mordkovitch-gdz-11-2001 (546281), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а) (sin2 x + 1) (lg (2x – 3) –2) ≤ 0; lg(2x – 3) ≤ 2 (т.к. sin2x + 1 > 0);397⎡ 3 97 ⎤0 < 2x – 3 ≤ 100;<x≤; x∈⎢ ;⎥;22⎣2 2 ⎦21б) ( 6х − 1 + 5) (5 х −1 – ) > 0;5⎧ x 2 − 1 > −1⎪⎡1⎞; x ∈ ⎢ ; + ∞ ⎟;1⎨⎣6⎠⎪⎩ x ≥ 6ππв) cos x (2 x+3 + 3x-7) ≥ 0; cos x ≥ 0; x ∈ [– + 2 πn;+ 2 πn];22⎧ x 2 −1 1− >0⎪5;⎨5⎪⎩6x − 1 ≥ 0г) (2 –3х + 1 ) (log2 0,5 (3х – 6) + 2) < 0;⎧2 − 3x + 1 < 0 ⎧ x > 1; ⎨; x ∈ (2; +∞).⎨⎩x > 2⎩3x − 6 > 01790. а) 3х 2 + 1 ≥ х + 1;1) x + 1 ≤ 0; х ≤ – 1;2) x +1 > 0; 3x2 + 1 ≥ x2 + 2x + 1; 2x2 – 2x ≥ 0; x ∈ (– 1; 0] ∪ [1; + ∞)Ответ: x ∈ (–∞ ; 0] ∪ [ 1; + ∞).⎧ x ≤ −1 2б) х 2 + х < x + 1; ОДЗ: ⎨; x + x < x2 + 2x + 1; x > – 1;⎩x ≥ 0Ответ: x ∈[0; +∞).в)5х 2 + 4 ≤ 7х + 10;⎧ 2⎧5x 2 + 4 ≤ 49x 2 + 140x + 100 ⎪11x + 35x + 24 ≥ 0; ⎨;10⎨⎩7x + 10 > 0⎪⎩ x > − 7⎧⎛24 ⎞⎪⎪⎜ x + 11 ⎟ (x + 1) ≥ 0⎝⎠; х ∈ [– 1; + ∞);⎨10⎪x > −⎪⎩7г)2022х 2 + 7 х > 5 – 2x;1) 5 – 2х ≤ 0; ≥ 2,5;2) x < 2,5; 2x2 + 7x > 25 + 4x2 – 20 x; 2x2 - 27x + 25 < 0; 1 < x < 12,5;Ответ: х ∈ (1; +∞).1791.
a)x 2 − 11x − 12 < x 2 + 11x + 6;0 ≤ x2 – 11x – 12 < x2 + 11x + 6;⎧ ⎡ x ≥ 12⎧(x − 12)(x + 1) ≥ 0 ⎪⎪ ⎣⎢ x ≤ −1; ⎨; x ∈ [12; +∞);⎨22x > −18⎩⎪x > − 9⎪⎩11б)5x 2 − 10x − 3 > x − 2x 2 + 3; 5x2 – 10x – 3 > x – 2x2 + 3 ≥ 0;3⎧⎪−1 ≤ x ≤ 23⎪; x ∈ [−1; − ).