shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 49
Текст из файла (страница 49)
а) f ( x) = 0,6 x + 4 x − 17 .f ′( x) = 0, 6 +24 x − 17> 0 , значит f(x) возрастает на области определения.Значит, уравнение f(x2) = f(8x – 7) имеет своими решениями только решенияуравнения.x2 = 8x – 7 ⇔ x2 – 8x + 7 = 0;x = 1; x = 7, но x = 1 не входит в область определения. Значит, x = 7.Ответ: 7.б) f ( x) = 1,1x + 6 x − 7 .f ′( x) = 1,1 +36x − 7> 0 ⇒ f(x) возрастает на области определения.Тогда уравнение f(x2) = f(7x + 8) ⇔ x2 = 7x + 8 ⇔ x2 – 7x – 8 = 0;x = –1 и x = 8;x = –1 не входит в область определения.384Ответ: 8.146.+−7 6x + 7 4x + 52424+≤0f ′( x) = −(6 x + 7) 2 (4 x + 5) 25.3.D04.
а) f ( x) =⎧6 x + 7 ≤ 4 x + 5⇔⎩6 x + 7 ≥ −4 x − 5⇔(6x + 7)2 ≤ (4x + 5)2 ⇔ ⎨⎧ x ≤ −1⎪⎛ 7⎤⎡ 6 7⎞7 . Ответ: ⎢ − ; − ⎟ и ⎜ − ; −1⎥ .566x≥−1,2,иx≠−⎣⎠⎝⎦⎪6⎩114б) f ( x) = +−.5 4x + 5 x + 4⎧4 x + 5 ≤ x + 4−44+≤ 0 ⇔(4x+5)2 ≤ (x + 4)2 ⇔ ⎨f ′( x) =⇔(4 x + 5) 2 ( x + 4)2⎩4 x + 5 ≥ − x − 4⇔ ⎨1⎧⎪⎪ x ≤ − 3⇔ ⎨. Ответ:⎪x ≥ − 9 , x = − 5⎪⎩54⎡ 9 5⎞⎢− 5 ; − 4 ⎟ и⎣⎠1⎤⎛ 5⎜− ; − ⎥ .3⎦⎝ 45.3.D05. а) y ( x) = x 2 + 6 x + 8 + 4 .Область определения: x2 + 6x + 8 ≥ 0; x∈ (–∞; –4] ∪ [–2; +∞);y′( x) =x+3x2 + 6x + 8;y′(x) < 0 при x ∈ (–∞; –4] ⇒ y(x) убывает на (–∞; –4);y′(x) > 0 при x ∈ (–2; +∞) ⇒ g(x) возрастает на (–2; +∞).x = –3 не входит в область определения ⇒ точек экстремума нет.б) y(x) = x 2 + 4 x − 5 + 3 .Область определения: x2 + 4x – 5 ≥ 0;x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; +∞); y′( x) =x+2x2 + 4x − 5;y(x) убывает на (–∞; –5); y(x) возрастает на (1; +∞.)Точек экстремума нет.5.3.D06.
а) y ( x) = 3 − 2 x − x 2 − 1 .Область определения: x2 + 2x – 3 ≤ 0; x ∈ [–3; 1];y′( x) =−x −13 − 2 x − x2; y(x) возрастает на [–3; –1]; y(x) убывает на [–1; 1).Точка экстремума x = –1Экстремум: 1У функции два нуля.385y11–3x–1–1б) y ( x) = 2 x + 8 − x 2 − 2 .Область определения:x2 – 2x – 8 ≤ 0 ⇔ x ∈ [–2; 4].y′ =−x +12 x + 8 − x2; y(x) возрастает на (–2; 1]; y(x) убывает на [1; 4).Точка экстремума x = 1Экстремум: 1У функции два нуля.y–214x1–25.3.D07.
