shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 56
Текст из файла (страница 56)
а) x 2 − 4ax − 7a = 3 − x .x ≤ 3;x2 – 4ax – 7a = x2 + 9 – 6x;x(6 – 4a) = 9 + 7a;3— нет решений.237a + 97a + 9Если a ≠ , то x =. При x =< 3 — нет решений.26 − 4a6 − 4a⎛ 9 3⎞⎛ 9 3⎤a∈⎜ ; ⎟Ответ: a ∈ ⎜ ; ⎥ .⎝ 19 2 ⎠⎝ 19 2 ⎦При a =б) x 2 − 5ax − 7a = 2 − x .x ≤ 2;x(4 – 5a) = 7a + 4;a=4604— нет решений;54;57a + 4x=>2;4 − 5a17a − 4<0;5a − 4⎛ 4 4⎞a ∈ ⎜ ; ⎟ — нет решений.⎝ 17 5 ⎠a≠⎛ 44⎤Ответ: a ∈ ⎜ ; ⎥ .⎝ 17 5 ⎦6.3.D12.а) 25 − x 2 = x − a .x ≥ a;2x2 – 2ax + a2 – 25 = 0;D= a2 – 2a2 + 50 = 04a = ±5 2Т.к.
функция y = 25 − x 2 и прямая y = x + 5 имеют 2 точки пересечения, тоиз рисунка видно, что одно решение будет при a = −5 2 , a ∈ (–5; 5].5x+5–55Ответ: a = −5 2 , a ∈ (–5; 5].б) 9 − x 2 = x − 2a .x ≥ 2a.2x2 – 4ax + 4a2 – 9 = 0;D= 4a2 – 8a2 + 18 = 18 – 4a2 = 0;43a=±2;23a=2 отпадает при подстановке.2461Т.к. функция y = 9 − x 2 и y = x + 3 имеют 2 точки пересечения, то из⎛ 3 3⎤⎥.⎝ 2 2⎦рисунка видно, что одно решение будет при a ∈ ⎜ − ;3–33Ответ: a = −3⎛ 3 3⎤2 ; a ∈⎜− ; ⎥ .2⎝ 2 2⎦§ 4. Тригонометрические функции.6.4.D01.
а) cos42x – 2(a + 2)cos22x – (2a + 5) = 0.D= a2 + 4a + 4 + 2a + 5 = a2 + 6a + 9 = (a + 3)2;4cos22x = a + 2 ± (a + 3);cos22x = 2a + 5;0 ≤ 2a + 5 ≤ 1;–5 ≤ 2a ≤ –4;–2,5 ≤ a ≤ –2;cos22x = –1 — решений нет;Ответ: a ∈ [–2,5; –2].б) cos43x – 2(a + 1)cos23x – (2a + 3) = 0;D= a2 + 2a + 1 + 2a + 3 = (a + 2)2;4cos23x = a + 1 + a + 2;0 ≤ 2a + 3 ≤ 1;–3 ≤ 2a ≤ –2;cos23x = –1 — решений нет;⎡ 3⎤Ответ: a ∈ ⎢ − ; −1⎥ .⎣ 2⎦6.4.D02. а) (15sinx – a – 5)(15sinx + 2a – 5) = 0.a+5;15a+5−1 ≤≤1 ;15sin x =–15 ≤ a + 5 ≤ 15;–20 ≤ a ≤ 10;4625 − 2a;155 − 2a−1 ≤≤1;15sin x =–15 ≤ 5 – 2a ≤ 15;–10 ≤ 2a ≤ 20;–5 ≤ a ≤ 10;Ответ: a ∈ [–5; 10] — 2 решения на [0; 2π].б) (11sinx – 3a – 5)(11sinx + 4a + 3) = 0.sin x =3a + 5;11–11 ≤ 3a + 5 ≤ 11;–16 ≤ 3a ≤ 6;16≤a≤2;3−3 − 4a;sin x =11−–11 ≤ 3 + 4a ≤ 11;–14 ≤ 4a ≤ 8;7≤a≤2;2⎡ 7Ответ: a ∈ ⎢ − ;⎣ 2−⎤2 ⎥ — 2 решения на [0; 2π].⎦6.4.D03.а)tg 2 x + 7=a.3tgx + 1tg2x – 3atgx – a + 7 = 0;D = 9a2 + 4a – 28 ≥ 0;D= 4 + 252 = 256;4⎡14⎞a ∈ ( −∞; −2] ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ ;⎣9⎠⎡14⎞; +∞ ⎟ .⎣9⎠Ответ: a ∈ ( −∞; −2] ∪ ⎢б)tg 2 x + 45=a.7tgx + 2tg2x – 7atgx + 45 – 2a = 0;D = 49a2 + 8a – 180 ≥ 0;D= 16 + 8820;4463⎛ 90⎞a ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ⎜ ; +∞ ⎟ ;⎝ 49⎠⎛ 90⎞; +∞ ⎟ .⎝ 49⎠Ответ: a ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ⎜6.4.D04.