⎨⎡x > 27⎪⎢3⎪⎢x < −7⎩⎣1792. а)х2 − 4 –х−2 ≤х 2 − 4х + 4;х − 2 ( х + 2 –1– х − 2 ) ≤ 0;х = 2 — решение; пусть теперь х ≠ 2;х+2 ≤х − 2 + 1;0<х+2≤х–2+1+2 х−2 ;⎧9 ≤ 4x − 817⎪.; х≥⎨x > 24⎪⎩ x ≥ −217; +∞);Ответ: х ∈ {2} ∪ [4б)х2 − 9 +х+3 ≥х 2 + 6 х + 9 ; ОДЗ: х = – 3, х ≥ 3;х + 3 ( х − 3 + 1 – х + 3 ) ≥ 0;х = – 3 — решение; пусть теперь х ≠ –3;x − 3 + 1 ≥ x + 3;х – 3 + 1 + 2 х − 3 ≥ х + 3 > 0;37⎧⎧4x − 12 ≥ 25 ⎪ x ≥; ⎨⎨4;⎩x ≥ 3⎪⎩ x ≥ 337Ответ: х ∈ {–3} ∪ [; +∞).4203⎡х ≥ 5х 2 − 5х − 4 х + 26⎢1793. а)> 2; ОДЗ: ⎢ х ≤ 0 ;7−х⎢⎣ х ≠ 7⎧x < 7⎪⎡ x ≤ 6⎧⎪ х < 7⎪1) ⎨ 2;; ⎨⎢⎪⎩ x − 5x > 2x − 12 ⎪ ⎢ ⎧ x > 6⎨ 22⎩⎪ ⎣⎢ ⎩ x − 5x > (2x − 12)х 2 − 5х − 2 х + 12> 0;7−х⎧x < 7⎪⎡ x ≤ 6⎪;⎨⎢⎧x > 6⎪⎢⎨ 2⎩⎪ ⎣⎢ ⎩3x − 43x + 144 < 06 < x < 7;⎧x > 7⎧⎪ х < 7⎧x > 7⎪ 2; ⎨; ⎨ x − 5x ≥ 0;2) ⎨ 222⎪⎩ x − 5x < 2x − 12 ⎩0 ≤ x − 5x < 4x +144 − 48x ⎪ 23x43x+1440−>⎩x > 9;Ответ: х ∈ (–∞; 0] v [5; 7) v (9; + ∞);⎡ х ≤ −5x 2 + 5x − 2x − 10х 2 + 5х − 4 х − 6⎢< – 2; ОДЗ: ⎢ х ≥ 0 ;< 0;б)x−2х−2⎢⎣ х ≠ 2⎧⎪ x > 2⎧x > 2⎧x > 21) ⎨ 2; ⎨ 2; ⎨ 22⎪⎩ x + 5x < 2x + 10 ⎩ x + 5x < 4x + 40x + 100 ⎩3x + 35x + 100 > 0;x >2;⎧x < 2⎧x < 2⎪ ⎡ x ≤ −5⎪ ⎡ x ≤ −5⎧⎪ x < 2⎪⎪; x ≤ –5;2) ⎨ 2; ⎨⎢; ⎨ ⎢ ⎧ x > −5x5>−⎧x+5x>2x+10⎪⎩⎪ ⎢⎢ ⎪⎨ 20⎪⎢ ⎨ 2⎩⎪ ⎢⎣ ⎩3x + 35x + 100 < 0 ⎪⎩⎪ ⎢⎣ ⎪⎩− 3 < x < −5Ответ: х ∈ (–∞; –5] ∪ [2; +∞).⎡3x − 9 ≥ 6 ⎡ х ≥ 51794.