а) y ( x) =1+ 1− x + 2 .4Область определения: (–∞; 1);y′( x) =111− x − 2−=;4 2 1− x4 1− xy(x) возрастает при x ∈ {–∞; –3]; y(x) убывает при x ∈ [–3; 1).Точка экстремума: x = –3.3414Экстремум: y(–3) = − + 4 = 3 .б) y ( x) =x+ 6− x +3 .2Область определения (–∞; 6];y′( x) =116 − x −1−=;2 2 6− x2 6− xy(x) возрастает при x ∈ (–∞; 5]; y(x) убывает при x ∈ [5; 6).Точка экстремума: x = 5.386Экстремум: y (5) =51+4=6 .225.3.D08. а) y ( x) = (3 − x) 3 + 2 x .⎡ 3⎞⎣⎠3− x−3x−3 − 2 x + 3 − x=;y′( x) = − 3 + 2 x +=2 3 + 2x3 + 2x3 + 2xОбласть определения ⎢ − ; +∞ ⎟ ;2⎛ 3⎝⎤⎦y(x) возрастает при x ∈ ⎜ − ; 0 ⎥ ; y(x) убывает при x ∈ [0; +∞).2Точка экстремума: x = 0.Экстремум: 3 3 .б) y ( x) = (1 − 4 x) 1 + 8 x .⎡ 1⎞⎣⎠4(1 − 4 x)48 x=y′( x) = −4 1 + 8 x +;1 + 8x2 1 + 8xОбласть определения: ⎢ − ; +∞ ⎟ ;8⎛ 1⎤y(x) возрастает на ⎜ − ; 0 ⎥ ; y(x) убывает на [0; +∞).⎝ 8 ⎦Точка экстремума x = 0.Экстремум: y = 1.5.3.D09.
а) y ( x) = 3 3 2 x − 2 3 3x − 5 + 2 .Область определения (–∞; +∞);y′( x) =23(2 x)2−23(3 x − 5) 2;⎧2 x = 3x − 5y′(x) = 0 при (3x – 5)2 = (2x)2 ⇔ ⎨⎩2 x = 5 − 3x⎧x = 5⇒x=5⎩x = 1⇔ ⎨На (–∞; 1) и на [5; +∞) y(x) возрастает; на(1; 5] — убывает.Точки экстремума 5, 1.Экстремумы: y (5) = 3 3 10 − 2 3 10 + 2 = 3 10 + 2 , y (1) = 5 3 2 + 2 .б) y = 5 3 3x − 3 3 5 x − 8 − 2 .Область определения (–∞; +∞);y′( x) =53(3x) 2−53(5 x − 8) 2=53(5 x − 8)2 − 3 (3x) 23(3x) 2 ⋅ 3 (5 x − 8) 2;y′(x) = 0 при (5x – 8)2 = (3x)2;16x2 – 80x + 64 = 0; x = 1, x = 4;y(x) возрастает при x ∈ (–∞; 1] и x ∈ [4; + ∞);y(x) убывает при x ∈ [1; 4].Точки экстремума: 1 и 4.387Экстремумы: 5 3 3 + 3 3 3 − 2 = 8 3 3 − 2 и 5 3 12 − 3 3 12 − 2 = 2 3 12 − 25.3.D10.
а) 7a − 2 a = f (a) . f ′(a) = 7 −1a=0 ⇔a=11⇒ a=;7491⎛ 1 ⎞ 1 2f⎜ ⎟= − =− .7⎝ 49 ⎠ 7 711Ответ:; − .497б) a − 8 a = f (a) .f ′(a) = 1 −4a=0 ⇔a = 4 ⇒ a = 16;f(16) = 16 – 8 ⋅ 4 = –16.Ответ: 16; –16.⎡⎣5.3.D11. а) y = 2 8 x = 4 2 x ; y = 3x; ⎢ 0;32 ⎤.9 ⎥⎦yxПусть y = a — прямая.Абсцисса пересечения с первым графикомa2a; со вторым .323a a21 a−= f (a) ; f ′(a) = − ;3 163 321616 8 8f′(a) = 0 ⇔ a = ; f (a) = − = .39 9 98Ответ: .9Длина отрезка:б) Пусть y = a — прямая.388yxТочка пересечения (абсцисса) с первой кривой x01 =Длина отрезка: a −f (4) = 4 −a2; со второй x02 = a.8a2a= f (a) ; f ′(a) = 1 − = 0 ⇔ a = 4;4816=2.8Ответ: 2.5.3.D12.⎡ 4⎣ 3⎤⎦а) f ( x) = 4 3x + 4 − 3x .
