shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Ответ: y = − x + 2 .б) f(x) = –x2 + 2 x + 11 . f′(x) = –2x +13f ′(–1) = 2 + =12 x + 11;7— тангенс угла наклона касательной.3Тангенс угла наклона прямой есть:7⎞7⎞13⎛π⎛tg ⎜ + arctg ⎟ = −ctg ⎜ arctg ⎟ = − = − .32337⎝⎠⎝⎠7Эта прямая проходит через (–1; f(–1)) = (–1; 2).3737Ее уравнение: y = − ( x + 1) + 2 = − x +11311. Ответ: − x + .7774.3.D03.
а) Если на касательной нет ни одной точки с равными координатами, то она параллельна y =x и не совпадает с ней.31f(x) = (−2 x + 3) 2 + 2 x 2 − 3 ; f ′( x) = −3(−2 x + 3) 2 + 4x.1Пусть x0 — точка касания ⇒ f ′(x0) = −3(−2 x0 + 3) 2 + 4 x0 = 1 ⇔⎧16 x02 + 10 x0 − 26 = 02⎪⎪⎧16 x0 − 8 x0 + 1 = −18 x0 + 27⇔ ⎨⇒ x0 = 1; f(x0) = 0.14x10−>⎪⎩ 0⎪x >⎩4⇔ ⎨Тогда уравнение нашей касательной: y = x – 1. Ответ: y = x –1.б) На касательной нет точек с равными координатами, значит она параллельна y = x, но не совпадает с ней.27131f ( x) = (2 x + 3) 2 + 2 x 2 + 7 ; f ′( x) = 3(2 x + 3) 2 + 4 x1Пусть x0 — точка касания ⇒ f ′( x0 ) = 3(2 x0 + 3) 2 + 4 x0 = 1⎧16 x02 − 10 x0 – 26 = 0⎧⎪18 x0 + 27 = 16 x02 + 8 x0 + 1⎪⇔ ⎨. Откуда x0 = –1; f(x0) = 6.⎨1⎪⎩4 x0 < 1⎪ x0 <⎩4Уравнение касательной y = 1(x + 1) + 6.Ответ: y = x + 7.4.3.D04.
а) f ( x) = 5 − 4 x , y = x.Найдем точки пересечения:⎧⎡ x = 1⎧⎪5 − 4 x = x 2⎧⎪ x 2 + 4 x − 5 = 0⎪5 − 4x = x ⇔ ⎨⇔ ⎨⇔ ⎨ ⎢⎣ x = −5 ⇒ x = 1.⎪⎩ x ≥ 0⎩⎪ x ≥ 0⎪x ≥ 0⎩−2; f′(1) = –2.f ′( x) =5 − 4xКасательная в точке (1; 1): y = f′(1)(x – 1) + 1 ⇔ y = –2x + 3.Она пересекает оси в точках (0; 3) и (1,5; 0).12Площадь треугольника S = ⋅ 3 ⋅1,5 = 2, 25 .Ответ: 2,25.б) f ( x) = 7 − 6 x , y = x. Найдем точки пересечения:⎧⎡ x = 1⎧⎪ x 2 = 7 − 6 x⎧⎪ x 2 + 6 x − 7 = 0⎪7 − 6x = x ⇔ ⎨⇔ ⎨⇔ ⎨ ⎢⎣ x = −7 ⇒ x = 1;⎪⎩ x ≥ 0⎩⎪ x ≥ 0⎪x ≥ 0⎩−3; f ′(1) = –3.f ′( x) =7 − 6xКасательная в точке (1; 1): y = f′(1)(x – 1) + 1 ⇔ y = –3x + 4.⎛4⎞Она пересекает оси в точках (0; 4) и ⎜ ; 0 ⎟ .⎝3 ⎠1243Площадь треугольника S = ⋅ 4 ⋅ =88.
