mordkovitch-gdz-11-2001 (546281), страница 15
Текст из файла (страница 15)
х2+1>0 при всех х, то, домножив обе части уравнения на х2+1, получимвторое уравнение, не нарушив равносильности;1sin x + 1 1= и sinх+1= sinх+1,б)sin x + 2 22т.к. sinх+2>0 при всех х, то, домножив обе части уравнения на sinх + 2,получим второе уравнение, не нарушив равносильности.1670. а)1671.
а)⎧ x ≥ 5/ 33x − 5 = 9 − 7 x ; ОДЗ: ⎨;⎩x ≤ 9 / 7т.к. 5/3>9/7, то эта система не имеет решений, поэтому уравнение не имееткорней;б)x 2 − 4 + 1 − x 2 =4;⎧x ≥ 4; эта система не имеет решений, поэтому уравнение не имеетОДЗ: ⎨⎩x ≤ 1корней.⎧⎪ x 2 > 9;⎨ 2⎪⎩ x < 4эта система не имеет решений, поэтому уравнение не имеет корней;21⎪⎧ x − 3x > 0 ⎧ x ∈ ( −∞;0) ∪ (3; +∞); ⎨;б) lg (х2−3х)−lg(2х−х2)= ; ОДЗ: ⎨22⎪⎩2x − x > 0 ⎩ x ∈ (0;2)эта истема не имеет решений, поэтому уравнение не имеет корней.1672. а) lg (х2−9)+lg(4−х2)=1; ОДЗ:21671673.
а)6⎧7x − 6 ≥ 07x − 6 =х; ОДЗ: ⎨; х ≥ ; х2−7х+6=0; х=6; х=1;≥x07⎩⎧2x + 0 ≥ 0б) х+3= 2x + 9 ; ОДЗ: ⎨; х ≥ −3; x2 + 4x = 0; х = 0;⎩x + 3 ≥ 0х = −4, — не входит в ОДЗ;11 2⎧6x − 11 ≥ 0в) 6 x − 11 =х−1; ОДЗ: ⎨; х≥; х −8х+12=0; х = 6; х = 2;−≥x106⎩⎧− x − 5 ≥ 0; эта система не имеет решений,г) −х − 5 = 7x + 23 ; ОДЗ: ⎨⎩7x + 23 ≥ 0поэтому уравнение также не имеет решений.x 4 − 3x − 1 =х2−1; х4 − 3х − 1 = х4 − 2х2 + 1; 2х2 − 3х − 2 = 0;11 31+ −1>0; −1<0⇒ не подходит;1) х = − ; проверка:216 242) х = 2 — подходит;Ответ: 2.1674. а)б)x 4 − 3x − 1 =1−х2; 1) х = −11; проверка: 1− >0;241 3+ −1>0 ⇒ подходит; 2) х = 2 − не подходит;16 2Ответ: –(1/2).в)x 4 + x − 9 =1−х2; х4+х−9=х4−2х2+1; 2х2+х−10=0;105= − ; проверка:424⎛5⎞ 52⎜ ⎟ − −9>0; 1−(2,5) <0 ⇒ не подходит;⎝2⎠ 22) х = 2; проверка: 1−4<0 ⇒ не подходит;Ответ: решений нет.1) х = −г) x 4 + x − 9 = х2−1;1) х = −2,5, проверка: (2,5)2−1>0 ⇒ подходит;2) х = 2, проверка: 22−1>0 ⇒ подходит.Ответ:–2,5; 2.1675. а)x 4 − 5x 2 − 2 ,5x =5−х2; х4−5х2−2,5х=х4−10х2+25;5х2−2,5х−25=0; 2х2−х−10=0;51) х = ; проверка: (2,5)4−5⋅2,52−2,52>0; 5−(2,5)2<0 ⇒ не подходит;22) х=−2; проверка: 24−5⋅22+2,5⋅2>0; 5−22>0 ⇒ подходит;Ответ: –2;168б)x 4 − 5x 2 − 2 ,5x =х2−5; х=5— подходит; х=−2 — не подходит;2Ответ: 5/2;в)x 4 − 3x 2 − 15, x =х2−3;4х −3х2−1,5х=х4−6х2+9;3х2−3х−9=0; 2х2−х−6=0;21) х = 2; проверка: 16−12−3>0; 4−3>0 ⇒ подходит;392) х = − ; проверка: −3<0 ⇒не подходит;24Ответ: 2;г)x 4 − 3x 2 − 15, x =3−х2; х = −3− подходит; х = 2 − не подходит.2Ответ: –(3/2).1676.
