mordkovitch-gdz-11-2001 (546281), страница 17
Текст из файла (страница 17)
а) log х + 1 (x2 – 3x + 1) = 1; x2 – 3x + 1 = x + 1; x2 – 4x = 0; x = 0, х = 4;подстановкой убеждаемся, что х = 0 — не подходит, х = 4 — подходит;Ответ: 4;б) log х (2x2 – 3x – 4) = 1; 2 x2 – 3х – 4 = x2;х = 4 — подходит; х = – 1не подходит;Ответ: 4.⎧⎪0, 2 х > 7;1731. а) ln (0,2x – 7) = ln (9 – 3 ⋅ 0,2x); ОДЗ: ⎨ x⎪⎩0, 2 < 3нет решений;⎧x > 0б) 9 log 3 x – 12 · 3 log 3 x + 3 log 3 27 = 0; ⎨ 2;⎩ x − 12x + 27 = 0х = 3, х = 9;1в) е lg( x − 2) ⋅= (е–1) lg( x +1) ; lg (x – 2) – 1= – lg (x + 1);е⎧lg(x 2 − x − 2) = 1⎧⎡ x = 4⎧ 2⎪⎪; ⎨ x − x − 12 = 0 ; ⎨ ⎣⎢ x = −3; x = 4;⎨x ≥ 2≥x2⎩⎪x ≥ 2⎪ x ≥ −1⎩⎩г) log5 (2 + 3 · 5 – x) = x + 1; 2 + 3 · 5 – x = 5 · 5 x; 5 · 51) 5 x = 1; x = 0;2) 5х = –(3/5); нет решений;Ответ: 0.2x–2·5x– 3 = 0;185251732.
а) 10 ln (3x − e) −5ln(2x + e) = (0,1) (0,1)ln(2x + e) −1 ;1 – 5 ln (2x + e) = ln2 (3x – e) – 5 ln (2x + e); ln2(3x – e) = 1;2е⎡⎢x = 3⎡3х − е = е; ⎢; проверкой убеждаемся, что⎢е2 + 1⎣3х − е = 1/ e ⎢=х⎢⎣3еподходят;обакорня2е е 2 + 1;;3е3x3x+1– 1 ) – lg (3x – 2 · 9x) = 0; 32x + 3 · 3x – 1 = 3x – 2 · 32x;б) lg (9 + 32xx3 · 3 + 2 · 3 – 1 = 0;11) 3x = ; x = – 1 — подходит; 2) 3х = –1; нет решений;3Ответ: –1.Ответ:1733. а) log 10 (lg (x+1) – 1) – 1 = log 0,7 (3 lg (x + 1) – 1) – log 0,7 (lg (x + 1) + 3);7lg (x + 1) + 2 lg (x + 1) – 3 = 3 lg (x + 1) – 1; lg2 (x + 1) – log (x + 1) – 2 = 0;1) log (x + 1) = 2; x =99 — подходит; 2) log (x + 1) = – 1 — нет решений;Ответ: 99;б) log3(3х – 2 3х − 1 ) = 2 log3 (2 3х − 1 + 1); 3x – 1 = 4 3х − 1 ;3х − 1 ( 3х − 1 –4) = 0;3х − 1 = 0; x =1)2)3х − 1 = 4; x =Ответ:1— подходит;317— подходит;31 17;.3 31734. а) 2 lg2x – 5⏐lg x⏐ = 0; 1) ⏐lg x⏐ = 0; x = 1; 2) ⏐lg x⏐ = 5; x = 10 ±5;Ответ: 1; 10±5;⎛3 ⎞⎟3 ln 2 xб) ln2 x –= 0; ln2 x ⎜1 −= 0; ⏐ln x⏐ = 3; x = e ±3;⎜lnx ⎟⎠ln x⎝Ответ: e ±3.1735.