D ( f ) = ⎢ − ; +∞ ⎥ ;f ′( x) =63x + 4−3 = 3(2 − 3x + 4)3x + 4.⎧x ≤ 0⎪4.⎪x > − 3⎩f′(x) ≥ 0 при 0 < 3x + 4 ≤ 4 ⇔ ⎨⎡ 4⎣⎤⎦На ⎢ − ; 0 ⎥ f(x) возрастает. На [0; +∞) f(x) убывает.3f(x) = f(0) имеет единственный корень 0, т.к. 0 — точка глобальногомаксимума.⎡ 4⎣⎤⎦Ответ: возрастает на ⎢ − ; 0 ⎥ ; убывает на [0; +∞); корень 0.3⎡3⎣4⎞⎠б) f ( x) = 2 x − 5 4 x − 3 .
D ( f ) = ⎢ ; +∞ ⎟ ;f ′( x) = 2 −104x − 3=2( 4 x − 3 − 5)4x − 3;f′(x) ≥ 0 при 4x – 3 ≥ 25 ⇒ x ≥ 7.⎡3⎤На [7; +∞) f(x) возрастает. На ⎢ ; 7 ⎥ f(x) убывает.⎣4 ⎦Уравнение f(x) = f(7) имеет единственный корень 7, т.к. т. 7 — глобальныйминимум.389⎡3⎤Ответ: возрастает на [7; +∞); убывает на ⎢ ; 7 ⎥ ; корень 7.⎣4 ⎦§ 4.
Тригонометрические функцииУровень А.5.4.А01.а) f(x)=x2–xcos x+sin xf'(x)=2x–cos x+xsin x+cos x=x(2+sin x)f'(x)=0 при x=0 (т.к. 2+sin x>0)Точка экстремума при x=0, (0, 0) – минимум;б) f(x)=x2–xsin x–cos xf'(x)=2x–xcos x–sin x+sin x=x(2–cos x)f'(x)=0 при x=0 (т.к. 2–cos x>0)Точка экстремума при x=0, (0, –1) – минимум.5.4.А02.а) f(x)=16xsin x+16cos x+10sin x+36x2+45x–6f'(x)=16xcos x+16sinx–16sinx+10cos x+72x+45=16xcosx+72x+45=2cos x(8x+5)+9(8x+5)=(2cos x+9)(8x+5)⎛ 55т.к. 2cos x+9>0, то экстремум будет при x = − в точке ⎜ − ,8⎝ 8x+10cos⎛ 5 ⎞⎞f ⎜ − ⎟⎟ –⎝ 8 ⎠⎠причем минимум.⎛ 5⎞f ⎜− ⎟ = 0 ;⎝ 8⎠б) f(x)=12xsin x+12cos x+27sin x+10x2+45x+3f'(x)=12sin x+12xcos x12sin x+27cos x+20x+45=3cos x(4x+9)+5(4x+9)== (3cos x+5)(4x+9)т.к.
