shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ответ: F(x) = x −−.5463546354⇒ F(x) = x −4.6.C08. а) f(x) = 9 – x + ln(2x + 5), x0 = –2.yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0);f ′(x0) = –1 +2= –1 + 2 = 1;2x + 5f(x0) = 9 + 2 = 11;⇒ yкас. = x + 13 = kx + b;∠γ = 90°; tgα = k = 1;Bx + 13αβγ CA⇒ α = 45° ⇒ ∠β = 45°. Ответ: 90°; 45°; 45°.б) f(x) = 4 – 5x + 3ln(2x + 3), x0 = –1.f ′(x0) = –1 +6= –5 + 6 = 1; f(x0) = 4 + 5 = 9;2x + 3⇒ yкас. = x + 10; tgα — угловой коэффициент322Bβx + 10γ CαAy = x + 10; tgα = 1;⇒ ∠α = 45° ⇒ ∠β = 45°.Ответ: 90°; 45°; 45°.4.6.C09.
а) f(x) = 3 + ln(4x +21), (x0;3).3 + ln(4x +21) = 3;⇒ ln(4x + 21) = 0;⇒ x0 = –5;f ′(x0) =4= 4;4 x + 21yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0); yкас. = 4x + 23.Ответ: y = 4x + 23.б) f(x) = 3 – 5ln(3x +4), (x0;3).3 – 5ln(3x +4) = 3; ln(3x + 4) = 0; x0 = –1.;f′(x0) =−15= –15;3x0 + 4⇒ yкас. = –15(x + 1) + 3 = –15x – 12. Ответ: y = –15x – 12.4.6.C10. а) f(x) = ln(3x + 10) – ln(7x + 22); yкас. ∩ OX = т. М; т. М (x0;0).⇒ ln3x + 10= 0;7 x + 22⇒ x0 = –3;f ′(x0) =37=3 – 7 = –4;−3x + 10 7 x + 22f(x0) = 0 ⇒ yкас.
= –4(x + 3) = –4x – 12. Ответ: y = –4x – 12.б) f(x) = ln(8x + 9) – ln(2x + 3); т. М (x0;0).f(x) = ln8x + 9= 0;2x + 3⇒ x = –1; f′(x0) =82−=8 – 2 = 6;8 x0 + 9 2 x0 + 3yкас. = 6(x + 1) +0 = 6x + 6. Ответ: y = 6x + 6.724.6.C11. а) f(x) = 1 + ln(2 x − 5) 2 , x0 = 2.yкас.
= f ′(x0)(x–x0) + f(x0); f(x) = 1 + 7ln(|2x – 5|); f(x0) = 1; f ′(x0) =14= –14;2x − 5323⎛ 29⎞⇒ yкас. = –14x + 29, т. ∩ с OX и OY: т. А (0;29), т. В ⎜ ;0 ⎟ .⎝ 14 ⎠⎛ 29⎞Ответ: (0; 29); ⎜ ;0 ⎟ .⎝ 14 ⎠92б) f(x) = 7 + ln(3x + 5)2 , x0 = –2.f ′(x0) =27= –27; f(x0) = 7;3x + 5⇒ yкас. = –27x – 47;⎛ 47⎞⎛ 47⎞т. ∩ с OX и OY: т. А (0;–47); т. В ⎜ − ;0 ⎟ .
Ответ: (0; –47); ⎜ − ;0 ⎟ .⎝ 27 ⎠⎝ 27 ⎠4.6.С12.а) f(x) = 5 –1ln(4 x + 5) 2 , x0 = –1.2yкас. = f ′(x0)(x–x0) + f(x0); f′(x0) = −4= −4 ; f(x0) = 5;4x + 5⇒ yкас. = –4x + 1;⎛1⎝⎞⎠⎛1⎞т. А(0;1), т. В ⎜ ;0 ⎟ — т. ∩ с OX и OY.4Ответ: (0; 1); ⎜ ;0 ⎟ .⎝4 ⎠б) f(x) = 3 –f ′(x0) = −1ln(2 x − 1) 2 , x0 = 1.22= −2 ; f(x0) = 3;2x −1⇒ yкас. = –2x + 5;⎛5⎞⎛5⎞⇒ т. А(0;5), т.
