mordkovitch-gdz-11-2001 (546281), страница 16
Текст из файла (страница 16)
а = 4 > 1 — не подходит;Ответ: (– 1)k arcsin (1/4) + πn;366г) х – х – 2 = 0; ха = –1 > 0 — не подходит;Ответ: 64.= а > 0; a 2 – a – 2 = 0; a = 2 ⇒ x = 64;1700. а) lg2 x2 + lg 10x – 6 = 0; ОДЗ: х > 0; a = lg x; 4a2 + a – 5 = 0;− (5 / 4)5⇒ x = 10; а = 1 ⇒ х = 10;a=–4− (5 / 4)Ответ: 10; 10б) 3х + 3– х + 1 = 4; 3х = а > 0; a2 – 4а + 3 = 0; а = 3 ⇒ х = 1; а = 1 ⇒ х = 0.Ответ: 0; 1;в) 2cos2 x – 7 cos x – 4 = 0; cos x = a, ⏐a⏐ ≤ 1; 2a2 – 7a – 4 = 0;2π1⇒x=±+ 2πn; а = 4 >1 — не подходит;a=–232πОтвет: ±+ 2πn;3г) 5 2 х + 125 = 6 ⋅ 5a = 25 ⇒ x = 4;Ответ: 1; 4.1701. а) х =1–3х +1;5хx ; х = 0; х = ± 1.= а > 0; a2 – 30a + 125 = 0; a = 5 ⇒ x = 1;б) x = 5 x; х = 1; х = 0 (см. рис.)Y1–YX|-2|0||2-1–1702. а) 2х = 6 – х; х = 2 (см.
рис.)176X|-2|0||2-1–б) (1/3)х = х + 4; х = –1 (см. рис.)6––4––2––|||6––4––2––X||0-3Y|||3||-3YX||0||31703. а) (х – 1)2 = log2x; х = 1; х = 2 (см. рис.)рис.).4––|0-2–Y3– Y––0-1–X||||–30–-2––Y|||1704. а) 1 − x = ln x; х = 1 (см. рис.)|б) log1/2x = (x + ½)2; х = ½ (см.б)x −2=||3|||-9||39; х = 9 (см. рис.).xX|X||8––––0–––-8–YX||||1705. а) log πx = sin x; 1 решение (см. рис.);1–ππ3π222π5π2б) х2 + 1 = cos x; 1 решение (см. рис.);1–-π−ππ22πв) log 3π x = cos x; 3 решения (см.
рис.);1π2π3π22π5π21x; х = 0 — решение, при х > 0 — 3 решения (см. рис.) и в силу9нечетности обеих частей уравнения при х < 0 также 3 решения; т.к. всего 7решений.г) sin x =177ππ23π22π 5π 3π21706. а) 2х = sin x, x ∈ [0; + ∞); при х = 0 2 = 1 ≠ 0 = sin0; при х > 0 2х > 1,sinx ≤ 1, значит, решений нет;хх4х⎛4⎞⎛4⎞б) ⎜ ⎟ = cos x x ∈ (–∞; 0]; при х = 0,= 1 = cos0; при x < 0 ⎜ ⎟ >1,55⎝5⎠⎝ ⎠cosx ≤ 1, т.е. имеется 1 решение — х = 0;в) 7 х = cos х, х ∈ [0; + ∞); рассуждения аналогичны предыдущему пункту;1 решение;г) log3 x = sin x, x ∈ (0; 3]; 1 решение (см.