а) ⏐3х – 9⏐ ≥ 6; ⎢; ⎢; x ∈ (–∞; 1] ∪ [5; +∞);⎣9 − 3x ≥ 6 ⎣ х ≤ 1⎧4 − 2х < 16 ⎧ x > −6б) ⏐4 – 2х⏐ <16; ⎨; ⎨; x ∈ (– 6; 10);⎩4 − 2x > −16 ⎩ x < 10⎧5х + 10 ≥ −15; х ∈ [– 5; 1];в) ⏐5х + 10⏐ ≤ 15; ⎨⎩5х + 10 ≤ 15⎡3х + 9 > 12⎡x + 1г) ⏐9 + 3х⏐ >12; ⎢; ⎢; x ∈ (–∞;– 7) ∪ (1; + ∞).⎣3x + 9 < −12 ⎣ x < −72041⎡⎢x > 211⎡6х − 1 > 21795. а) ⏐6х – 1⏐ > 2; ⎢; ⎢; x ∈ (–∞; ) ∪ ( ; +∞);1−<−6x1262⎣⎢x < −⎢⎣67 1⎧3 + 2x ≤ 4б) ⏐3 + 2х⏐ ≤ 4; ⎨; x ∈ [– ; ];2 2⎩3 + 2x ≥ −41 5⎧9x − 1 < 4в) ⏐9х – 1⏐ < 4; ⎨; x ∈ (– ; );3 9⎩9x − 1 > −41⎡⎢x ≤ 314⎡5 − 6х ≥ 3г) ⏐5 – 6х⏐ ≥ 3; ⎢; ⎢; х ∈ (–∞; ] ∪ [ ; +∞ ].−≥−56х3433⎣⎢x ≥⎢⎣3⎧4 − 2х < 16⎧ x > −6; ⎨; x ∈ [1; +∞);1796. a) ⏐x + 1⏐ ≤ 2x; ⎨⎩4 − 2x > −16 ⎩ x < 103⎡6х − 1 > 2⎡ x > 1/ 2б) ⏐3х – 4⏐ > x + 1; ⎢; ⎢; x ∈ (–∞; ) ∪ (2,5; +∞);4⎣6x − 1 < −2 ⎣ x < −(1/ 6)1⎡⎢x > 2⎡6х − 1 > 2; ⎢;в) ⏐2х – 1⏐ ≥ х; ⎢⎣6x − 1 < −2 ⎢ x < − 1⎢⎣6x ∈ (–∞; 1/3] ∪ [1; +∞);7⎧⎪⎪ x > 6⎛7 9⎞⎧16 − 8x < 4x + 2г) ⏐16 – 8х⏐ < 4x + 2; ⎨; ⎨; x ∈ ⎜ ; ⎟.168x4x2−>−−9⎩⎝6 2⎠⎪x <⎪⎩21797.
a)⏐2х – 1⏐ + ⏐3х – 6⏐ < 12;1) x ≥ 2; 2x – 1 + 3x – 6 < 12; 5x < 19; x ∈ [2;19);52) 1/2 ≤ x < 2; – x + 5 < 12; x ∈ [1/2; 2);1⎞1⎛3) x < ; –2x + 1 – 3x + 6 < 12; –5x + 7 < 12; x ∈ ⎜ −1; ⎟ ;2⎠2⎝19Ответ: x ∈ (–1;);54б) ⏐3х – 4⏐ –⏐х + 2⏐ ≥ 4; х ≥ ; 3x – 4 –x – 2 ≥ 4; 2х ≥ 10х; x ∈ [5; +∞);3412) –2 ≤ x < ; –3x + 4 – x – 2 ≥ 4; 2 – 4x ≥ 4; x ∈ [–2; – ];323) x < – 2; –2x + 6 ≥4; x ∈ ( –∞; –2);205Ответ: x ∈ (–∞; 1/2] ∪ [5; +∞).1798.