а) 3cos2x – (3a + 10)cosx + 10a = 0.D = 9a2 + 60a + 100 – 120a = (3a – 10)2;3a + 10 + 3a − 10=a;620— решений нет;cos x =3cos x =a > 1 или a < –1;Ответ: a ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞).б) 2cos2x – (2a + 9)cosx + 9a = 0.D = 4a2 + 36a + 81 – 72a = (2a – 9)2;cosx = a;92cosx = − ;при a < –1 или a > 1 — решений нет.Ответ: a ∈ (–∞; –1) ∪ (1; +∞).6.4.D05.
а) –2sin2x = (a2 + 5a + 2)sinx.sinx(a2 + 5a + 2 + 2sinx) = 0;sinx = 0 ⇔ x = πk, k ∈ Z.На отрезке [0; 2π] лежат x = 0, x = π, x = 2π.sin x =−(a 2 + 5a + 2).2Значения, которые функция y = sinx принимает на отрезке [0; 2π]единственный раз, равны –1 и 1.Если −⎡a = 0a 2 + 5a + 2= −1 , то a2 + 5a = 0 ⇒ ⎢.2⎣ a = −5Если −⎡ a = −1a 2 + 5a + 2.= 1 , то a2 + 5a + 4 = 0 ⇒ ⎢2⎣ a = −4Ответ: 0; –1; –4; –5.б) –20sin2x = (a2 + 13a + 20)sinx.sinx(a2 + 13a + 20 + 20sinx) = 0;sinx = 0 — на отрезке [0; 2π] имеет 3 корня.Тогда уравнение sin x = −a 2 + 13a + 20должно иметь 1 корень на отрезке20[0; 2π]. Значения, которые функция y = sinx принимает на отрезке [0; 2π]единственный раз, равно 1 и –1.Если −464⎡a = 0a 2 + 13a + 20= −1 , то ⎢.20⎣ a = −13Если −a 2 + 13a + 20= 1 , то20⎡ a = −5⎢ a = −8 .⎣Ответ: 0; –5; –8; –13.6.4.D06. а) 4sin2(3x + 8) ≥ 49a2 + 84a + 40.0 ≤ 49a2 + 84a + 40 ≤ 4;49a2 + 84a + 36 ≤ 0;Ответ: a = −D426= 1764 – 1764 = 0; a = − = − ;4974426=− .497б) 8sin2(13x – 2) ≥ 25a2 + 10a + 9.25a2 + 10a + 9 ≤ 8; 25a2 + 10a + 1 ≤ 0; (5a + 1)2 ≤ 0;11a = − ; Ответ: a = − .557 cos(6 x + 7) + 32 = −20 + 10a − a 2 = −(a − 5) 2 + 5 .6.4.D07.
а)т.к. 7 cos(6 x + 7) + 32 ≥ 5 , а –(a – 5)2 + 5 ≤ 5 ⇒ a = 5.Ответ: a = 5.б) 10cos(5 x + 1) + 19 = −13 + 8a − a 2 = −(a − 4)2 + 3 .т.к. 10cos(5 x + 1) + 19 ≥ 3 , а 3 – (a – 4)2 ≤ 3 ⇒ a = 4.Ответ: a = 4.6.4.D08. а) ⎜ x −5π ⎞8x2=0.⎟ ( x − 10π) a + 23a + 131 + cos8 ⎠5Подставим x =5πв корень (подкоренное выражение должно быть8⎛⎝меньше 0):a2 + 23 + 130 < 0;a ∈ (–13; –10).Теперь подставим 10πa2 + 23a + 132 ≥ 0;(a + 11)(a + 12) ≥ 0;⎡ a ≥ −11⎢ a ≤ −12 . Ответ: a ∈ (–13; –12] ∪ [–11; –10).⎣⎛⎝б) ⎜ x −2π ⎞11x2=0.⎟ ( x − 4π) a − a − 81 + 9cos11 ⎠2Необходимо, чтобы при x =2πподкоренное выражение было меньше 0 ⇒11a2 – a – 90 < 0;a ∈ (–9; 10).При x = 4πa2 – a – 81 + 9 = a2 – a – 72 ≥ 0;465(a – 9)(a + 8) ≥ 0;⎡ a ≤ −8⎢ a ≥ 9 .