рис.) (в ответе задачникаопечатка).1–π2π3π21707. а) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0; (х3 – х) – (5х2 – 5х) + (6х – 6) = 0;(х – 1)(х2 – 5х + 6) = 0; (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 0; х = 1, х = 2, х = 3;б) х3 + 7х2– 6 = 0; (х + 1) (х2 + 6х – 6) = 0; х = – 1, х = – 3 ± 15 ;в) х3 + 2х2 + 3х + 6 = 0; (х2 + 3) (х + 2) = 0; х = – 2;г) х3 + 4х2 – 24 = 0; (х – 2) (х2 + 6х + 12) = 0; (х – 2)((х + 3)2 + 3) = 0; х = 2.1708. а) (х – 4)4 + 36 = 13 (х2 – 2х + 1); (х – 4)4 – 13 (х – 1)2 + 36 = 0;1) (х – 1)2 = 4; х = 3, х = – 1; 2) (х – 1)2 = 9; х = 4, х = – 2;Ответ: 3; 4; –1; –2;б) (2х + 3)4 – 9 = 8 (4х2 +12х + 9); (2х + 3)4 – 8 (2х + 3)2 – 9 = 0;1) (2х + 3)2 = 9; х = 0, х = – 3; 2) (2х + 3)2 = – 1; нет решений;Ответ: 0; –3.1709. а) (х2 – 5х + 7)2 – (х – 2) (х – 3) = 1; х2 – 5х + 7 = а; а2 – а + 1 = 1;1) а = 0; х2 – 5х + 7 = 0; решений нет; 2) а = 1; х2 – 5х + 6 = 0; х = 2, х = 3;Ответ: 2; 3;б) ((х – 2) (х – 4))2 + 2 (х – 3)2 + 2 = 0; (х2 – 6х + 8)2 + 2(х2 – 6х + 9) + 2 = 0;х2 – 6х + 8 = а; а2 + 2 (а + 1) + 2 = 0; а2 + 2а + 4 = 0; решений нет.1710.
а) х (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 15; (х2 –3х) (х2 – 3х + 2)= 15; х2 – 3х + 1 = а;а2 = 16;3 ± 151) а = 4; х2 – 3х – 3 = 0; х =;222) а = –4; х – 3х + 5 = 0; решений нет.3 ± 15Ответ:;2б) (х – 1) (х + 1) х (х + 2) = 24; (х2 + х) (х + х – 2) = 24; х2 + х – 1 = а; а2 = 25;1) а = 5; х2 + х – 6 = 0; х = – 3, х = 2;1782) а = –5; х2 + х + 4 = 0; решений нет;Ответ: –3; 2.1711. а)3= 3 – х – х2; х2 + х + 1 = а;2х + х +11) а = 1; х2 + х = 0; х = 0, х = – 1;2) а = 3; х2 + х – 2 = 0; х = – 2, х = –1;Ответ: 0; ±1; –2;х2 − х3= – а + 4; а2 – 4а + 3 = 0;ах2 − х + 2aa+2= 1; х2 – х = а;−= 1;a +1 a − 2х − х +1х2 − х − 2а2 – 2а – а2 – 3а – 2 = а2 – а – 2; а2 + 4а = 0;1) а = 0; х2 – х = 0;х = 0, х = 1;2) а = –4; х2 – х + 4 = 0; решений нет;Ответ: 0; 1.б)1712.
а)б)–226х − 3 =2⎧⎪х ≥; х = 1;5х − 2 ; ⎨5⎪ 2⎩6х − 5х − 1 = 05⎧5⎪ х ∈ (−∞;0] ∪ [ ; +∞); х= .3х − 5х = х + 2х − 5 ; ⎨32⎪2x 2 − 7x + 5 = 0⎩21713. а)2⎧2х 2 − 11х + 6 = 4х 2 − 36х + 81⎪2х 2 − 11х + 6 = 2х – 9; ⎨;9⎪х ≥2⎩⎧2x 2 − 25x + 75 = 015⎪;; х = 5, х =⎨92x≥⎪2⎩⎧ 2⎧х ≥ 2б) х 2 + 2 х − 8 = 2х – 4; ⎨ 2; ⎨3x − 18x _ 24 = 0 ;2⎩ х + 2х − 8 = 4х − 16х + 16 ⎩ x ≥ 2х = 4, х = 2.1714. а) 16x – 15 х – 1 = 0;х = 1, x = 1;х = (1/16) — не имеет решений;Ответ: 1;б) 2 – х + 3 2 − х = 4;а = –4 — не подходит;Ответ: 1;в) 3х – 8х+ 5 = 0;2 − х = а ≥ 0; а2 + 3а – 4 = 0; а = 1 ⇒ х = 1;х = 1 ⇒ х = 1;х =525⇒х=;39179Ответ: 1;25;9г) 5 х + 3 + х + 3 = 6;а = –5 — не подходит;Ответ: –2.5х + 3 = а ≥ 0; а2 + 5а = 6; а = 1 ⇒ х = – 2;101715.