а) log2 0,5 х – 3 ⏐log 0,5 x⏐ + log 0,5 x = 0;2x − 2log 0,5 x = 0;1) x ∈ (0;1], т.е. |log2 0,5 х| = log 0,5 x; log 0,5⎡ log 0,5 x = 0 ⎡ x = 1⎢ log x = 2 ; ⎢ x = 1/ 4 ;⎣⎣ 0,51862x + 4log 0,5 x = 0;2) x ≥ 1, т.е. |log0,5х| = –log 0,5 x; log 0,52⎡ log 0,5x=0⎡x = 1⎢; ⎢;2⎢⎣ log 0,5x = −4 ⎣ x = 16Ответ: х = 1; х = 16; х =б) lg2 x – 9|lg x| - lg x =0;1;4⎡x = 1⎡ lg x = 01) x∈(0;1], т.е. |lgx| = –lgx; lg2x + 8lgx = 0; ⎢; ⎢−8 ;⎣ lg x = −8 ⎣ x = 10⎡x = 1⎡ lg x = 02) x ≥ 1, т.е.|lgx| = lgx; lg2x – 10 lg x = 0; ⎢; ⎢10 ;=lgx10⎣⎣ x = 10Ответ: x = 10-8;x = 1;x = 1010.1736.
а) log 1 (2sinx – 1) = log 1 (2 – sin2x); sin2x + 2 sinx – 3 = 0;66π⎡sin x = −3⎢sin x = 1 ; x = 2 + 2πn;⎣б) log5 (2 cos2 x – 1) = log5 (– 11 cos x + 5); 2 cos2 x + 11 cos x – 6 = 0;⎡ cos x = 1/ 2⎢ cos x = −6 ; т.к. –(11/2) + 5 < 0 и |cos x| ≤ 1, то решений нет.⎣1737. а) log2 sin x = log2 – (cos x);⎧sin x + cos x = 0 ⎧sin ( x + π / 4 ) = 0⎪⎪; ⎨sin x > 0;⎨sin x > 0⎪⎩cos x < 0⎪cos x < 0⎩⎧ x = −(π / 4) + πn⎪;⎨sin x > 0⎪⎩cos x < 03π+ 2πn;4б) log3 cos x = log3 – sin x.⎧cos x + sin x = 0 ⎧ x = −(π / 4) + πnπ⎪⎪; ⎨sin x > 0; x = – + 2πn.⎨sin x < 04⎪⎩cos x > 0⎪⎩cos x < 0x=1738.
а)хsin x log2 x = 0;⎧ ⎡sin x = 0⎧ ⎡ x = πn⎪⎢⎪⎢ x = 0⎪⎪ ⎢ x = 0⎨ log x = 0 ; ⎨ ⎢ x = 1 ;⎪ ⎢⎣ 2⎪ ⎢⎣⎪⎩ x > 0⎪⎩ x > 0Ответ: πn, n > 0; 1.б)3х + 1 cos 2x lg x = 0;187⎧ ⎡ 3x + 1 = 0⎪⎢⎪ ⎢cos 2x = 0;⎨ lg x = 0⎪ ⎢⎣⎪⎩3x + 1 ≥ 0, x > 0⎧ ⎡ x = −(1/ 3)⎪⎢π πn⎪⎢ x = +4 2 ;⎨⎢⎪ ⎢⎣ x = 1⎪⎩x > 0π πn, n ≥ 0, 1.+4 2Ответ:1739. а) 2 5х – 1 (sin x –⎡3⎢sin x =;2⎢⎢⎣ log 0,5 (x + 4) = 0Ответ: (−1)n3) log 0,5 (x + 4) = 0;2⎧⎡n π⎪⎪ ⎢ x = ( −1) 3 + πn;⎨ ⎢ x = −3⎪⎣⎪⎩ x > −4π+ πn , n ≥ 0, –3.3б) (sin 2x + cos 2x) (x – 8 2 х − 15 ) = 0; ОДЗ: x > 7,5;1) sin2x + cos2x = 0; sin (2x + (π/4)) = 0;πnπ+; n ≥ 6 (т.к. х должен входить в ОДЗ);x=–822) x = 8 2x − 15; x2 – 128x + 960 = 0; x = 8, x = 120;πnπОтвет: 8; 120;+, n ≥ 6.82⎛1⎞1740. а) 1+ x2 = ⎜ ⎟⎝2⎠х; очевидно, х = 0 — корень;х⎛1⎞т.к. 1+ x2 > 0, ⎜ ⎟ < 1 при всех х ≠ 0, то других корней, кроме х = 0, нет;⎝2⎠Ответ: 0.б) 3 – х2 = 2⏐х⏐; пусть х ≥ 0; т.к.
