shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Ответ: min f ( x) = −3 .⎛ 8⎞⎜ − ; +∞ ⎟⎝ 7⎠5.6.D04. а) f(x) = –8 – 9ln2(x + 9). ОДЗ: x > –9;т.к. –9ln2(x + 9) ≤ 0 ⇒ fmax = –8. Ответ: max f ( x) = −9 .( −9; +∞ )б) f(x) = 9 – 8ln2(x + 8).435т.к. –8ln2(x + 8) ≤ 0, то max будет достигаться при ln2(x + 8) = 0 ⇒ fmax = 9.⎛1⎝3⎞⎠195.6.D05. а) f(x) = ⎜ x3 + 6 x 2 + 35 x ⎟ ln x − x3 + 3x 2 − 35 x − 4 .1313f′(x) = (x2 + 12x + 35)lnx + x2 + 6x + 35 – x2 + 6x – 35 = 0;(x + 7)(x + 5)lnx + 12x = 0;Это уравнение не решается школьными методами.Из графика видно, что x1 ≈3— экстремум.4x ∈ (0; x1] — убывает, x ≥ x1 — возрастает.⎛1⎝3⎞⎠1992б) f(x) = ⎜ x3 + 9 x 2 + 80 x ⎟ ln x − x3 + x 2 − 80 x + 8 .Аналогично предыдущей задаче x1 ≈ 0,85 (из графика) — экстремум.x ∈ (0; x1] — убывает, x ≥ x1 — возрастает.5.6.D06.
а) y(x) = 2xln2(3x) – 3.Область определения: x > 0.y′(x) = 2ln23x + 12xln3x1≥ 0;3xln23x + 2ln3x ≥ 0;ln3x(ln3x + 2) ≥ 0;⎡ ln 3 x ≥ 0⎢ ln 3 x ≤ −2 ;⎣1⎡⎢x ≥ 3⎢;⎢ x ≤ 1 e−2⎢⎣3⎛⎝Ответ: возрастает при x ∈ ⎜ 0;1 −2 ⎤ ⎡ 11⎤⎞⎡1e ∪ ; +∞ ⎟ ; убывает при x ∈ ⎢ e−2 ; ⎥ .3 ⎦⎥ ⎣⎢ 33⎦⎣3⎠18⎛1⎞ 2x = e−2 — max; f ⎜ e −2 ⎟ = e−2 ⋅ 4 − 3 = e−2 − 3 ;33⎝3⎠ 3x=1⎛1⎞— min; f ⎜ ⎟ = −3 .3⎝ 3⎠б) y(x) =4xln24x – 1.Область определения: x > 0;y′(x) = 4ln24x + 8xln4x⎡ ln 4 x ≤ −2⎢ ln 4 x ≥ 0 ;⎣436⎡⎢x ≤⎢⎢x ≥⎢⎣4= 4ln24x + 8xln4x ≥ 0;4x1 −2e4;14⎛⎝Ответ: возрастает: x ∈ ⎜ 0;1 −2 ⎤ ⎡ 11⎤⎞⎡1e ∪ ; +∞ ⎟ ; убывает: x ∈ ⎢ e−2 ; ⎥ ;4 ⎦⎥ ⎣⎢ 444⎦⎣⎠x=1 −2⎛1⎞e — max; f ⎜ e−2 ⎟ = e−2 ⋅ 4 − 14⎝4⎠x=1⎛1⎞— min; f ⎜ ⎟ = −1 .4⎝4⎠5.6.D07. а) y(x) = x2ln2x + 4. Область определения: x > 0;y′(x) = 2xln2x + x ≥ 0;x(2ln2x + 1) ≥ 0;2ln2x + 1 = 0;12x= e−12.12Ответ: возрастает: x ≥ ex=−12⎛⎜⎝; убывает: x ∈ ⎜ 0;11 −2 ⎤e ⎥;2⎦⎥1⎛ 1 −1 ⎞ 11 −21⎛ 1⎞e — min; f ⎜ e 2 ⎟ = e −1 ⋅ ⎜ − ⎟ + 4 = − e−1 + 4 .⎜2⎟ 4282⎝⎠⎝⎠б) y(x) = 2x2ln4x – 2.