а) х – х – 2 = 0;а = –1 — не подходит;Ответ: 1024;10х= а ≥ 0; а2 – а – 2 = 0; а = 2 ⇒ х = 1024;488х= 1 ⇒ х = 1;366х= 4 ⇒ х = 4096;б) х + 2 х – 3 = 0;Ответ: 1;в) х – 6 х + 8 = 0;Ответ: 4096; 64;48г) 6 х – 2 хОтвет: 1.1716. а)– 4 = 0;х +1 +8х −1 == 1 ⇒ х = 1;х2х + 1 –9х + 1 + 286= 2 ⇒ х = 64;хх – (2/3) — решений нет;2 =2;х − 1 = 3 ; ОДЗ: х ≥ 1; 2х + 1 = х – 1 + 3 + 2 3х − 3 ;х – 1 = 2 3х − 3 ;Ответ: 1; 13.1717. а)х = –3 — нет решений;⎧x ≥ 12 ; ОДЗ: ⎨; х ≥ 1; 2х + 2 х 2 − 1 = 2;⎩ x ≥ −1x 2 − 1 = 1 − x; х ≤ 1 ⇒ х = 1; проверка:Ответ: 1;б)83х − 1 +х − 1 ( х − 1 – 2 3 ) = 0; х = 1, х = 13;6х + 2 =9 х + 1 ; ОДЗ: х ≥18х 2 − 2 = 9х + 1; 18х2 – 2 = 0; х =1;31;3х = –(1/3) — не входит в ОДЗ;Ответ: 1/3;6 х − 14 –б)5x – 9 – 25−х =⎧x ≥ 7 / 37⎪5х − 9 ; ОДЗ: ⎨ x ≤ 5 ; х ∈ [ ; 5];3⎪⎩ x ≥ 9 / 5− 6х 2 + 44 х − 70 = 5x – 9; x2 – 22x + 35 = 0; x = 5, x =7;3Ответ: 5; 7/3.1718.
а) x2 – 4x – 6 = 2х 2 − 8х + 12 ; x2 – 4x – 6 = a ≥ 0; a – 12 =⎧a − 26a + 144 = 0; a = 18; x2 – 4x – 12 = 0; x = 6, x = – 2;⎨≥a12⎩21802а ;Ответ: 6; –2;х 2 − 3х + 5 + х2 = 3х + 7; х2 – 3х + 5 = а ≥ 0;б)а = – а + 12;⎧a − 25a + 144 = 0; а = 9; х2 – 3х – 4 = 0; х = 4, х = – 1;⎨≤a12⎩Ответ: 4; –1;2х 2 − 3х + 3 +1719.
а)а +х 2 − 3х + 6 = 3; х2 – 3х + 3 = а ≥ 0;а + 3 = 3; ОДЗ: а ≥ 0; 2a + 3 + 2 a 2 + 3a = 9;2⎧ 2a 2 + 3a = 3 − a; ⎨a + 3a = a − 6a + 9 ; а = 1; х2 – 3х + 2 = 0; х = 2, х =1;⎩a ≤ 3Ответ: 2; 1;б)х 2 + х + 7 + х 2 + х + 2 = 3х 2 + 3х + 19 ; х2 + х + 2 = а ≥ 0;а +5 +2а =3а + 13 ; 2а + 5 + 2а 2 + 5а = 3а + 13;⎧ 2а 2 + 5а = а + 8; ⎨3a + 4a − 64 = 0 ;⎩a ≥ −81) а = 4; х2 + х – 2 = 0; х = – 2, х = 1;2) а = –(16/3); х2 + х + (22/3) = 0; решений нет;Ответ: –2; 1.1720.