В ⎜ ;0 ⎟ — т. ∩ с OX и OY. Ответ: (0; 5); ⎜ ;0 ⎟ .⎝2 ⎠⎝2 ⎠Уровень D.4.6.D01.а) f(x) = ln5 x − 12, x0 = –3.4 x − 15yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0);f(x) = ln(5x – 12) – ln(4x – 15);541−=−; f(x0) = 0;5 x − 12 4 x − 1527x 1⇒ yкас. = − − ;27 91⎞⎛A (–3;0), C ⎜ 0; − ⎟ ;9⎠⎝f ′(x0) =324ABSC19⇒ AB = 3; BC = .121219SABC = ⋅ AB ⋅ BC = ⋅ 3 ⋅ =б) f(x) = ln11. Ответ: S = .665x + 6, x0 = 3.2 x + 15525 2 1−= − = ;5 x + 6 2 x + 15 21 21 73⎞1x 3⎛f(x0) = 0 ⇒ yкас.
= ( x − 3) = − ; A ⎜ 0; − ⎟ , C (3;0)7⎠77 7⎝3⇒ BC = 3; AB = .7f′(x0) = [ln(5x + 6) – ln(2x + 15)]′ =BCA113 99SABC = ⋅ AB ⋅ BC = ⋅ 3 ⋅ =. Ответ: S = .14227 144.6.D02. а) f(x) = ln81⋅log3(3x – 2) – 1, g(x) = ln1⋅ log5 (5 − 4 x) + 2 ю125x1 — точка касанияx2 — точка касанияk1 = k2, т. к. касательные параллельны ⇒ f′(x) = g′(x);325f′(x) =ln 81⋅ 312−3 ⋅ (−4) ⋅ ln 512=; g′(x) ==;(3x − 2) ln 3 3x − 2(5 − 4 x) ln 5 5 − 4 x⇒ 3x0 – 2 = 5 – 4x0 ⇒ x0 = 1;⇒ yкас.1 = f′(x0)(x–x0) + f(x0) = 12x – 13;yкас.2 = g′(x0)(x–x0) + g(x0) = 12x – 10;⇒ (1) 12x – y – 13 = 0,(2) 12x – y – 10 = 0,P(y1;y2) =| −13 + 10 |122 + 123=3. Ответ:145.145б) f(x) = ln64⋅log4(4x – 7) – 4, g(x) = ln1⋅ log 2 (7 − 3x) − 3 .16f′(x) = g′(x), (1)f′(x) =3ln 4 ⋅ 412−4 ⋅ ln 2 ⋅ (−3)12=; g′(x) ==;(4 x − 7) ln 4 4 x − 7(7 − 3x) ln 2 7 − 3x⇒ по (1) 4x – 7 = 7 – 3x ⇒ x = 2;⇒ yкас.1 = 12x – 28: 12x – y – 28 = 0;yкас.2 = 12x – 27: 12x – y – 27 = 0;⇒ P(y1;y2) =| −28 + 27 |2212 + 1=11451.
Ответ:145.4.6.D03.а) F′(x) = f(x) = (3x2 – 11x – 42)⋅ log 3 (8 − x) ,5F (4) − F (5)— сравнить сF (−4) − F (−5)нулем.Найдем промежутки возрастания и убывания функции F(x):F′(x) = f(x) = (3x2 – 11x – 42)⋅ log 3 (8 − x) = 0 ,57x = 7, x = 6, x = − .3+––5−73–6+7F(x)8Из данного рисунка видно, что F(–5) > F(–4); F(4) < F(5)⇒ F(4) – F(5) < 0; F(–4) – F(–5) < 0;F (4) − F (5)F (4) − F (5)> 0 . Ответ:>0.F (−4) − F (−5)F (−4) − F (−5)F (2) − F (5)б).F (−2) − F (−5)⇒F′(x) = f(x) = (5x2 – 26x – 24)⋅ log 2 (11 − x) = 0 ,7(аналогично п.
а)x = 10, x = 6, x = –0.8.326+–––0,8106f(x)+11F(x)Находим, что F(2) < F(5) и F(–5) > F(–2)⇒F (2) − F (5)>0.F (−2) − F (−5)F (2) − F (5)>0.F (−2) − F (−5)Ответ:4.6.D04.а) f(x) = 4ln(3x + 4) – 1, g(x) = 3ln(4x + 5) – 4.yкас.f || yкас.g ⇒ f′(x1) = g′(x2);причем x1 = x2 = x0;f′(x0) =1212; g′(x0) =;3x0 + 44 x0 + 5⇒ 3x0 + 4 = 4x0 + 5 ⇒ x0 = –1;yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0);f(x0) = –1; g(x0) = –4;⇒ yкас. = 12x + 11;yкас.