а) (х2−9)( 3 − 2 x −х)=0; ОДЗ: х≤3;21) х = 3 − не подходит;2) х = −3 − подходит;⎧ 23 − 2 x =х, ⎨ x + 2x − 3 ≥ 0 ; х=−3 − подходит;⎩x ≥ 0х=1 − подходит;Ответ: 1; –3.б) (х2−16)( 4 − 3x −х)=0; ОДЗ: х≤4;31) х = 4 — не подходит;2) х = –4 — подходит;⎧ 23) ⎨ x + 3x − 4 = 0 ; х = –4, х = 1 — подходит;⎩x ≥ 0Ответ: 1; –4.4 − х 2 = 0. ОДЗ; –2 ≤ x ≤ 2;πnππ1) sin2x = 0; 2x = πn; x =. x = – , x = 0, x = ,222(т.к. х должен входить в ОДЗ);1677. а) sin 2x ⋅2)4 − x 2 = 0; х = ±2;Ответ: 0; ±π; ±2;2б) (cos 2x – 1)9 − х 2 = 0 ОДЗ; –3 ≤ x ≤ 3;1691) cos 2x = 1; x = πn.; х = 0;2) 9 – х2 = 0; x = ± 3;Ответ: 0; ±3;1 − х 2 = 0.
ОДЗ; –1 ≤ x ≤ 1.ππ πnππ1) cos2x – sin2x = 0; cos2x = 0; 2x = + πn; x = +;x=– ;x= ;242442) 1 – х2 – 0; x = ± 1;πОтвет: 1; ± ;4π⎧⎪ x ≠ + πn;г) tg x ⋅ 16 − х 2 = 0; ОДЗ: ⎨2⎩⎪−4 ≤ x ≤ 4в) (cos2 x – sin2 x)1) tgx = 0; x = πn; x = ± π, x = 0;2) 16 – x2 = 0; x = ±4;Ответ: 0; ± π; ±4.1678. а)log 2 (7 + 6x − x 2 ) − log 2 (x − 2)10x − 24 − x 2= 2;⎧7 + 6x − x 2 > 0⎧2 < x < 7⎪⎪ОДЗ: ⎨ x − 2 > 0; ⎨x ≠ 6; т.к. х — целые, то возможные⎪10x − 24 − x 2 ≠ 0⎪⎩ x ≠ 4⎩карни — х = 3 и х = 5; подстановкой в уравнение леко убедиться,что х =5 — корень, х = 3 — не корень;Ответ: 5;б)log 2 (7 + 6x + x 2 ) − log 2 (x − 2)10x − 24 − x 2= 2;⎧6 + 5x − x 5 > 0⎧2 < x < 6⎪⎪; ⎨x ≠ 4;ОДЗ: ⎨ x − 2 > 0⎪ x 2 − 9x + 20 ≠ 0 ⎪⎩ x ≠ 5⎩рассуждая аналогично предыдущему пуркту, получим х = 3;Ответ: 3.§ 56.
Общие методы решения уравнений21679. а) 32-х = 3х − 4 х ;т.к. обе части положительны, то прологарифмировав по основанию 3получим: 2 – х = х2 – 4х;б) (3х2 – 2)4 = (х – 3)4;т.к. подстепенные выражения могут быть отрицательными нельзя извлечькорень 4 степени;170в). 3 7 − x = 3 5x + 1;т.к. 3 a определен для всех а, то обе части уравнения можно возвести вкуб, не нарушая равностильности; получим: 7 – х = 5х + 1;1г) lg= lg (2x – 7), в исходном уравнении имеем: 1/х > 0, 2х – 7 > 0; еслихэто уравнение пропотенцировать, то получим уравнение 1/х = 2х – 7, праваяи левая части которого не обязательно положительны, а значит этоуравнение не равносильно исходному.1680.