Область определения: x > 0;y′(x) = 4xln4x + 2x ≥ 0;x(2ln4x + 1) ≥ 0;2ln4x + 1 = 0;14x= e−12.14Ответ: возрастает: x ≥ e⎛⎜⎝убывает: x ∈ ⎜ 0;−12;11 −2 ⎤e ⎥;4⎦⎥1x=1 −2e — точка минимума;4⎛ 1 −1 ⎞ 11⎛ 1⎞f ⎜ e 2 ⎟ = e−1 ⋅ ⎜ − ⎟ − 2 = − e−1 − 2 .⎜4⎟ 8216⎝⎠⎝⎠5.6.D08. а) y(x) = 2 x ln 4 x − 4 .
Область определения: x > 0;y′( x) =ln 4 xx+2 x ln 4 x + 21=≥ 0 ; ln 4 x ≥ −2 ; x ≥ e−2 .x4x14⎛⎝Ответ: при x ≥ e−2 — возрастает; при x ∈ ⎜ 0;x=1 −2 ⎤e— убывает;4 ⎦⎥1 −2⎛1⎞⎛ 1⎞e — точка минимума; f ⎜ e−2 ⎟ = e−1 ⋅ ⎜ − ⎟ − 4 = −2e−1 − 4 .4⎝4⎠⎝ 2⎠437б) y(x) = 2 x ln 2 x + 2 . Область определения: x > 0;y′( x) =ln 2 xx2+ln2x ≥ –2; x ≥x≥0;1 –2e .2Ответ: возрастает: x ≥1 –2⎛ 1 ⎤e ; убывает: x ∈ ⎜ 0; e−2 ⎥ ;2⎝ 2 ⎦1 –22 −1⎛1⎞e — точка минимума; f ⎜ e−2 ⎟ = 2e ⋅ (−2) + 2 = −2 2e−1 + 2 .22⎝2⎠3115.6.D09.
а) f(x) = x2 – 2x + ln(2x + 5)4.265⎞ ⎛ 5⎛⎞D(f) = ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎜ − ; +∞ ⎟ ;2⎠ ⎝ 2⎝⎠x=f′(x) = 3x – 2 +11 4(2 x + 5)3 ⋅ 244⋅= 3x − 2 +≥ 0;463(2 x + 5)(2 x + 5)7 ⎞⎛2⎞⎛⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟18 x 2 + 33 x + 146 ⎠⎝3⎠⎝≥0;≥0;2x + 52x + 5––+−52−76+−⎛ 5⎝x237⎤⎡ 2⎣⎞⎠Ответ: возрастает: x ∈ ⎜ − ; − ⎥ ∪ ⎢ − ; +∞ ⎟ ;2 63⎦5 ⎞ ⎡ 7 2⎤⎛убывает: x ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎢ − ; − ⎥ .2 ⎠ ⎣ 6 3⎦⎝3 24б) f(x) = x – 4x + ln(3x + 5)2.234 2(3x + 5) ⋅ 28f′(x) = 3x – 4 + ⋅= 3x − 4 +≥0;3 (3 x + 5) 2(3x + 5)8⎞⎛⎜ x + ⎟ ( x − 1)3x 2 + x − 46⎠⎝≥0;≥0;3x + 53x + 5––++−53−x143⎛ 5⎝4⎤Ответ: возрастает: x ∈ ⎜ − ; − ⎥ ∪ [1; +∞ ) ;3 3438⎦⎛⎝5⎞⎡ 4⎣⎤⎦убывает: x ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎢ − ; 