3cos x+5>0, то экстремум будет при x = −9в точке4⎛ 9 ⎞⎜ − , 0⎟ .⎝ 4 ⎠5.4.А03.а) f′(x) = 19(sinx + xcosx) – 19sinx – 13cosx = cosx(19x – 13) = 0;π⎡⎢ cos x = 0 x = 2 + πn, n ∈ Zπ13 π; т.к. x ∈ (0; π) ⇒ x = . Ответ:; .⎢219 2⎢19 x − 13 = 0 x = 13⎢⎣19б) f′(x) = 20(sinx + xcosx) – 20sinx – 19cosx = cosx(20x – 19) = 0;π⎡⎢ cos x = 0 x = 2 + πn, n ∈ Zπ; т.к. x ∈ (0; π) ⇒ x = .⎢2⎢ 20 x − 19 = 0 x = 19⎢⎣205.4.А04.а) f(x)=7x+sin 3xf'(x)=7+3cos 3x, т.к.
7+3cos x>0, т.е.390Ответ:19 π; .20 2f'(x)>0 при любых x, то функция возрастате на всей области определения;б) f(x)=8x–cos 5xf'(x)=8+5sin 5x, т.к. 8+5sin 5x>0, т.е.f'(x)>0, то функция возрастает на всей области определения.5.4.А05.а) f(x)=4cos3x–13x,f'(x)=–12sin3x–13, очевидно f'(x)<0 при любых x, тогда функция убывает навсей области определения;б) f(x)=5sin 4x–21x,f'(x)=20cos4x–21, очевидно f'(x)<0 при любом x, значит функция убывает навсей области определения.5.4.А06.а) y(x) = 19x – 9sinx + 15.
y′(x) = 19 – 9cosx = 0; cosx =19;9нет решений ⇒19 – 9cosx > 0. Ответ: функция возрастает при x ∈ R.б) y(x) = –17x + sinx – 20. y′(x) = –17 + cosx = 0; cosx = 17;нет решений ⇒–17 + cosx < 0. Ответ: функция убывает при x ∈ R.Уровень В.5.4.В01.255x2 55x5x. y′(x) = 7 − ⋅ ⋅ sin = 7 − sin = 0 ;25 2225x5xsin= 7; нет решений ⇒7 – sin> 0.22а) y ( x) = 7 x + cosОтвет: функция возрастает при x ∈ R.322x3 22x2x.
y′(x) = 3 − ⋅ sin = 3 − sin = 0 ;32 3332x2xsin= 3; нет решений ⇒3 – sin> 0.33б) y ( x) = 3x + cosОтвет: функция возрастает при x ∈ R.5.4.В02.а) y(x) = 10x + 7cosx + 2sinx + 9.y′(x) = 10 – 7sinx + 2cosx > 0, т.к. |sinx| ≤ 1, |cosx| ≤ 1.Ответ: функция возрастает при x ∈ R.б) y(x) = 24x + 9cosx + 14sinx + 4.y′(x) = 24 – 9sinx + 14cosx > 0; т.к. |sinx| ≤ 1, |cosx| ≤ 1.Ответ: функция возрастает при x ∈ R.5.4.В03.а) g′(x) = –9 – 13 ⋅ 5x4 – 4sinx < 0, т.к. x4 ≥ 0, |sinx| ≤ 1.Ответ: функция убывает при x ∈ R.б) g′(x) = –15 – 55x4 – 14sinx < 0; т.к. x4 ≥ 0, |sinx| ≤ 1.Ответ: функция убывает при x ∈ R.5.4.В04.391а) g′(x) =12 x+ 15 + 14sin14x > 0; т.к.12 x> 0 , |sin14x| ≤ 1.Ответ: функция возрастает при x ≥ 0.б) g′(x) =3x+ 14 + 6sin5x > 0 т.к.3x> 0 , |sin6x| ≤ 1Ответ: функция возрастает при x ≥ 0.5.4.В05.а) f(x)=cos2x+4x+5f'(x)=2cos x(–sin x)+4=4–sin 2xПоскольку f'(x)>0 при любом x, то функция возрастает;б) f(x)=sin2x+5x+4f'(x)=2cos xsin x+5=5+sin2xПоскольку f'(x)>0 при любом x, то функция f(x) возрастает.5.4.В06.а) f(x)=7x–2sin 3x+1, x ∈ [0, π]f'(x)=7–6cos3x, т.к.