а) (2х4 + 1)5 = (1 – х3)5;аналогично пункту в предыдущей задачи получим равносильное уравнение2х4 + 1 = 1 – х3;б) log0,2 (2sinx – 1) = log0,2 (3 – sin2 x);поскольку 3 – sin2 x > 0 при всех х, то потенциированием получилиуравнение 2sinx – 1 = 3 – sin2 x; равносильное исходному;66в) 2 х − 1 = 5 − 3 ⋅ 2 х ;т.к. подкоренные выражения должны быть неотрицательны, то, возведя вшестую степень мы нарушим равносильность;г) cos (3x – 1) = cos(3 – 9x);уравнение 3х – 1 = 3 – 9х не будет равносильно исходному, поскольку cos —периодическая функция.1681.
а) 22х −3х −3=1232 ; ОДЗ: х ≥ 3;321> 3;4= 2 2 ; 4х – 12 = 9; х =Ответ: 21/4;б) 10log 2 (x −3) ⋅ 0,0001 = 0,1log 2 (x −7) ;ОДЗ: х > 3;10log 2 (x −3) − 4 = 10− log 2 (x − 7) ;x2 – 10x + 21 = 16;x2 – 10x + 5 = 0;x = 5 + 2 5 > 3, x = 5 − 2 5 < 3;Ответ: x = 5 + 2 5 (в ответе задачника опечатка).1682. а) 0,5 sin x – cos x = 1; sin x – cos x = 0; sin (x –б)sin 2 x −1( )31− cos 2 x +1,52⋅ 3 3 = 4 729 ; 3ππ) = 0; x = + πn.443= 3 2 ; cos2 x = 0; x =1683. а) log3 (x2 – 10x + 40) = log3 (4x – 8); ОДЗ: x > 2;x2 – 14x + 48 = 0; x = 6, x = 8;Ответ: 6; 8;π+ πn.21719 3; х + 8х2 – 9х = 0;4х (х2 + 8х – 9) = 0; х = 0, х = – 9, х = 1; х = 0 и х = –9 не входят в ОДЗ;Ответ: 1;⎡ x > −1x−2x +1= log 3; ОДЗ: ⎢, x ≠ 2;в) log 32x − 4x+2⎣ x < −2б) log0,8 (9x – 4х2) = log0,8 (х3 + 4х2); ОДЗ: 0 < х <x−2x +1 2=; x – 2x = 0; x = 0, x = 2; x = 2 — не входит в ОДЗ;2x − 4 x + 2Ответ: 0;⎧5x − 6 > 0г) log0,1 5x − 6 = log0,1 x 2 − 2 ; ОДЗ: ⎨ 2; х> 2 ;⎩x − 2 > 05x – 6 = x2 – 2; x2 – 5x + 4 = 0; x = 4, х = 1; x = 1 — не подходит;Ответ: 4.1684.
а) (х2 – 6х)5 = (2х – 7)5; х2 – 8х + 7 = 0; х = 7, х = 1;Ответ: 1; 7;991⎧6x − 1 ≥ 0б) 6x − 1 + 1 = 6 x + 8 ; ОДЗ: ⎨; х≥ ;6⎩6x + 8 ≥ 0() ()6х – 1 + 1 + 2 + 2 6х − 1 = 6х + 8; 6х – 1 = 16; х = 17/6;Ответ: 17/6;в) (22х + 16)20 = (10 · 2х) 20; 22х – 10 ·2х + 16 = 0; 22х = 8, х = 3, 22х = 2, х = 1;Ответ: 1; 3;()32г) log 0,1x − 2 = (2log0,1 x + 1)3; ОДЗ: х > 0; log0,1 x – 2 log0,1 x – 3 = 0;log0,1 x = 3, x = 0,001; log0,1 x = – 1, x = 10;Ответ: 10; 0,001.π⎞π⎞π⎞π⎞⎛⎛⎛⎛1685.
