(2)=5.Тогда у(х)=5х–5. Ответ: у(х)=5х–5.3б) f ( х) = 6 х + 3х + 31 .
f / ( х) = 6 +.2 3х + 31Уравнение касательной: у=f /(–2)(х+2)+f(–2); f /(–2)=6,3; f(–2)=–7.Тогда у(х)=6,3х+12,6–7=6,3х+5,6.Ответ: 6,3х+5,6.−5 + 6 х − 2 х.2х −13 ⎞⎛⎜ −2 +⎟ ( 2 х − 1) − 2 6 х − 5 + 4 хх6−5 ⎠⎝4.3.В03. а) f(x) =Найдем f / ( х) =262( 2 х − 1)2.f / (1) =( −2 + 3)( 2 − 1) − 2 + 4 = 3 ;1f (1) =1− 2= −1.1Уравнение касательной: у=f /(1)(х–1)+f(1).Ответ: у=3х–4.3⎛⎞− 3⎟ − 3( 3х − 5) ⎜ −13 − 6 х − 3 х13 − 6 х⎝⎠/.
f ( х) =б) f ( х) =23х − 5х35−()f / (2) =1( −3 − 3) − 3 (1 − 6 )1(13 − 6 х − 3х);= 9 ; f(2)=–5.Уравнение касательной: у=f /(2)(х–2)+f(2). Ответ: у(х)=9х–23.14.3. В04. а) f ( х) = 2 х 2 − 6 х 2 − 1 . f / ( х) = 4 х −3х; f /(9)=35; f(9)=143.Уравнение касательной: у=f /(9)(х–9)+f(9). Ответ: у(х)=35х–172.1б) f ( х) = −3х 2 − 2 х 2 − 4 . f / ( х) = −6 х −1х;f/(1)=–6–1=–7; f(1)=–9Уравнение касательной: у=f /(1)(х–1)+f(1)у(х) = –7(x – 1) – 9. Ответ: у(х) = –7x – 2.14.3.В05.
а) f ( х) =6−−х32− 5 х 5 − 4 . f / ( х) = х 2 + х 5 ; f /(1)=2; f(1)= −8 .33Уравнение касательной: у=f /(1)(х–1)+f(1);22у ( х) = 2 х − 10 . Ответ: у ( х) = 2 х − 10 .331б) f ( х) =3−х45 −5 71− 5 х 2 + 5 . f / ( х) = х3 + х 2 ; f / (1) = 1 + = ; f (1) = .422 24Уравнение касательной у=f /(1)(х–1)+f(1)713713х − .
Ответ: у ( х) = х − .2424114.3.В06. а) f ( х) = 2 +. Первообразная: F ( х) = 2 х + 22 х + С .ху ( х) =Подставим точку (4; –15): –15=8+44+С⇒С= –67.Ответ: F ( х) = 2 х + 22 х − 67 .б) f ( х) = −10 −3х. Первообразная F ( х) = −10 х − 6 х + С .Подставим точку (36; 11): –360–36+С = 11 ⇒ С= 407.Ответ: F ( х) = −10 x − 6 х + 407 .154.3.В07. а) f ( х) = х 7 − 7 7 х + 16f / ( х) =−7 6229х − х 7 ; f / (1) = ; f (1) = −.555263Уравнение касательной у=f /(1)(х–1)+f(1);у ( х) =231231х − . Ответ: у ( х) = х − .55551252б) f ( х) = − х5 − 5 5 х + 1 .
f / ( х) = − х 4 − х−45;1157+ 5 + 1 = 6 ; f / (−1) = − − 1 = − .2222f (−1) =Уравнение касательной: у=f /(–1)(х+1)+f(–1);7у ( х) = − х + 3 .272Ответ: у ( х) = − х + 3 .4.3.В08. а) f ( х) =/f (−1) =−12 −26 х + 24 х + 53х(12 х + 24 ) 3 х −/. f ( х) =123х 33(⋅ 6 х 2 + 24 х + 5.х21( 6 − 24 + 5)13233= −12 + = − ; f(–1)=13.133Уравнение касательной: у=f /(–1)(х+1)+f(–1);у=−232232316х − 20 ; y = − ( x + 1) + 13 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