Ответ: a ∈ (–9; –8] ∪ [9; 10).⎣8x+ 12a + 20 ≤ 0 .55πТ.о. необходимо, чтобы при x =подкоренное выражение было меньше 046.4.D09. а) (4 x − 5π) a 2 cos⇒ a2 + 12a + 20 < 0;a ∈ (–10; –2).Ответ: a ∈ (–10; –2).26 x− a − 42 ≤ 0 .33πТ.о. необходимо, чтобы при x =подкоренное выражение было меньше 013б) (13x – 3π) a 2 cos⇒ a2 – a – 42 < 0 ⇒ a ∈ (–6; 7).Ответ: a ∈ (–6; 7).6.4.D10. а) cos24x + 2(8 + 5a)sin12x – 110a + 65 = 0.sin212x – (8 + 5a)sin12x + 55a – 33 = 0;D = 64 + 80a + 25a2 – 220a + 132 = 25a2 – 140a + 196 = (5a – 14)2;sin12x = 11 — нет решений;sin12x = 5a – 3 ∈ [–1; 1];2 ≤ 5a ≤ 4;a ∈ [0,4; 0,8].Ответ: a ∈ [0,4; 0,8].б) cos26x + 2(4 + 11a)sin13x – 154a + 41 = 0.2sin213x – 2(4 + 11a)sin13x + 154a – 42 = 0;D= 121a2 + 88a + 16 – 308a + 84 = 121a2 – 220a + 100 = (11a – 10)2;4sin13x = 11a – 3 ∈ [–1; 1];sin13x = 7 — нет решений;2 ≤ 11a ≤ 4;24.≤a≤1111⎡2 4⎤Ответ: a ∈ ⎢ ; ⎥ .⎣11 11 ⎦19sin x + 176.4.D11.
а)=a.7sin x + 9sinx(19 – 7a) = 9a – 17; a =sin x =4669a − 17;19 − 7a1919— решений нет; a = ;77⎧ 9a − 17⎪⎪19 − 7a ≤ 1;⎨⎪ 9a − 17 ≥ −1⎪⎩19 − 7a⎡⎧16a − 36⎪⎪ 7a − 19 ≥ 0;⎨⎪ 2a + 2 ≤ 0⎪⎩ 7a − 19⎧⎡9⎪⎢a ≤4⎪⎢19⎪⎢;⎨⎢a >7⎪⎣⎪19 ⎞⎡⎪a ∈ ⎢ −1;⎟7⎠⎣⎩9⎤Ответ: a ∈ ⎢ −1; ⎥ .4⎦⎣б)18sin x + 17=a.17sin x + 18sinx(18 – 17a) = 18a – 17;1818— решений нет; a ≠;171718a − 17∈ [–1; 1];sin x =18 − 17a18 ⎞⎧⎡⎧18a − 17⎧ a +1a ∈ ⎢ −1;⎟⎪⎪18 − 17a ≥ −1 ⎪⎪17a − 18 ≤ 0 ⎪⎪17 ⎠⎣; ⎨; ⎨;⎨⎪18a − 17 ≤ 1⎪ 35a − 35 ≤ 0 ⎪a ∈ ( −∞; 1] ∪ ⎛ 18 ; +∞ ⎞⎜⎟⎪⎩18 − 17a⎪⎩ 18 − 17a⎪⎩⎝ 17⎠a=Ответ: a ∈ [–1; 1].6.4.D12.22⎪⎧24cos x + 11cos y = 10a − 17а) ⎨22⎩⎪33cos x + 8cos y = 28a – 592⎪⎧57 cos y = −114a + 285;⎨2⎪⎩171cos x = 228a – 513.4⎧ 2⎪cos x = a − 3;3⎨⎪cos 2 y = −2a + 5⎩4⎧5⎪0 ≤ a − 3 ≤ 1 9; ≤a≤ .342⎪⎩0 ≤ −2a + 5 ≤ 1Система имеет хотя бы одно решение, если: ⎨Ответ:95≤a≤ .4222⎪⎧21cos x + 11cos y = 9a − 8б) ⎨22⎩⎪33cos x + 7 cos y = 45a – 64.⎧⎪72cos 2 y = −216a + 360;⎨2⎪⎩216cos x = 432a – 648⎧0 < −216a + 360 ≤ 72;⎨⎩0 < 432a − 648 ≤ 2164675⎧4⎪⎪ 3 ≤ a ≤ 3 35; ≤a≤ .⎨323⎪ ≤a≤2⎪⎩ 2⎡3 5⎤Ответ: a ∈ ⎢ ; ⎥ .⎣2 3⎦§ 5.