а) sin ⎜ 3x + ⎟ ) = sin ⎜ x − ⎟ ; 2sin ⎜ x + ⎟ cos ⎜ 2x + ⎟ = 0;36412⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠5ππnπ+ πn; x =+;x=–24425ππnπОтвет: –+ πn;+;2442ππб) tg ( – x) = tg ( + 2x);86ππππsin(2x + )cos(x − ) + sin(x − ) cos(2x + )6886 = 0;ππcos(x − ) cos(2x + )86πππsin(3x +) = 0, cos(x − ) ≠ 0, cos(2x + ) ≠ 0;2486172ππn5π πkπ πm+, x≠+, x≠ +;7238264ππn+;Ответ: –723х π3хππ= 0;в) cos (x – ) = cos (2x + ); sin ( + ) sin442 422πnπx=, x = – + 2πn;322πnπ; – + 2πn;Ответ:32cos 3x sin 2x − sin 3x cos 2 xπnπn= 0; sin x = 0, x ≠,x≠;г) ctg 2x = ctg 3x;sin 2 x sin 3x23Ответ: нет решений.x=–21686.
а) 2 xОтвет: 0; 3.+32б) 275− х − 3хОтвет: ±2.− 8x +1 = 0; х2 + 3 = 3х + 3; х2 – 3х =0; х = 0, х = 3;2−1= 0 ; 15 – 3х2 = х2 – 1; 4х2 = 16; х = ± 2;x21687. а) 2log8 x − log8+ 2,5x2= (2 2 + 1) 2 − 9; 2log8 x − log8+ 2 ,5= 23 + 42 – 8;2log8 x − log8 х = 0; log8x = 0; x = 1;б) 3 cos x ⋅ 3 3 =271688. а) ( 3 )tg x =3 27б) ( 2 )2 cos x=331; cos x + 1,5 = 1; cosx = –(1/2); x = ±tgx2 ⋅ 2cos 2 x2π+ 2πn.31πtg x = 1,5 – tg x; tg x = 1; x =+ πn;2412π; cos x = – cosx – 1; cos x = – ; x = ±+ 2πn.23;9⎧7x + 9 > 01689.
а) log 2 (7x − 9) − log 2 (8 − x) = 1; ОДЗ: ⎨; − < x < 8;−>8x07⎩3316 2117х + 9 =– х; 23х = –11; х = –;332311Ответ: –231⎧3x − 1 > 0; х> ;б) log 1,2 (3x – 1) + log 1,2 (3x + 1) = log 1,2 8; ОДЗ: ⎨3⎩3x + 1 > 09x2 = 9; x = 1, х = –1; х = –1 — не входит в ОДЗЖОтвет: 1.1731690. а) x3 – 9x2 + 20 = 0; х(х2 – 9х + 20) = 0; x (x – 4) (x – 5) = 0;x = 0, x = 4, x = 5;б) х3 – 3х2 – 4х + 12 = 0; х (х2 – 4) – 3 (х2 – 4) = 0;(х – 2) (х + 2) (х – 3) = 0; х = ± 2,х = 3;в) х5 + 8х4 + 12х3 = 0; (х3 + 8х +12) =0; х3 (х + 6) (х + 2) = 0;х = 0, х = –2, х = – 6;г) х3 + х2 – 9х – 9 = 0; (х2– 9) (х + 1) = 0; (х + 1) (х – 3) (х + 3) = 0;х = ± 3, х = – 1.1691. а)х5 – 3х 3 – 8 х = 0; ОДЗ: х ≥ 0;х (х2 – 3х – 18) = 0;х (х – 6) (х + 3) = 0; х = 0, х = 6, х = –3;х = –3 — не входит в ОДЗ;Ответ: 0; 6;б)4х9 – 24х 5 – 154х= 0; ОДЗ: х ≥ 0;4х (х2 – 2х – 16) = 0;4х (х – 5) (х + 3); х = 0, х = 5, х = –3; х = –3 — не входит в ОДЗ;Ответ: 0; 5.1692.