f'(x)>0, то функция возрастает,fmin=f(0)=1fmax=f(π)=7π+1;б) f(x)=8x+3cos 2x–4, x ∈ [–π, 0]f'(x)=8–6sin 2x, т.к. f'(x)>0, то функция возрастает,fmin=f(–π)=–8π–1fmax=f(0)=–1.5.4.В07.⎡ 7π⎣⎤⎦а) f(x)=11tg x–4x, x ∈ ⎢ − , 0 ⎥15f '( x) =11−4cos 2 xт.к. cos2x≤1, то f'(x)>0 на всей области определения, т.е. функция f(x)⎛ ππ⎞возрастает на каждом из интервалов ⎜ − + πk , + πk ⎟ , k ∈ Z2⎝ 2⎠Тогда fmax=f(0)=0;⎡⎣6π ⎤б) f(x)=8x–13tg x; x ∈ ⎢0, ⎥13⎦13f '( x) = 8 −, очевидно f'(x)<0cos 2 x⎛ π⎝ 2т.е. f(x) убывает на каждом из интервалов ⎜ − + πk ,⎡⎣т.к.
⎢ 0,6π ⎤ ⎛ π π ⎞⊂ ⎜ − , + ⎟ , то fmax=f(0)=0.13 ⎥⎦ ⎝ 22⎠5.4.В08.⎡π π⎤⎣⎦а) f(x)=2cos x+x–3, x ∈ ⎢ , ⎥3 2392π⎞+ πk ⎟ , k ∈ Z2⎠⎡π π⎤⎣⎦f'(x)=1–2sin x, при x ∈ ⎢ , ⎥3 2f'(x)<0, т.е. на этом отрезке функция убывает.⎛π⎞πТ.е. f max = f ⎜ ⎟ = − 1⎝3⎠ 3⎛π⎞ πf min = f ⎜ ⎟ = − 3 ;⎝2⎠ 2⎡⎣π⎤б) f(x)=x–2sin x+5, x ∈ ⎢ 0, ⎥6⎦⎡ π⎤f'(x)=1–2cos x, при x ∈ ⎢ 0, ⎥ , f'(x)<0⎣ 6⎦т.е. на этом отрезке функция убывает.Тогда fmax=f(0)=5⎛π⎞ πf min = f ⎜ ⎟ = + 4 .⎝6⎠ 65.4.В09.15а) f ( x) = 3x 2 + sin 5 x − x cos 5 xf'(x)=6x+cos5x–cos5x+5xsin5x=x(6+5sin x)f'(x)=0 при x=0, т.к.
при x≤0, f'(x)≤0, при x≥0 f(x)≥0, то x=0 – экстремум.Итак, (0, 0) – точка экстремума;13б) f ( x) = 2 x 2 + cos 3x + x sin 3xf'(x)=4x–sin3x+sin3x+3xcos3x=x(4+3cos3x)f'(x)=0 при x=0, т.к. при x≤0, f'(x)≤0, x≥0 f'(x)≥0, то x=0 – экстремум.⎛⎝1⎞Итак, ⎜ 0, ⎟ – экстремум.3⎠5.4.В10.а) y′(x) = 27x2 + 5cosx + 6 > 0; т.к. x2 ≥ 0, |cosx| ≤ 1.Ответ: функция монотонно возрастает при x ∈ R.б) y′(x) = 33x2 + 3cosx + 8 > 0; т.к. x2 ≥ 0, |cosx| ≤ 1.Ответ: функция монотонно возрастает при x ∈ R.5.4.В11.а) y′(x) = 2cos(2x – 9) + 12 > 0; т.к. |cosα| ≤ 1.Ответ: x ∈ R.б) y′(x) = 5cos(5x – 13) – 17 < 0; т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