а) sin 2x ≥ sin x; sin x (2 cos x – 1) ≥ 0;⎡ ⎧cos x ≥ 1/ 2⎢ ⎨sin x ≥ 0⎢⎩;⎢⎧cos x ≤ 1/ 2⎢ ⎨sin x ≤ 0⎣⎩π⎡⎢ х ∈ [2πn; 3 + 2πn];⎢⎢ x ∈ [π + 2πn; 5π + 2πn]⎢⎣35ππ+ 2πn] ∪ [π + 2πn;+ 2πn];331б) cos 2x ≤ cos x; 2 cos2 x – cos x – 1 ≤ 0; – ≤ cos x ≤ 1;22π2πx ∈ [–+ 2πn;+ 2πn].33х ∈ [2πn;ππ– x) ≤ sin x; sin x – cos x ≥ 0; sin (x – ) ≥ 0;24π5πx ∈ [ + 2πn;+ 2πn];44ππππб) cos ( – x) ≤ cos x; sinsin ( – x) ≥ 0; sin ( – x) ≥ 0;36665ππx ∈ [–+ 2πn;+ 2πn].661799. a) sin (1800. a) cos x > sin 2x – cos 3x; cos 2x cos x – sin x cos x > 0;cos x (1 – sin x – 2 sin2 x) > 0; (2sin2 x + sin x – 1) < 0.⎧cosx > 0⎧cos x > 0ππ⎪1) ⎨; ⎨1 ; х ∈ (– + 2πn; + 2πn);2−<<1sinx+−<2sinxsinx1026⎩⎪⎩2⎧cos x < 0π5π⎪⎪ ⎡sin x < −1+ 2πn);; х ∈ (– + 2πn;⎨⎢126⎪ ⎢sin x >⎪⎩ ⎣2πππ5πОтвет: (– + 2πn; + 2πn) ∪ (– + 2πn;+ 2πn);2626б) sin x < cos x – sin 3x; cos x (2 sin 2x – 1) < 0;π⎧ π− + 2πn < x < + 2πn⎧cos x > 0⎪⎪⎪ 22;1) ⎨1; ⎨⎪⎩sin 2x < 2 ⎪− 7 π + πn < x < π + πn⎪⎩ 1212ππ5ππ⎛⎞ ⎛⎞x ∈ ⎜ − + πn;+ 2πn ⎟ ∪ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ ;122⎝ 2⎠ ⎝ 12⎠⎧cos x > 02) ⎨;2⎩2sin x + sin x − 1 < 02063π⎧π+ 2πn < x <+ 2πn11π7π⎪⎪ 22; x ∈ (–+ 2πn; –+ 2πn);⎨ππ51212⎪ + πn < x <+ πn⎪⎩121211π7π5ππππ+2πn; –+2πn)∪(– +2πn;+2πn)∪(+2πn; +2πn).Ответ: x∈(–1212122122⎧cos x < 0⎪2) ⎨1;⎪⎩sin 2x > 2⎛1⎞1801.
а) ⎜ ⎟⎝7⎠б) (0,3)5 − 2х5 х −1 − 2–1 sinx – cos2xв) (3 )> 7 −2x+11; 2х – 5 + 2х – 11 > 0; 2x > 8; x > 3;≤ 1; ОДЗ: х ≥<3cos 2 x −121;55х − 1 ≥ 2; х ≥ 1;; cos 2x – sin x < cos 2x –11; sin x > ;22π5π+ 2πn;+ 2πn);66ln(x – 2)⋅ 0,1 ≥ (10– 1) ln(x + 2); ОДЗ: x > 2; ln (x – 2) – 1 ≥ – ln (x + 2);г) 102x – 4 ≥ – e; x ∈ (–∞; − 4 + e ] ∪ ( 4 + e ; +∞).x∈(1802. a) lg (0,2x – 5) < log0,1 (95 – 3 · 0,2x) – 1; ОДЗ: x < – 1;х⎛1⎞0,2x – 5 < 95 – 3 · 0,2x; ⎜ ⎟ < 25; x > – 2;⎝5⎠Ответ: х ∈ (– 2; – 1);1б) log0,1 (3 3х + 1 − 2)> log0,1 3х + 1 ⋅ lg(0,1-8); ОДЗ:433х + 1 – 2 < 3x + 1; 3x + 1 – 3⎡ 3х + 1 > 2;⎢⎢⎣ 3x + 1 < 1x ∈ (–3х + 1 >2;33х + 1 + 2 > 0;⎡ 3x + 1 > 2⎢2(т.к.