Ответ: .3394.3.D05. а) f ( x) = (3x + 2) 4 ⋅ 3x + 2) = (3x + 2) 2 .f ′(x) = 4,5 ⋅ 3(3x + 2)3,5 = 13,5(3x + 2)3,5.Первообразная F ( x) =1(3 x + 2)5,5 + C .16,5Найдем общие точки графиков (их абсциссы):13,5(3x + 2)3,5 =2721(3x+2)5,5 + C.16,5Известно, что −13,5(3x + 2)3,5 =2— корень этого уравнения, тогда C = 0.3⎛ (3x + 2)2⎞1(3x+2)5,5; (3x + 2)3,5 ⎜⎜− 13,5 ⎟⎟ = 0 ;16,5⎝ 16,5⎠⎧⎡22⎪⎢ x = −x=−3⎡3x + 2 = 0⎪⎪ ⎢3⎢⇔ ⎨⎢.2 3 11 ⇒⎢ (3x + 2)2 = 222, 75 = 891x=−±2 3 11⎢⎪⎢⎣x=− +324⎪⎣32⎪⎩3 x + 2 ≥ 02323Ответ: − ; − +3 11.2б) f ( x) = (5 x − 4) 2 5 x − 4 = (5 x − 4) 2,5f ′(x) = 12,5(5x – 4)1,5Первообразная F ( x) =1(5 x − 4)3,5 + C .17,5Найдем общие точки графиков (их абсциссы)12,5(5x – 4)1,5 =1(5x – 4)3,5 + C.17,54— корень, следует, что C = 0.54⎧⎡4⎡x=⎪⎢ x =2⎢5⎛⎞(5x−4)⎪5.(5 x − 4)1,5 ⎜⎜− 12,5 ⎟⎟ = 0 ⇔ ⎨ ⎢22 ⇔ ⎢⎢ x = 5 0,35 + 4⎝ 17,5⎠⎪ ⎢⎣ (5 x − 4) = (25 0,35)⎢⎣⎪5 x − 4 ≥ 05⎩44Ответ: ; 5 0,35 + .55Из того, что4.3.D06.
а) f ( x) = 3 4 x + 3 .Пусть (x0, f(x0)) — точка касания: f ′( x0 ) =Уравнение касательной: y =y=433(4 x0 + 3) 2433(4 x0 + 3) 2( x − x0 ) + 3 4 x0 + 3 ; y =433(4 x0 + 3)2;( x − x0 ) + f ( x0 ) ;4( x − x0 ) + 3(4 x0 + 3)33(4 x0 + 3)2.⎛ 15 ⎞; 6⎟ ⇒⎝ 4⎠Известно, что прямая проходит через ⎜ −⇒ 0 = –15 – 4x0 + 12x0 + 9 ⇒ x0 =3.4Точка пересечения с осью ординат — (0; y(0))273−4 x0 + 12 x0 + 9y (0) =33(4 x0 + 3)2=8 x0 + 933(4 x0 + 3)25=36=2⎛5336.
Ответ: ⎜ 0;⎝б) f ( x) = 3 3x − 5 . Пусть (x0, f(x0)) — точка касания f ′( x0 ) =Уравнение касательной: y =y=x + 2 x0 − 53( x − x0 )3(3x0 − 5)2+ 3 3x0 − 5 =133⎛ 25Точка пересечения с осью ординат (0; y(0)).10−5−25. Ответ:y (0) == 33= 331003 100(3 x0 − 5) 22 x0 − 5−4.3.D07. а) y = −4 x − x 2 y =⎛25 ⎞⎜⎜ 0; − 3⎟.3 100 ⎟⎠⎝x22Найдем абсциссы точек пересечения.x221) x=0x44x3+4x+16=0x3=–4x–16.–1 решение x=–2.Итак, x=–2, x=0.0 ⎛0 x20x2 ⎞S = ∫ ⎜ −4 x − x 2 − ⎟ dx = − ∫ dx + ∫ −4 x − x 2 dx =2⎠−2 ⎝−2 2−2001= 2 + ∫ 4 − ( x + 2) 2 dx = 2 + ∫ 4 − t 2 dt = 2 + 4∫ 1 − u 2 du =−2−20π2π2= 2 + 4 ∫ 1 − sin ϕ cos ϕd ϕ = 2 + 4 ∫ cos ϕd ϕ = 2 + 4 ∫200π= 2 + π + ∫ cos ψd ψ = 2 + π0б) y = 6 x − x 2 y =6x − x2 =274x23.(3x0 − 5) 253π2(3x0 − 5) 2x − x0 + 3x0 − 52x0 –5 ⇔ x0 = − .2) −4 x − x 2 =5 ⎞⎟.36 ⎠⎞25.