Показательная функция6.5.D01. а) 52x + (5a2 + a + 4)5x – (a + 2) = 0.По теореме Виета x1 ⋅ x2 = –a – 2.Чтобы было одно решение, необходимо, чтобы один корень был меньше 0⇒ x1 ⋅ x2 = –a – 2 < 0; a > –2, при данном a D > 0 ⇒ корни ∃. Ответ: a > –2.б) 81x + (4a2 + 3a + 4)9x – 2a + 3 = 0.По теореме Виета x1 ⋅ x2 = –2a + 3, чтобы было одно решение, необходимо,чтобы один корень был меньше 0 ⇒ x1x2 = –2a + 3 <0, a >D > 0 ⇒ корни ∃.Ответ: a >3.26.5.D02. а) 49x – (8a – 1)7x + 16a2 – 4a – 2 = 0.D = 64a2 – 16a + 1 – 64a2 + 16a + 8 = 9;7x = 4a – 2; 7x = 4a + 1;⎧ 4a − 2 ≤ 0;⎨⎩ 4a + 1 > 01⎧⎪⎪a ≤ 2;⎨⎪a > − 1⎪⎩4⎛ 1 1⎤⎥.⎝ 4 2⎦Ответ: a ∈ ⎜ − ;б) 36x – (8a + 5)6x + 16a2 + 20a – 14 = 0.D = 64a2 + 80a + 25 – 64a2 – 80a + 56 = 81;6x = 4a + 7; 6x = 4a – 2;⎧ 4a + 7 > 0;⎨⎩ 4a − 2 ≤ 07⎧⎪⎪a > − 4;⎨⎪a ≤ 1⎪⎩2⎛ 7 1⎤Ответ: a ∈ ⎜ − ; ⎥ .⎝ 4 2⎦⎧⎪6 x − a − 3 ≤ 36 x − a + 46.5.D03.
а) ⎨⎪⎩4x − 2a − 2⎧ x − a + 11 ≥ 0;⎨⎩ x − 4a + 8 ≤ 0468≥ 16 x − 3a + 3.3при данном a2x ∈ [a – 11; 4a – 8];4a – 8 – a + 11 = 3;a = 0.Ответ: a = 0.⎧⎪2 x + 4 a + 2 ≤ 4 x + a + 4б) ⎨x − a −3≥ 9 x + 3a −1⎩⎪3⎧ x + 6 − 2a ≥ 0;⎨⎩ x + 7a + 1 ≤ 0.x ∈ [2a – 6; –7a – 1];–7a – 1 – 2a + 6 = 1;4.94Ответ: a = .99a = 4; a =6.5.D04а) 9x – (7a – 1)3x + 12a2 – a – 6 ≤ 0.D = 49a2 – 14a + 1 – 48a2 + 4a + 24 = a2 – 10a + 25 = (a – 5)2, чтобынеравенство превратилось в равенство, необходимо, чтобы D = 0 ⇒ a = 5.Ответ: a = 5.б) 4x – (5a – 1)2x + 6a2 – a – 2 ≤ 0.D = 25a2 – 10a + 1 – 24a2 + 4a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2, чтобы неравенствопревратилось в равенство, необходимо, чтобы D = 0 ⇒ a = 3.Ответ: a = 3.6.5.D05.