= 12x + 8.Ответ: y = 2x + 11; y = 12x + 8.б) f(x) = 3ln(2x + 3) – 5, g(x) = 2ln(3x + 4) + 2.f ′(x0) = g′(x0);6,2x + 36g′(x0) =;3x + 4f ′(x0) =⇒ 2x0 + 3 = 3x0 + 4 ⇒ x0 = –1;⇒ f(x0) = –5,g(x0) = 2;⇒ yкас. = 6x + 1;yкас. = 6x + 8.Ответ: y = 6x + 1; y = 6x + 8.4.6.D05.а) f(x) = 16x2 + 8x + ln10⋅lg(4x + 3) – 3, x0 = −12yкас. = f′(x0)(x–x0) + f(x0)f ′(x0) = 32x0 + 8 +4= −44 x0 + 3f(x0) = 4 – 4 – 3 = –3⇒ yкас. = –4x – 5расстояние от точки до прямой, если т. (0;0), y = kx + b:p=|b|1+ k2=51 + 16=517.
б) f(x) = 25x2 + 5x + ln10lg(5x + 3) + 3.32725x0 = − ; yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0); f′(x0) = 50x0 + 5 +5= –10;5 x0 + 3f(x0) = 4 – 2 + 3 = 5; ⇒ yкас = –10x + 1, т.о. (0; 0);⇒ ρ(yкас; 0) =1Ответ:101|1|1 + 100=1101..4.6.D06.а) f(x) = 2ln5log5(5x + 1) – 5ln2log2(2x + 1) + 4.yкас = f ′(x0)(x – x0) + f(x0); yкас || OX;⇒ f ′(x0) =; 0f ′(x0) =1010= 0; x0 = 0;−5x + 1 2 x + 1⇒ f(x0) = 4 ⇒ yкас = 4;искомая точка M(t0; 4); O(0; 0);⎡t = 3⇒ ρ(M; 0) = t 2 + 16 = 5; ⇒ ⎢ 0;⎣t0 = −3Ответ: (–3; 4); (3; 4).б) f(x) = 5ln6 ⋅ log6(6x + 1) – 6ln5 ⋅ log5(5x + 1) + 6.yкас || OX ⇒ f′(x0) = 0. yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0).f ′(x0) =3030= 0 ⇒ x0 = 0. f(0) = 6 ⇒ yкас = 6.−6x + 1 5x + 1т.
M(t0; 6) — искомая т. O(0; 0). ρ(M; 0) = t 2 + 36 = 10;⎡t = 8⇒ ⎢.⎣t = −8Ответ: (–8; 6); (8; 6).4.6.D07.а) f(x) = ln4 ⋅ log 5 x + 49 (25 – 7x).x +1x0 = 3; yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0) = kx + b;где k — искомое ⇒ найти: f′(x0);f (x ) =ln 4 ⋅ ln(25 − 7 x)ln 4 ⋅ ln(25 − 7 x)=;ln(5 x + 49) − ln( x + 1)⎛ 5 x + 49 ⎞ln ⎜⎟⎝ x +1 ⎠−f ′(x) = ln 4 ⋅328′75 x + 49⎛ 5 x + 49 ⎞− ln(25 − 7 x) ⎜ lnln⎟25 − 7 xx +1x +1 ⎠⎝⎛ ⎛ 5 x + 49 ⎞ ⎞⎜ ln ⎜⎟⎟⎝ ⎝ x +1 ⎠ ⎠2⋅=′75 x + 491 ⎞⎛ 5− ln(25 − 7 x) ⎜−ln⎟25 − 7 xx +1⎝ 5 x + 49 x + 1 ⎠ ;= ln 4 ⋅2⎛ ⎛ 5 x + 49 ⎞ ⎞⎜ ln ⎜⎟⎟⎝ ⎝ x +1 ⎠ ⎠−744744− ⋅ 2 ln 4 + ln 4 ⋅− ⋅ ln16 + ln 4 ⋅464464′f (3) = ln 4= ln 4=(ln16)24 ln 2 471145=−+=− .2 ⋅ 4 646445Ответ: − .64б) f(x) = ln2 ⋅ log 3 x + 20 (–18 – 5x). x0 = –4; Найти f′(x0);x+6ln 2 ⋅ ln(−18 − 5 x )f (x ) =; f′(x0) = ln2⋅ln(3x + 20) − ln( x + 6)⎛ −51 ⎞⎞⎛ 3(ln(3x + 20) − ln( x + 6)) − ln(−18 − 5 x) ⎜−⎜⎟⎟−18−5x3x+20x+6⎠⎟⎝⋅⎜;⎜⎟2 ⎛ 3 x + 20 ⎞ln⎜⎟⎜⎟⎝ x+6 ⎠⎝⎠1⎞1⎞⎛ 5⎛ln 2 ⋅ ⎜ − ⋅ ln 4 − ln 2 ⋅ − ⎟ ln 2 ⋅ ln 2 ⎜ −5 + ⎟288 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ −39⎝⎠=⎝⇒ f′(–4) == ⎜ − 5⎟ =;4 ⎝ 8 ⎠ 32ln 4 ⋅ ln 42 ⋅ ln 2 ⋅ ln 2Ответ: −39.324.6.D08.а) f(x) = 5x2 – 2x – 4 + ln(6x + 7).yкас = f′(x0)(x – x0) + f(x0).