а) sin2 x + cos2 2x = 1; 1 – cos 2x + 2cos2 2x = 2;2cos2 2x – cos 2x – 1 = 0;1) cos2x = 1; 2x = π + 2πn; x = π/2 + πn;2) cos2x = –(1/2); 2x = ±(2π)/3 + 2πn; x = ±π/3 + πn;Ответ: π/2 + πn; ±π/3 + πn (в ответе задачника оечатка);б) cos2 3x – sin2 3x – cos 4x = 0; cos 6x – cos 4x = 0; sin x sin 5x = 0;πnx=, x = πk; x = (πn)/5;5Ответ: (πn)/5.1721. а) cos 5x + cos 7x – cos 6x = 0; 2cos6xcosx – cos6x = 0;cos 6x (2 cos x + 1) = 0;π1) cosx = 1/2; x = ± + 2 πn;3ππn2) cos6x = 0; x =+;126Ответ: ±(π/3) + 2πn; (π/12) + (πn)/6;б) sin 9x – sin 5x + sin 4x = 0; 2 sin 2x (cos 7x + cos 2x) = 0;πnππ9х5х2πn2πn– cos= 0; x =;x=+,x=+;sin 2x cos2229955181Ответ:2πn π2πnπn π;+;+.299551722. а) cos 6x – cos 2x + cos 8x – cos 4x = 0; sin 2x (sin 4x + sin 6x) = 0;πnπnπsin 2х sin 5x cosx = 0; x =,x=, x = + πn;522πn πnОтвет:;;52б) sin 3x – sin x + cos 3x – cos x = 0; sin x (cos 2x – sin 2x) = 0;πnπsinxsin(2x – (π/4)) = 0; x = πn, x =+;82πnπ+.Ответ: πn;821723.
a) 3 tg2 x – 8 = 4 cos2 x; ОДЗ: cos x ≠ 0; 3 – 3 cos2 x – 8 cos2 x = 4 cos4x;4 cos4x + 11 cos2 x – 3 = 0;112ππ1) cos2 x = ; cos x = ± ; x = ±+ 2πn, x = ±+ 2πn; x = ±(π/3) + πn;42332) cos2x = –3; решений нет;Ответ: ±(π/3) + πn;б) 4sin2x = 4 – 9tg2x; 4sin 2 x = 4 − 9sin 2 x1 − sin 2 x; 4 sin4 x – 17 sin2 x + 4 = 0;πππ1; x = ( – 1)k+ πk; x = ( – 1)k+1+ πk; x = ± + πk;46662) sin2x = 4; решений нет;πОтвет: ± + πk.61) sin2 x =1724. a) sin3 x – sin2 x cos x + 3 cos3 x = 3 sin x cos2 x;sin2 x ( sin x – cos x) – 3 cos2 x (sin x – cos x) = 0;πsin (x – ) (sin2 x – 3 cos2 x) = 0;4ππ+ πn;1) sin(x − ) = 0; x =442) tg2x = 3; x = ±Ответ:182π+ πn;3ππ+ πn; ± + πn43б) sin3x + 5 sin2 x cos x = 6 cos3 x; cos x ≠ 0, т.к.
x =π+ πn не вляются2решениями;tg3 x + 5 tg2 x – 6 = 0; (tg x – 1) (tg2 x + 6 tg x + 6) = 0;π+ πn;1) tgx = 1; x =42) tg2x + 6tgx + 6 = 0; tgx = –3 ±Ответ:π+ πn; arctg (– 3 ±43 ; x = arctg (– 3 ±3 ) + πn;3 ) + πn.1725. а) sin x cos x – 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0; cos x – sin x = t;t21+ ; 1 – t2 + 12t + 12 = 0; t2 – 12t – 13 = 0;221) t = 13; cosx – sinx = 13; решений нет;sin x cos x = –πππ2)=; x = ( – 1)k+ + πk;4442ππ+ + πk;Ответ: ( – 1)k44б) 5 sin 2x – 11 sin x – 11 cos x + 7 = 0; sin x + cos x = t;sin2x = 2sinxcosx = t2 – 1; 5t2 – 11t + 2 = 0;2) t = – 1; sin (x –1ππ22; sin (x + ) =; x = – + ( – 1)k arcsin+ πk;5441010π2) t = 2; sin(x + ) = 2; решений нет;41) t =Ответ: –π2+ ( – 1)k arcsin+ πk.4101726.