х должен входить в ОДЗ);⎢ < 3x + 1 < 1⎢⎣ 35; 0) ∪ (1; + ∞).27х⎛1⎞–x⎜ ⎟ + 11; 3 ( 9 – 1) < 24; – x < 1; x > – 1⎝3⎠(в ответе задачника опечатка);7ππ1б) (sin x – cos x) 9 ≤ (0,5 – cos x)9; sin x ≤ ; x ∈ [–+ 2πn;+ 2πn];2661803. a)3 2− х3− 13 <35в) ( 6 х + 5 – 1)5 ≥ (6x − 4) 2 ; ОДЗ: х ≥2;36x + 5 − 1 ≥ 6x − 4;2076x + 6 − 2 6x + 5 ≥ 6x − 4; 2 6x + 5 ≤ 10; 6x + 5 ≤ 25; x ≤10;310 ⎤⎡2т.к. х должен входить в ОДЗ, то x ∈ ⎢ ; − ⎥ ;3⎦⎣3⎡ ln x < −12 ln 2 x − 3 ln x + 5 > 7 6 − 4 ln x ; 2ln2 + lnx – 1 >0; ⎢1 ;⎢ ln x >2⎣1x ∈ (0; ) ∪ ( е ; + ∞).ег)71804.
а)х +2 –х − 1 ≥ 1;х +2≥х +2х −1 ;⎧⎪ x − 1 ≤ 1; x ∈ [1; 4];⎨⎪⎩ x − 1 ≥ 0⎧ ⎡ln x ≤ −2⎪⎪ ⎢ln x ≥ 1; x ∈ [ e; + ∞);ln х + 3 ≤ ln x + 1; ⎨ ⎣⎪x ≥ 1⎪⎩e3б)sin х < 0; 0 < sin х < 1; 0 < sin x < 1;ππx ∈ (2 πn; + 2 πn) ∪ ( + 2 πn; π + 2 πn);22в) sin x –2х + 4 –г)2 х − 4 > 2; 2x + 4 > 4 + 2x – 4 + 42х − 4 ;⎧⎪2 < 5; x ∈ [2; log2 5) (в ответе задачника опечатка).2 х − 4 < 1; ⎨ x⎪⎩2 ≥ 4x⎧21 − 4x > 021⎪);1805. a) logx (21 – 4x) > 2; ОДЗ: ⎨ x > 0; x ∈ (0; 1) ∪ (1;4⎪⎩ x ≠ 11) x ∈ (0; 1); 21 – 4x < x2; x2 + 4x – 21 > 0; решений нет;2) х > 1; 21 – 4x > x2; x2 + 4x – 21 < 0; x ∈ (1; 3);Ответ: x ∈ (1; 3);⎧22x − 3 > 0⎪б) log2x – 3(x2 – 10x + 9) ≤ 2; ОДЗ: ⎨2x − 3 ≠ 1; x > 9; т.к. при x > 9,⎪ x 2 − 10x + 9 > 0⎩2x – 3 > 1, то имеет: x2 – 10x + 9 ≤ 4 x2 – 12x + 9; 3x2 – 12x ≥ 0;⎡x ≤ 0⎢ x ≥ 4 ; т.к.
х должен входить в ОДЗ, то x ∈ (0; +∞).⎣208π+ 2πn; 4 – x2 ≥ 0;2x ∈ [– 2; 2], т.к. х должен входить в ОДЗ, то x = π/2;sin x − 1 ≤ 4 – x2; ОДЗ: sin x ≥ 1; x =1806. a)б) cos x − 1 ≥ х2 – 49; ОДЗ: cos x ≥ 1; x = 2πn; х2 ≤ 49; x ∈ [–7; 7];т.к. х должен входить в ОДЗ, то x = 0, x = ±2π.1807. а) 6 log3 (x –1) ≤ 14 + 2x – x2; пусть х – 1 = а > 0, тогда имеем:6 log3 а ≤ 15 – а2; т.к.
у = 15 – а2 убывает, а у = 6 log3 a — возрастает, тографик этой функции могут иметь только одну точку пересечения;очевидно, а = 3 ⇒ а ∈ (0; 3];Ответ: (1; 4].б) log2 (x2 + x – 10) > 25 – 2x – 2x2; пусть х2 + х – 10 = а > 0, тогда имеем:log2 a > 15 – 2a; т.к. у = log2 = а возрастает, а у = 5 – 2а — убывает, тографики этих функций могут иметь только одну точку пересечения,очевидно, а = 2 ⇒ неравенство выполняется при а > 2; x2 + x – 10 > 2;x2 + x – 12 > 0; x ∈ (–∞ ; – 4) ∪ (3; + ∞).§ 58.