yкас || y = –6x + 16 ⇒ f′(x0) = –66 + f′(x0) = 10x0 – 2 +66+ 6 = 0; 30x02 + 47x0 + 17 = 0, x ≠ − ;6 x0 + 77т.к. x0 — целое ⇒ x0 = –1; f(x0) = 5 + 2 – 4 = 3;⇒ yкас = –6x – 3 = kx + b;Искомое расстояние до т. O(0; 0) вычисляется по формуле:p=1611+ kОтвет:2337⇒p=31 + 36=337..б) f(x) = 3x2 – x + 3 + ln(4x – 3), y = 9x + 24.f′(x) = 6x – 1 +4;4x − 3Пусть (x0; f(x0)) — точка касания, тогда по условию329f′(x0) = 6x0 – 1 +24 x024= 9;4 x0 − 3− 18 x0 − 4 x0 + 3 − 36 x0 + 27 + 4=0;4 x0 − 324 x02⎡ ⎡ x0 = 1⎢⎢⎢ ⎢ x = 34− 58 x0 + 34= 0 ⇔ ⎢ ⎣⎢ 0 24 ;4 x0 − 3⎢⎢x ≠ 3⎢⎣ 0 4Т.к. по условию x0 — целое, то x0 = 1;Уравнение касательной: y = 9(x – 1) + f(1); f(1) = 5; y = 9x – 4;Расстояние от начала координат до этой прямой l =Ответ:482482..4.6.D09.а) f(x) = ln9 ⋅ log33x − 2, y = 2x – 3.2x −1f(x) = ln9(log3(3x – 2) – log3(2x – 1));⎛⎜2 ⎞⎟ ln9 ⎛ 32 ⎞−⎜⎟=ln3ln3ln33x22x−−1 ⎠⎝⎟⎟⎜⎜⎝⎠6x − 3 − 6x + 42=2;=(3x − 2)(2 x − 1) (3x − 2)(2 x − 1)3f ′(x) = ln9 ⎜ 3x − 2 − 2x −1 ⎟ =По условию f ′(x0) = 2, где (x0; f(x0)) точка касания;2= 2 ⇔ (3x0 – 2)(2x0 – 1) = 1; 6x02 – 7x0 – 1 = 0;(3x0 − 2)(2 x0 − 1)⎡ x0 = 1⎢, но x0 — целое, значит x0 = 1⎢ x0 = 1⎢⎣6arctg2Уравнение касательной: y = 2(x – 1) + f(1); f(1) = 0; y = 2x – 2;расстояние между этой прямой и y = 2x – 3 равно cos(arctg2) =330=12tg (arctg 2) + 1=151.
Ответ:5.5 x + 11, y = 6x + 5.2x + 5ln 49 ⎛ 52 ⎞3−f ′ (x ) =;⎜⎟=2ln 7 ⎝ 5 x + 11 2 x + 5 ⎠(5 x + 11)(2 x + 5)б) f(x) = ln49 ⋅ log 7По условию f ′(x0) = 6, где (x0; f(x0)) точка касания.6= 6 ; (5x0 + 11)(2x0 + 5) = 1; 10x02 + 47x0 + 54 = 0.(5 x0 + 11)(2 x0 + 5)⎡ x0 = −2⎢, но x0 — целое ⇒ x0 = –2.⎢ x0 = − 27⎢⎣10Уравнение касательной: y = f ′(x0)(x + 2) + f(x0);f ′(x0) = 6; f(x0) = 0; y = 6x + 12.Расстояние от y = 6x + 5 до y = 6x + 12 равно 7cos(arctg6) =7tg 2 (arctg 6) + 1Ответ:737=736 + 1=737..4.6.D10. а) f(x) = ln 5log14 − 3 x4x − 7.4− x′⎛ ln 5⎞⋅ (ln(4 x − 7) − ln(4 − x) ⎟ =⎝ ln14 − 3 x⎠413⎛⎞ln(14 − 3x) ⎜+⎟ + (ln(4 x − 7) − ln(4 − x))474143xx−−x−⎝⎠= ln5 ⋅;ln 2 (14 − 3x)93ln 5 ⋅ + (ln 5 − 0) ⋅55 = 12 .