а) 64x – 8x(85a–2 + 84a–3) + 89a–5 = 0.Пусть y = 8x. y2 – y(85a–2 + 84a–3) + 89a–5 = 0.⎡ y = 85a − 2По теореме Виета: ⎢⎢⎣ y = 84a −3⎡ x = 5a − 2; ⎢;⎣ x = 4a − 3x1 5a − 2== 3 ; 7a = 7; a = 1;x2 4a − 3x2 4a − 33== 3 ; 11a = 3; a = .x1 5a − 211Ответ: a = 3; a =3.11б) 49x – 7x(73a+2 + 72a+4) + 75a+6 = 0.По теореме Виета 7 x1 = 73a + 2 ; 7 x2 = 7 2 a + 4 ;x1 3a + 214== 4 ; 5a = –14; a = − ;x2 2a + 45x2 2a + 4== 4 ; 10a = –4; a = –0,4.x1 3a + 2Ответ: a = –2,8; a = –0,4.4696.5.D06. а)12 ⋅16 x + 11=a.2 − 13 ⋅16 x16x(12 + 13a) = 2a – 11;1212— решений нет, a ≠ − ;13132a − 11x16 =≤0;12 + 13a⎛ 12 11 ⎤a ∈⎜− ; ⎥ .⎝ 13 2 ⎦a=−⎛ 12 11 ⎤; ⎥.⎝ 13 2 ⎦Ответ: a ∈ ⎜ −б)3 ⋅15 x +1 + 8=a.3 − 10 ⋅15x15x(45 + 10a) = 3a – 8;a = –4,5 — решений нет,a ≠ –4,5;3a − 8≤0;45a + 10⎛ 9 8⎤a ∈⎜− ; ⎥ ;⎝ 2 3⎦15x =⎛ 9 8⎤Ответ: a ∈ ⎜ − ; ⎥ .⎝ 2 3⎦6.5.D07.2а) ( x 2 + 2 x − 3) 6 x + 2 x − 3 − 14a + a 2 + 44 = 0 .Чтобы x = 1 и x = –3 не являлись решениями, необходимо, чтобы при нихподкоренное выражение было меньше 0.a2 – 14a + 45 < 0;a ∈ (5; 9).Ответ: a ∈ (5; 9).2б) ( x 2 − 2 x − 3) 5x − 2 x − 3 + a 2 + 4a − 33 = 0 .Чтобы x = 3 и x = –1 не являлись решениями, необходимо, чтобы при нихподкоренное выражение было меньше 0.a2 + 4a – 32 < 0;a ∈ (–8; 4).Ответ: a ∈ (–8; 4).6.5.D08.⎧⎪3x + 2 y = 349 a2 +1 + 21−14 aа) ⎨xy49 a⎩⎪3 − 2 = 322+1− 21−14 a2⎪⎧ x = 49a + 1;⎪⎩ y = 1 − 14a.
⎨z = x + y = 49a – 14a + 2 — это парабола, ветви направлены вверх470⇒ amin = ab =1;7z(amin) = 1 – 2 + 2 = 1.Ответ : a =1.7⎧⎪5x + 9 y = 5a2 + 25 + 9−14 −10 aб) ⎨⎪⎩5x − 9 y = 5a2+ 25− 9−14 −10 a⎧⎪ x = a 2 + 25;⎪⎩ y = −14 − 10a. ⎨z = x + y = a2 – 10a + 11 — это парабола, ветви направлены вверх⇒ amin = ab = 5. Ответ: a = 5.6.5. D09. а) (4x – 64)(2x – 128)(8x – 82a)(7x – 72a+4) ≤ 0.⎧ x1 = 3⎪⎧ x = x = 2a = 33⎪x = 7Нули: ⎨ 2; ⎨ 3 1;a= .2⎩ x4 = x2 = 2a + 4 = 7⎪ x3 = 2a⎪ x = 2a + 4⎩ 43Ответ: a = , x1 = 3, x2 = 7.2б) (7x – 49)(5x – 1)(2x – 25a)(4x – 45a–2) ≤ 0.⎧ x1 = 2⎪⎧ x = x = 5a = 222⎪x = 0Нули: ⎨ 2; ⎨ 3 1; a = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