Системы уравнений⎧⎪x + y = 3;⎪⎩x 2 + 2 y 2 − xy + 2 x − 3y = 31808. а) ⎨⎧⎪x = 3 − y; 4y2 – 14y + 12 = 0;⎨⎪⎩9 + y 2 − 6 y + 2 y2 − 3y + y 2 + 6 − 2 y − 3y − 3 = 033x = ; y =1, x = 2;2y 2 − 7y + 6 = 0 ; y =22⎪⎧ y = 2 + xб) ⎨ 3; x 3 − x 3 − 8 − 6 x 2 − 12 x + 8 = 0 ; x 2 + 2x = 0 ;⎪⎩x − y3 = −8x = 0, x = –2; y = 2, y = 0;Ответ: (0; 2), (–2; 0).⎧⎪x + y = 5;⎪⎩x 3 + y3 = 35в) ⎨⎧⎪x = 5 − y;⎨⎪⎩125 − y3 + 15 y 2 − 75 y + y3 = 3515 y 2 − 75 y + 90 = 0 ;y 2 − 5 y + 6 = 0 ; y = 2, x = 3; y = 3, x = 2;Ответ: (2; 3), (3; 2).⎪⎧x + 2 y = 1⎪⎧x = 1 − 2 y; ⎨;г) ⎨ 22⎪⎩2 x + 3xy − 3y = 6 ⎪⎩2 + 8 y 2 − 8 y + 3y − 6 y 2 − 3y 2 − 6 = 0209y 2 + 5 y + 4 = 0 ; y = –4, x = 9; y = –1; x = 3;Ответ: (0; –4), (3; –1).π⎧⎧2⎪⎪cos(x − y) − cos(x + y) = −⎪⎪ x + y = 42 ;1809.
а) ⎨; ⎨1⎪sin x ⋅ sin y = −⎪x = π − y⎪⎩2 2 ⎪⎩4πcos( − 2y) = 0 ;43π πn⎧⎪⎪ y = 8 + 2;⎨⎪x = − π − πn⎪⎩8 2⎛ π πn 3π πn ⎞+Ответ: ⎜ − − ;⎟ (в ответе задачника опечатка).82 ⎠⎝ 8 2⎧⎪3x = y + 1;⎪⎩7 y − 2 x + 2 = 7 y − 4 x +1 + 6б) ⎨⎧⎪ y = 3x − 1;⎨ x +1⎪⎩7= 7− x + 67 ⋅ 7 2 x − 6 ⋅ 7 x − 1 = 0 — квадратное уравнение относительно 7х;1) 7 x = 1 ; x = 0, y = 1; 2) 7x = –(1/7) — решений нет;Ответ: (0; 1).⎧ x = 2y⎪1 ;в) ⎨log (2y + x) + log 1 (x − y + 1) = log 3 ()⎪ 133y+1⎩log1/ 3 4y + log1/ 3 (y + 1) = log1/ 3 (y + 1) ;⎧4y(y + 1) = y + 111⎪; y= , x= ;⎨y + 1 > 042⎪⎩4x > 0⎛1 1⎞Ответ: ⎜ ; ⎟ .⎝2 4⎠⎧⎪ 7 − 6x − y2 = y + 5 ⎧⎪ x = y + 1г) ⎨; ⎨2;⎪⎩ 7 − 6y − 6 − y = y + 5⎪⎩ y = x − 122y + 10 y + 25 = − y − 6 y + 1 ; y ≥ –5; 2 y 2 + 16 y + 24 = 0 ; y 2 + 8y + 12 = 0 ;1) y = –2, x = –1; 2) y = –6 — не подходит;Ответ: (–1; –2).⎧3x + 2 y = 1; (3x + 2y) + 2(x – y) = 1 + (–3) ⋅ 2; 5x = −5 ; x=–1, y=2;⎩x − y = −31810.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