а) 8(2хх– 1) ( 2–3⋅ 42 хх–3 2–2· 21) 2x= 1; x = 0;2) 2х–2⋅ 2ххх +1+ 8 = 0; 23х3 ⋅ 22х–6·2х+ 8 = 0;– 8) = 0;– 8 = 0; 2х= 4; x = 4;х2= –2 — не имеет решений;Ответ: 0; 4;б) 4 log5 x – 6 ⋅ 2 log5 x + 2 log5125 = 0; 2 2log5 x – 6 ⋅ 2 log5 x + 8 = 0;1) 2log5 x = 4; x = 25;2) 2log5 x = 2; x = 5;Ответ: 25; 5.1831727. а) 2x ⋅ 51+ хх= 50; 2x ⋅ 51х= 10;1+ x log52 = log510.хx2 log5 2 – x log5 10 + 1 = 0;D = log25 10 – 4 log5 2 = 1 + 2 log5 2 + log25 2 – 4 log5 2;1 + log5 2 + 1 − log52x== log2 5, x =2 log5 21 + log5 2 − 1 + log522 log5 2= 1;Ответ: 1; log25;3х3+ х log23 = 3 + log23; x2 log23 – (3 + log23)x + 3 = 0;х3 + log 2 3 ± (3 − log 2 3)6x=; x== 3log3 2, х = 1;2log 2 32log 2 3Ответ: 3 log32; 1; (в ответе задачника опечатка);б) 3х ⋅ 2= 24;в) 3 х – 1 ⋅ 625х −2х −1= 225; 3 х – 1 ⋅ 6251+ хх=9;251log3 625 = 2 – log3 25;1− х(x – 1)2 – (x – 1) (2 – 2 log3 5) – 4 log3 5 = 0;1) x – 1 = 2; x = 3;2) x – 1 = –2 log3 5; x = 1 – 2 log3 5;Ответ: 3; 1 – 2 log3 5;х–1+2+ хх2х2log5 2 = 1 + log5 4;х2x – x (1 + 2 log5 2) + 2 log5 2 = 0; x = 1, x = 2log5 2;Ответ: 1; 2log5 2.хг) 5 ⋅ 2х= 40; 5 ⋅ 2= 20; х +4⎧5 − 4 > 0= log0,2 x; ОДЗ: ⎨; х> ;5⎩x > 0x2 – 5x + 4 = 0; x = 4, x = 1;1728.
а) log0,2б) log 75х − 43х 2 − 7 х − 92 x2 – 11х + 5 = 0; х =в) log3 (х – 1) = log3= log7 (x + 2); ОДЗ: х > – 2; 3х2 – 7х + 9 = x2 + 4х + 4;1, х = 5;26 х − 11 ; ОДЗ: х > 1; x2 – 8х + 12 = 0; х = 6, х = 2;г) log0,4 х = log0,4 х х 2 + х ; ОДЗ: х > 0; x2 = x2 + х;х = 0 — не входит в ОДЗ;Ответ: нет решений.1729. а) log20,5 х + 12 = 7 log 2 х; log22 х - 7 log 2 х + 12 = 0;1) log 2 х = 3; х = 8; 2) log 2 х = 4; х = 16;Ответ: 8; 16;184б) log20,5 х + log1x + 8 =0; log20,5 х + log 1 x + 8 = 0;221) log20,5 х = 4; х =.11; 2) log20,5 х = 2; х = ;1641 1; ;16 4в) 9 log2 8 х = 11 log 2 х + 12; log2 2 х – 11 log 2 х – 12 = 0;11) log 2 х = 12; х = 4096; 2) log 2 х = –1; х = ;21(в ответе задачника опечатка);Ответ: 4096;2⎪⎧log x + 11 = log 22 x − 2log 2 x + 1г) log 2 x + 11 = 3log8 x − 1; ⎨ 2;⎪⎩3log8 x ≥ 1Ответ:⎧ ⎡log x = 5⎧log 22 x − 3log 2 x − 10 = 0 ⎪ ⎢ 21;⎨ ⎣log 2 x = −2 ; x = 32, x = ;⎨4x2≥⎩⎪x ≥ 2⎩Ответ: 32; 1/4.1730.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