1⎥ .33⎠5.6.D10.5 2511⎞ ⎛1⎛⎞x + 3 x − ln(2 x − 1) 2 . D ( f ) = ⎜ −∞; ⎟ ∪ ⎜ ; +∞ ⎟ .22022⎝⎠ ⎝⎠51 2(2 x − 1) ⋅ 2515(5 x + 3)(2 x − 1) − 51==f ′( x) = 5 x + 3 − ⋅= 5x + 3 −5(2 x − 1)20 (2 x − 1)25(2 x − 1)а) f ( x) =50 x 2 + 5 x − 66 (5 x + 6)(10 x − 11)611==0. x = − ; x =.51010 x − 510 x − 5––++x6111−521061 ⎞ ⎡ 11⎡⎞Ответ: f(x) возрастает на ⎢ − ; ⎟ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ ;52 ⎠ ⎣10⎣⎠⎛6⎤⎛ 1 11 ⎤f(x) убывает на ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎜ ; ⎥ .5 ⎦ ⎝ 2 10 ⎦⎝б) f(x) =1 2x – 3x – 7ln(x – 4)6.2D(f) = (–∞; 4) ∪ (4; +∞).f ′( x) =x 2 − 30 − 7 x ( x + 3)( x − 10).=x−4x−4x = –3; x = 10.––+–34+10xОтвет: f(x) возрастает на [–3; 4) ∪ [10; +∞);f(x) убывает на (–∞; –3] ∪ (4; 10].4395.6.D11.а) f(x) = 5ln(3 + 4x2) – 0,5x2.1f′(x) = − =−a2 – x = 0;a37; x = 0;240x – 3x – 4x3 = 0; 4x3 – 37x = 0; x = ±x = 0 — точка минимума;x=±37— точка максимума.2б) f(x) = 8ln(1 + 3x2) – x2.
f′(x) =48 x– 2x = 0;1 + 3x 248x – 2x – 6x3 = 0; x(46 – 6x2) = 0; x = 0; x = ±++–23;3–x0232333Ответ: x = 0 — точка минимума;23x=±— точки максимума.35.6.D12. а) y(x) = 4xln4x2 – 1.Область определения: x ≠ 0;4 x ⋅ 8xy′(x) = 4ln4x2 += 4ln4x2 + 8 ≥ 0; ln4x2 = –2;4 x21 −1⎡⎢x = 2 e ;⎢⎢ x = − 1 e−1.⎢⎣2−–+1x = − e−12+x1 −1e20⎛⎝⎤⎦1⎡1⎣⎞⎠функция возрастает при x ∈ ⎜ −∞; − e−1 ⎥ ∪ ⎢ e −1; +∞ ⎟ ;22⎡ 1⎞⎛1⎤убывает при x ∈ ⎢ − e −1;0 ⎟ ∪ ⎜ 0; e−1 ⎥ .⎣ 2⎠ ⎝ 2 ⎦1⎛ 1 ⎞x = − e−1 — максимум; y ⎜ − e−1 ⎟ = –2⋅e–1(–2) – 1 = 4e–1 – 1.2⎝ 2 ⎠x=4401 −1⎛1 ⎞e — минимум; y ⎜ e−1 ⎟ = 2⋅e–1(–2) – 1 = –4e–1 – 1.2⎝2 ⎠б) y(x) = 3xln2x2 + 2.