а) 2х ⋅ х – 4х – 4 + 2х = 0; 2х (х + 1) – 4 (х + 1) = 0;(х + 1) (2х – 4) = 0; х = 2х = – 1;б) 3х ⋅ х – 3х+1 + 27 – 9х = 0; 3х (х – 3) – 9 (х – 3) = 0;(х – 3) (3х – 9) = 0; х = 2, х = 3;1693. а) 2х2 sin x – 8 sin x + 4 – x2 = 0; x2 (2 sin x – 1) – 4 (2 sin x – 1) = 0;π+ πk;(2 sin x – 1) ) (x – 2) (x + 2) = 0; x = 2, x = –2, x = ( – 1)k6222б) 2х cos x + 9 = 18 cos x + x ; x (2 cos x – 1) – 9 (2 cos x – 1) = 0;π(2 cos x – 1) (x – 3) (x + 3) = 0; x = ± 3, x = ± + 2πn.3π+ 2πn;3π+ πn;б) cos2 (π– x) + sin 2x = 0; cos x (cos x + 2 sin x) = 0; x =21+ πn;x = – arcctg2ππnв) 3 cos3x = sin 6x; cos 3x ( 3 – 2 sin 3x) = 0; x =+,63ππn+;x = ( – 1)k931хххх(sin– cos ) = 0;г) sin2 (π + ) – sin x = 0; sin222221694. а) sin 2x = sin x; sin x (2cos x – 1) = 0; x = πn, x = ±174xx ππ+ 2πn.2 sin sin( − ) = 0; x = 2πn; x =222 41695.
а) 8x6 + 7x3 – 1 = 0; пусть x3 = a, тогда получим: 8а2 + 7а – 1 = 0;11⇒ х = ; а = – 1 ⇒ х = –1;а=821Ответ: ; –1;2б) х8 + 3х4 – 4 = 0; пусть х4 = а ≥ 0, тогда получим: а2 + 3а – 4 = 0;а = 1 ⇒ х = ±1; а = 4 — не подходит;Ответ: ±1.1696. а) х 2 − 2 х + 1 − 6 х − 1 = 7; х − 1 = а ≥ 0; а2 – 6а – 7 = 0;а = 7 ⇒ х = 50; а = 1 — не подходит;Ответ: 50;б) х 2 − 4 х + 4 − 6 = 5 2 − х ; 2 − х = а ≥ 0; а2 – 5а – 6 = 0;а = 6 ⇒ х = – 34; а = –1 — не подходит;Ответ: –34.2х + 32х − 12х + 3+4= 4;= а ≥ 0; а + (4/а) = 4;2х − 12х + 32х − 1а2 – 4а + 4 = 0; a = 2; 2x + 3 = 8x – 4; 6x = 7; x = 7/6;1697.
а)5х − 1х+35х − 15+5= 6;= а ≥ 0; а += 6; а2 – 6а + 5 = 0;х+35х − 1х+3аа = 1 ⇒ х = 1; а = 5 ⇒ 5х – 1 = 25х + 75; 20х = –76; х = –3,8;Ответ: 1; –3,8.б)1698. а) 2х + 2х– 1= 3; 2х = а > 0; a +2= 3; a2 – 3a = 2 = 0;аa = 1 ⇒ x = 0; a = 2 ⇒ x = 1;Ответ: 0; 1;б) 25– х – 50 = 5– х+ 1; 5– х = а > 0; а2 – 5а – 50 = 0; a = 10 ⇒ x = –log5 10;а = –5 — не подходит;Ответ: –log5 10;в) 5 x + 4 = 5 2x + 1; 5 ⋅ 5 2x – 5 x – 4 = 0; a = 5 x >0; 5 a 2 – a – 4 = 0;4a = − < 0 — не подходит; a = 1 ⇒ x = 0;5Ответ: 0;г) 3 х + 1 – 29 = – 18 ⋅ 3 – х; 3 х = а > 0; 3 ⋅ a2 – 29a + 18 = 0;2⇒ x = log32 – 1; a = 9 ⇒ x = 2;a=3Ответ: 2; log32 – 1.1751699. а) 7 2x+1– 50 ⋅ 7 x = – 7; 7 x = a > 0; 7а2 – 50a + 7 = 0; a = 1/7 ⇒ x = – 1;a = 7 ⇒ x = 1;Ответ: ±1;б) log 22 x + 12 = 7 log2 x; log2 x = a; a2 – 7a + 12 = 0; a = 3 ⇒ x = 8;a = 4 ⇒ x = 16;Ответ: 8; 16;в) 4 sin2 x + 4 = 17 sin x; sin x = a,⏐a⏐ ≤ 1; 4a 2 – 17a + 4 = 0;a = 1/4 ⇒ x = (– 1)k arcsin (1/4) + πn.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