Известно, что прямая проходит через ⎜ ; 0 ⎟ ⇔ 0 =+3⎝ 3⎠(3x0 − 5)2−4 x − x 2 =3x23201 + cos 2ϕdϕ =2Ответ: 2+π.1) x=02) 6 − x =x3x=3933⎛3⎛ x3 ⎞x2 ⎞S = ∫ ⎜ 6 x − x 2 − ⎟ dx = ⎜ − ⎟ + ∫ 6 x − x 2 dx =3⎠0⎝⎝ 9 ⎠0 0300= −3 + ∫ 9 − ( x − 3) 2 dx = −3 + ∫ 9 − t 2 dt = −3 + 9 ∫ 1 − u 2 du =−30−100= −3 + 9 ∫ 1 − sin 2ϕ cos ϕd ϕ = −3 + 9 ∫ cos ϕd ϕ =−π20= −3 + 9 ∫π−2−2π21 + cos 2ϕ9π 9 09π.d ϕ = −3 ++ ∫ cos 2ϕd ϕ = −3 +22 2 −π2Ответ:9π−3 .224.3.D08. а) f ( x) = −9 | x | −7 .При x ≥ 0, f(x) = f1(x) = −9 x − 7 .При x ≤ 0, f(x) = f2(x) = −9 − x − 7 .f(11) = f(–11) = –18.Две вершины: (11; –18) и (–11; –18).Касательная в точке 11:y1 = f1′(11)(x – 11) – 18; f1′(x) = −92 x−7. Значит,999 72927y1 = − x + −= − x+.44444Касательная в точке –11:y2 = f2′(–11)(x + 11) – 18; f2′(x) =Значит, y2 =92 −x − 7.927x+.44⎛27 ⎞Точка пересечения этих касательных — ⎜ 0;⎟.4 ⎠⎝Полученный треугольник равнобедренный с основанием 22 и высотой 24,75.1⋅ 22 ⋅ 24, 75 = 272, 25 .
Ответ: 272,25.2б) f ( x) = −6 | x | −5 .S=При x ≥ 0, f(x) = f1(x) = −6 x − 5 .При x ≤ 0, f(x) = f2(x) = −6 − x − 5 .f(21) = f(–21) = –24. Две вершины: (21; –24) и (–21; –24).Касательная в точке (21; –24): y1 = f1′(21)(x – 21) – 24; f1′(x) =−3x−5.
Значит,363333.y1 = − x + − 24 = − x −4444275Касательная в точке (–21; –24): y2 = f2′(–21)(x + 21) – 24; f2′(x) =3−x − 5.333.x−44Значит, y2 =⎛⎝Точка пересечения этих касательных ⎜ 0; −33 ⎞⎟.4⎠Полученный треугольник равнобедренный с основанием 42 и высотой12Площадь S = ⋅ 42 ⋅63.463= 330, 75 . Ответ: 330,75.434.3.D09. а) f ( x) = (6 x + 3) 2 − 8 x + 4 .По условию касательная параллельна прямой y = x. Если (x0,f(x0)) — точка113касания, то f ′(x0) = 1 ⇔ 9(6 x0 + 3) 2 – 8 = 1 ⇔ 6x0 + 3 = 1 ⇔ x0 = − ;⎛ 1 ⎞ 23f ⎜− ⎟ =.⎝ 3⎠ 313Уравнение касательной: y = x + +23= x + 8 .
Ответ: y = x + 8.33б) f ( x) = (−6 x + 3) 2 + 10 x + 2 .По условию касательная параллельна прямой y = x. Если (x0; f(x0)) — точка ка1сания, то f ′(x0) = 1 ⇔ −9(−6 x0 + 3) 2 + 10 = 1 ⇔ –6x0 + 3 = 1 ⇔1⎛1⎞19⇔ x0 = ; f ⎜ ⎟ = .3⎝ 3⎠ 31 19= x + 6 . Ответ: y = x + 6.3 3Уравнение касательной: y = x − +4.3.D10.а) f ( x) = 2 x + 7 .Пусть (x0; f(x0)) — точка касания.