ОДЗ: x ≠ 0y′(x) = 3ln2x2 + 3x ⋅4x= 3ln2x2 + 6 = 0;2x2ln2x2 = 0x2 =+1 –2e ;2−e −1––+xe −1022⎛2⎤⎡ 2⎞e−1 ⎥ ∪ ⎢e−1; +∞ ⎟ ;функция возрастает при x ∈ ⎜⎜ −∞; −⎟22⎥⎢⎝⎦ ⎣⎠⎡функция убывает при x ∈ ⎢ −⎣⎢x=−x=e−122 −12 −1 ⎤e ;e ⎥.22⎦⎥⎛— точка максимума; f ⎜ −e−1⎝⎛ e−1 ⎞1 ⎞ −31 ⎞⎛⋅ ln ⎜ 2 ⋅⎟=⎟+2 =2e ⎠2e ⎝ 2e 2 ⎠3⎛1 ⎞62 ⋅e+2.6— точка максимума; f ⎜⎜⋅ ln ⎜ 2 ⋅+2 .⎟⎟ =⎟+2 = −22e ⎝ 2e 2 ⎠2e⎝ 2⎠Глава 6. Задачи с параметром§ 1. Многочлены⎧x + 7 y = 2⎪.6.1.D01. а) ⎨3x + y = a⎪25113x+y=a+a⎩⎧x = 2 − 7 y⎪;⎨6 − 20 y = a⎪21024ya3a−=+⎩6−a⎧⎪ y = 20⎪;⎨x = 2 − 7 y⎪6−a2⎪10 − 6 ⋅= a + 3a⎪⎩550 – 36 + 6a = 5a2 + 15a; 5a2 + 9a – 14 = 0; D = 81 + 20 ⋅ 14 = 361 = (19)2;−9 ± 1911; а1 = 1; а2 = −2,8; y1 = ; х1 = ; ;1044112712711y2 = ; х1 = − ; Ответ: при a1 = 1 х = y = ; при а = −2, 8 х = − ; y = .2525427256−a⎧⎪ y = 15⎧x = 3 − 8y⎧x + 8 y = 3⎪⎪⎪. ⎨6 − 15 y = a; ⎨x = 3 − 8y;б) ⎨2 x + y = a⎪⎪⎪22⎩5 x + 16 y = a + 6a ⎩15 − 24 y = a + 6a ⎪15 − 8 ⋅ 6 − a = a 2 + 6a⎪⎩5a1,2 =75 – 48 + 8a = 5a2 + 30a; 5a2 + 22a – 27 = 0;a1,2 =D= 121 + 27 ⋅ 5 = 256;4−11 ± 1627; a1 = 1; a2 = − ;5544113131915277; x2 = 3 −;=−2525251277719Ответ: a = 1, y = = x ; a = − , x = − , y =.325252522222⎪⎧ y + x − 2ax ≤ 36 − a ⎪⎧ y + ( x − a) ≤ 36.;6.1.D02.
а) ⎨⎨2⎪⎩( x + 2) ≤ 36⎪⎩ x ∈ [ −8; 4]y1 = ; x1 = ; y2 =y2 + (x – a)2 ≤ 36 — окружность с центром в (a; 0) и радиусом 6.Т.о. S = 36π, а нам необходимо, чтобы S = 18π. Т.о. нам надо взятьполуокружности, а т.к. x ∈ [–8; 4], то a = 4, a = –8.Ответ: a = 4; a = –8.⎧⎪ y 2 + x 2 − 2ax ≤ 4 − a 2б) ⎨2⎪⎩( x + 1) ≤ 2522⎪⎧ y + ( x − a) ≤ 4;⎪⎩ x ∈ [ −6; 4]. ⎨2y + (x – a)2 ≤ 4 — окружность с центром в (a; 0) и радиусом 2, т.о. S=4π, анам надо, чтобы S = 2π ⇒ надо взять полуокружности, а т.к.
x ∈ [–6; 4], тоa = –6, a = 4.Ответ: a = –6, a = 4.6.1.D03. а) (x – 6a)2 + (x – 2a)2 = 128,x2 – 8ax + 20a2 – 64 = 0;D= 16a2 – 20a2 + 64 = 64 – 4a2; x1,2= 4a ± 2 16 − a 2 ;4x1,2 должны быть симметричны относительно x = 12 ⇒a = 3, x1 = 12 – 2 7 , x2 = 12 + 2 7 .Ответ: a = 3.б) (x – 2a)2 + (x – 4a)2 = 242.x2 – 6ax + 10a2 – 121 = 0;D= 9a2 – 10a2 + 121 = 121 – a2;4x1,2 = 3a ± 121 − a 2 ;x1,2 должны быть симметричны относительно x = 3 ⇒⇒ a = –1, x1 = –3 – 120 , x2 = –3 + 120 . Ответ: a = –1.6.1.D04.