Ответ: 12 .Подставляя x = 3 получим f′(3) = ln5 ⋅55ln 2 52x − 5б) f(x) = ln 5log 40 − 7 x.6− x1 ⎞7⎛ 2ln(40 − 7 x) ⎜+⎟ + (ln(2 x − 5) − ln(6 − x) ⋅2x − 5 6 − x ⎠4 − 7x⎝f ′(x) = ln 5;ln 2 (10 − 7 x)f ′ (x ) = ⎜7⎛2 ⎞ln 5 ⎜ + 1⎟ + ln 5 ⋅145 ⎠5 14⎝=Подставляя x = 5: f′(5) = ln 5. Ответ:.55ln 2 54.6.D11.
а) f(x) = (x + 5)ln(7 – x) и g(x) = (x – 2)ln(x + 4).На отрезке [2; 3] f(x) = F′(x) > 0, значит F(x) возрастает и F(3) > F(2);331На отрезке [3; 4] g(x) = G′(x) > 0, значит G(x) возрастает и G(4)>G(3);Т.к. F(3) = G(3), то G(4) > G(3) = F(3) > F(2).Ответ: G(4) > F(2).б) f(x) = (x + 3)ln(4 – x), g(x) = (x + 2)ln(x + 6).На отрезке [2; 3] f(x) = F′(x) ≥ 0, значит F(x) возрастает и F(3) > F(2);На отрезке [3; 4] g(x) = G′(x) > 0, значит G(x) возрастает и G(4)>G(3);G(4) > G(3) = F(3) > F(2).Ответ: G(4) > F(2).4.6.D12 а) Пусть x0 = 3 — абсцисса точек касания.
Угловые коэффициентыобеих касательных равны, т.к. F′(x0) = G′(x0) = f(x0) = 3.Касательные имеют вид y = 3x + b и y = 3x + c, где |b – c| = 9 +1 = 10 (этозаключаем из точек K(3; 9) и T(3; –1)). Тогда расстояние между прямыми:l = |b – c|cosarctg3 = 10cosarctg3 =10tg 2 (arctg 3) + 1=109 +1= 10 .Ответ: 10 .б) 2 — абсцисса точек касания; касательные параллельны, т.к.F′(2)=G′(2) = f(2) = 2.Они имеют вид y = 2x + b и y = 2x + c, где |b – c| = 20 (из вида точек K(2; –1)и T(2; –21)).Тогда расстояние между касательнымиl = |b – c|cosarctg2 = 20cosarctg2 =2022 +3=205= 4 5 .
Ответ: 4 5 .Глава 5. Исследование функций§ 1. МногочленыУровень А.5.1.А01.) f'(x)=12x2–40x+25=(4x–5)2Функция возрастает на R.б) f'(x)=33x2–46x+16=33x2–22x–24x+16=(3x–2)(11x–8)=⎛⎝2 ⎞⎛8⎞⎠= 33 ⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟311⎠⎝⎡2 8 ⎤f(x) убывает на ⎢ ; ⎥ ю⎣ 3 11 ⎦⎛2⎤⎡8⎞f(x) возрастает на ⎜ −∞; ⎥ и ⎢ ; + ∞ ⎟ .3⎦⎝⎣11⎠5.1.А02. а) f(x) =x3 11x 2++ 24x + 15.32Найдем нули производной: f′(x) = x2 + 11x + 24 = 0; x = –3, x = –8;В обеих из них производная меняет знак, значит это точки экстремума.Ответ: –3 и –8.332б) f(x) =x3 13x 2+– 14x + 13.32f′(x) = x2 + 13x – 14;Ее нули x = 1 и x = –14;В обеих точках f′(x) меняет знак, значит это точки экстремума.Ответ: 1 и –4.⎛⎝5.1.А03.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