Уравнение касательной:y=12 x0 + 7( x − x0 ) + 2 x0 + 7 ; y =x − x0 + 2 x0 + 72 x0 + 7=x + x0 + 72 x0 + 7.7⎧⎧ 21⎪⎪ x0 = 27⎪− + x0 + 7 = 0⎛ 21 ⎞⇔ ⎨⇒ x0 = .По условию y ⎜ − ⎟ = 0 . То есть ⎨ 272⎝ 2⎠⎪2 x + 7 ≠ 0⎪x ≠ −⎩ 0⎪⎩ 021⎛7⎞f ′⎜ ⎟ =— искомый тангенс. Ответ:14⎝2⎠б) f ( x) = 4 x + 5 .Пусть (x0; f(x0)) — точка касания.276114.Уравнение касательной:y=24 x0 + 5( x − x0 ) + 4 x0 + 5 ; y =2 x − 2 x0 + 4 x0 + 54 x0 + 5=2 x + 2 x0 + 54 x0 + 5.⎛ 15 ⎞По условию y ⎜ − ⎟ = 0 :⎝ 4⎠5⎧x =⎧ 155⎪− + 2 x0 + 5 = 0 ⎪⎪ 0 4⇒ x0 = .⎨⎨ 254⎪x ≠ −⎪4 x + 5 ≠ 0⎩ 0⎪⎩ 042⎛5⎞f ′⎜ ⎟ =— искомый тангенс.
Ответ:10⎝4⎠3 + 2 3x + 74.3.D11. а) f ( x) =2 3x + 7=32 3x + 7210.+1f(x) — производная для F(x), и f(x) > 0, значит F(x) достигает наименьшегозначения в (–1), т.к. она возрастает.F(x) = 3x + 7 + x + C ; F(–1) = 2 – 1 + C = 9 ⇒ C = 8.Ответ: F ( x) = 3x + 7 + x + 8 .б) f ( x) =5 + 6 5x − 42 5x − 4=52 5x − 4+3.f(x) — производная для F(x) и f(x) > 0, значит F(x) достигает наименьшегозначения в 1, т.к. возрастает.F ( x) = 3x + 5 x − 4 + C . По условию F(1) = 5.3 + 1 + C = 5 ⇒ C = 1 ⇒ F(x) = 3x + 5 x − 4 + 1 . Ответ: F ( x) = 3x + 5 x − 4 + 1 .4.3.D12.а) f ( x) = 3x + 13 − 4 x .f(x) ≤ 0 при x ∈ [1; 12] — т.е.
F(x) убывает на [1; 12].f(x) ≥ 0 при x ∈ [0; 1] — т.е. F(x) возрастает на [0; 1].Отсюда заключаем, что наибольшего значения F(x) достигает в 1.F ( x) =29()33x + 13 − 2 x 2 + C . По условию F(1) =Ответ: F ( x) =29(128 128=− 2 + C ⇒ C = 2.99)33 x + 13 − 2 x 2 + 2 .б) f ( x) = 5 x + 6 − 2 x .f(x) ≤ 0 при x ∈ [2; 6], т.е. F(x) убывает на [2; 6];f(x) ≥ 0 при x ∈ [0; 2], т.е.
F(x) возрастает на [0; 2].Отсюда заключаем, что наибольшее значение F(x) в точке 2.F ( x) =215(5x + 6Ответ: F ( x) =215()3− x 2 + C . По условию F(2) =5x + 6)3128 128=− 4 + C ⇒ C = 4.1515− x2 + 4 .277§ 4. Тригонометрические функцииУровень А.4.4.А01. а) Касательная параллельна оси абсцисс — значит производная равна 0.f(x) = 12x – 9tgx + 1;339.= 0 ⇒ cos 2 x = ⇒ cos x = ±42cos 2 xππЗначит, x = ± + πk , k ∈ ∧. Ответ: ± + πk , k ∈ ∧.66f ′( x) = 12 −б) Касательная параллельна оси абсцисс — значит производная равна 0.633= 0 ⇒ cos 2 x = ⇒ cos x = ±.24cos 2 xππЗначит, x = ± + πk , k ∈ ∧. Ответ: ± + πk , k ∈ ∧.66f(x) = 8x – 6tgx – 1; f ′( x) = 8 −4.4.А02. а) Пусть x0 — абсцисса точек касания, тогда f(x0) = f′(x0) по условию 2sinx0 – cosx0 = 2cosx0 + sinx0 ⇔ sinx0 = 3cosx0 ⇔ tgx0 = 3 ⇒⇒ x0 = arctg3 + πk, k ∈ ∧.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