а) bx2 – 3x + 1 = 0. D = 9 – 4b.Условия для существования двух корней: D > 0, 9 – 4b > 0, b <2⎛3⎞⎝ ⎠9 422(x1 – x2) = (x1 + x2) – 4x1x2 = 2 − , т.о.b b9 − 4b 2⋅ b = 8b − 7 ;9 − 4b1по теореме Виета: (x1 + x2)2 = ⎜ ⎟ ; x1x2 = ;66b2 – 8b + 7 = 0; b1 = 7; b2 = 1.Условию b <4429удовлетворяет только b = 1.
Ответ: b = 1.49;4б) bx2 + 3x + 5 = 0. D = 9 – 20b;по теореме Виета:(x1 + x2)2 =95; x1x2 = ;bb2(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 =9 20−;b2 b9 − 20b 2⋅ b = 5b + 6 ;9 − 20bb2 – 5b – 6 = 0; b1 = 6; b2 = –1; Ответ: b1 = –1; b2 = 6.6.1.D05. а) x2 – (14a – 9)x + 49a2 – 63a + 20 = 0.14a − 9 ± 1;21313больший корень: x2 = 7a – 4 < 9; a < ; Ответ: a < .77D = 196a2 – 252a + 81 – 80 – 196a2 + 252a = 1; x1,2 =б) x2 – (14a – 3)x + 49a2 – 21a + 2 = 0.D = 196a2 – 84a + 9 – 196a2 + 84a – 8 = 1;больший корень: x2 =14a − 3 + 1= 7a – 1 < –8;27a < –7, a < –1. Ответ: a < –1.6.1.D06.а) x2 – (20a – 3)x + 100a2 – 30a = 0.D = 400a2 + 9 – 120a – 400a2 + 120a = 9;x2 20a − 3 + 3==6;x1 20a − 3 − 320a = 120a – 36; 100a = 36; a = 0,36.Ответ: a= 0,36.б) x2 – (8a – 7)x + 16a2 – 28a = 0.D = 64a2 – 112a + 49 – 64a2 + 112a = 49;x2 8a − 7 + 7== 10 ;x1 8a − 7 − 78a = 80a – 140; 72a = 140; a =Ответ: a =35.1835.186.1.D07.a) 9(3x – 1)a2 – (21x – 19)a + 2(x – 1) = 0.x(27a2 – 21a + 2) = 2 – 19a + 9a2;27a2 – 21a + 2 = 0;D = 441 – 216 = 225;a1,2 =21 ± 1512; a1 = ; a2 = ;54939a2 – 19a + 2 = 0;D = 361 – 72 = 289;44319 ± 171; a1 = ; a2 = 2;1891Ответ: a = — бесконечно много решений;92a = — решений нет;312a ≠ , a ≠ — одно решение.93a1,2 =б) 2(4x – 1)a2 – (14x – 11)a + 5(x – 1) = 0.x(8a2 – 14a + 5) = 2a2 – 11a + 5;8a2 – 14a + 5 = 0;D51= 49 – 40 = 9; a1 = , a2 = ;4242a2 – 11a + 5 = 0; D = 121 – 40 = 81; a1 = 5, a2 =Ответ: a =1;21— бесконечно много решений;25— нет решений;415a ≠ , a ≠ — одно решение.24a=6.1.D08.а) |4x + 9a + 5| = |10x + 8a – 3|.a61) 4x + 9a + 5 = 10x + 8a – 3; 6x = a + 8; x = +4;31 17 a.7 142) 4x + 9a + 5 = –10x – 8a + 3; 14x = –2 – 17a; x = − −Корни равноудалены от точки x = 5, если их среднее арифметическое равно 5.1 ⎛ a 4 1 17 a ⎞⎜ + − −⎟=5;2 ⎝ 6 3 7 14 ⎠a 17a 25−+= 10 ;6 14 21–22a + 25 = 210;a=−185;22Ответ: a = −185.22б) |10x + 7a – 5| = |3x + 2a – 1|.1) 10x + 7a – 5 = 3x + 2a – 1;7x = 4 – 5a;x=4444 − 5a;72) 10x + 7a – 5 = 1 – 2a – 3x;13x = –9a + 6;−9a + 6;13x=Корни равноудалены от точки x = –7, если их среднее аоифметическоеравно –7.1 ⎛ −9a + 6 4 − 5a ⎞+⎜⎟ = −7 ;2 ⎝ 137 ⎠−63a + 42 + 52 − 65a= −14 ;91–128a = –1368;a=171.16Ответ: a =171.166.1.D09.22⎪⎧(2a − 7 a ) x − 25 y = 2a − 9a − 50.⎪⎩6 x − 5 y + 3 = 0а) ⎨⎧⎪5 y = 6 x + 3;⎨22⎪⎩ x(2a − 7 a ) − 30 x − 15 = 2a − 9a − 50x(2a2 – 7a – 30) = 2a2 – 9a – 35;2a2 – 7a – 30 = 0;52D = 49 + 240 = 289; a1 = − ; a2 = 6;2a2 – 9a – 35 = 0;52D = 81 + 280 = 361; a1 = − ; a2 =Итого: при a = −28;45система имеет бесконечное множество решений.252Ответ: a = − .б)⎧⎪(5a 2 − 27a ) x + 16 y = 5a 2 − 32a + 6.⎨⎪⎩5 x − 8 y − 3 = 0x(5a2 – 27a + 10) = 5a2 – 32a + 12;5a2 – 27a + 10 = 0;D = 729 – 200 = 529; a1 = 0,6; a2 = 5;5a2 – 32a + 12 = 0;D = 1024 – 240 = 784; a1 = 0,4; a2 = 6;Итого: при a = 0,4 система имеет бесконечное множество решений.Ответ: a = 0,4.4456.1.D10.
а) x2 + 3x + 7a – 21 = 0 и х2 + 6х + 5а – 6 = 0.D = 93 – 28a;x1,2 =−3 ± 93 − 28a;2x2 + 6x + 5a – 6 = 0;D=15 – 5a; x1,2 = −3 ± 15 − 5a ;41) −3 − 93 − 28a = −6 −()15 − 5a ⋅ 2 ;2 15 − 5a + 3 = 93 − 28a ;3 15 − 5a = 6 − 2a ; 4a2 + 21a – 99 = 0;33a1 = 3; a2 = − .42) −3 − 93 − 28a = −6 +()15 − 5a ⋅ 2 ;2 15 − 5a − 3 = − 93 − 28a ;3 15 − 5a = 2a − 6 ;33a1 = 3; a2 = − .43) −3 + 93 − 28a = −6 +()15 − 5a ⋅ 2 ;102 – 28a + 6 93 − 28a = (15 – 5a) ⋅ 4;6 93 − 28a = −42 + 8a ;нет решений, т.к. a ≤ 3;4) −3 + 93 − 28a = −6 −3 + 93 − 28a = −(()15 − 5a ⋅ 2 ;)15 − 5a ⋅ 2 ;нет решений.Ответ: a1 = −33; a2 = 3.4б) x2 + 4x – 3a + 7 = 0 и x2 + 7x – 5a + 15 = 0.D= 4 + 3a – 7 = 3a – 3;4x1,2 = –2 ± 3a − 3 ;x2 + 7x – 5a + 15 = 0;D = 49 – 60 + 20a = 20a – 11;x1,2 =−7 ± 20a − 112;1) −4 − 2 3a − 3 = −7 − 20a − 11 .3 + 20a − 11 = 2 3a − 3 ;4469 + 20a − 11 + 6 20a − 11 = 12a − 12 ;6 20a − 11 = −8a − 10 ;нет решений, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