парабола убывает на этом промежутке,а 2⏐х⏐ возрастает, то пересечение может быть только одно — в силучетности функций у = 3 – х2 и у = 2|x| х = –1 — также корень и другихкорней, кроме х = ±1, не будет;Ответ: 1.1741. а) 2 – х –55х = 0;52 – х = х ; у = 2 – х – убывает, а у = х — возрастает, значит, графикиэтих функций имеют только одну общую точку –х = 1;Ответ: 1;188б) log5 x + (x – 5)3 = 1;ОДЗ: x > 0, при x > 0, у = log5 x возрастает и у = (x – 5)3 – возрастает ⇒ у == log5x + (x – 5)3 — возрастает; значит график этой функции может иметьтолько одно пересечение с прямой у = 1; легко видеть, что пересечениебудет при х = 5;Ответ: 5.5πx = x2 – 4x + 5; функция y = x2 – 4x + 5 = (х – 2)2 + 145πпринимает минимальное значение 1 при х = 2; функция y = sin x42 8nпринимает значение 1 при x = +⇒ x = 2 — единственный корень (т.к.5 55πх2 – 4х + 5 > 1 при х ≠ 1, а sin x ≤ 1);4Ответ: 2;б) – cos 7πx = x2 – 6x + 10; рассуждая аналогично предыдущему пунктуполучим: х = 3;Ответ: 3.1742.
а) sin1743. а)х 2 − 2 х + 2 + log3х 2 − 2 х + 10 = 2;функция y =х 2 − 2х + 2 принимает минимальное значние у = 1 при х = 1;функция log3Ответ: 1;х 2 − 2 х + 10 принимает минимальное значение у=1 при х=1;б) (х – 7)6 + log5 х 2 − 14 х + 74 = 1;рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим: х = 7;Ответ: 7.πх5πх– cos; функция y = log2 (x2 – 4x + 8)24принимает минимальное значние у=2 при х=2 при х ≠ 2, у > 2;πх5πхфункция у= sin– cosпринимеет максимальное значение у = 2 при24х = 2; при х ≠ 2, у ≤ 2;Ответ: 2.πхб) log3 (x2 + 4x + 13) = cos πх – sinрассуждая аналогично предыдущему4пункту, получим: х = –2;Ответ: –2.1744.
а) log2 (x2 – 4x + 8) = sin§ 57. Решение неравенств с одной переменной1891745. а) х2 – 9 = 0; 1) ⏐х⏐ ≤ 3; 2) х4 ≤ 81; 3) х6 ≤ 729;11б)< ; 1) x > 3; 2) x3 > 273; x5 > 243.х31746. а) log0,2 x < 0; 1) log5 x > 0; 2) log0,2 x < 1; 3) x > 1;б) 10 х – 3 < 1; 1)10 х<1; 2) 10x < 1000; 3) x < 3.10001747. а) sin x + 2 log3 x > 20 и sinх > 20 – log3 x; являются равносильными,т.к. перенос из одной части уравнения в другую не нарушаетравносильности;sin x≥1 и sin х≥ х 2 + 1 являются равносильными, т.к. х 2 + 1 >0,б)x2 + 1поэтому домножив на него, мы не нарушим равносильности;22в) 13 – 13 х − 4 ≥ 10х и 13 ≥10х + 13 х − 4 ; являются равносильными, т.к.перенос не нарушает равносильности;г) 10 4х – 1⋅lg (x2–4)>0 и lg (x2–4)<0; являются равносильными, т.к.
10 4х – 1 >0, поэтому разделив на него, мы не нарушим равносильности.1748. а) lg (x2+9) > lg (2x2+4) ⇔ x2 + 9 > 2x2 + 4 (т.к. х2 + 9 > 0 и 2x2 + 4 > 0);б) 1,4 7х – 9 ≤ 1,4 х52−6⇔ 7х – 9 ≤ х2 – 6;5в) 4х − 9 ≥ 7 х + 9 ⇔ 4х – 9 ≥ 7х + 9;г) log0,2 (16x2 + 8) < log0,2 (x2 + 1), 16x2 + 8 > x2 + 1.⎧ x > 24⎪45 ; нет решений;⎨⎪⎩ x < 4⎧ x > 24⎪45 ; x ∈ [8; 11 ].⎨⎪⎩ x < 4⎧3х − 11 > 2x + 13;1749.
а) ⎨⎩17х + 9 < 9x + 99⎧3х − 11 ≤ 2x + 13;б) ⎨⎩17 + 9 ≥ 9x + 99⎧⎪( х + 1)2 − ( х − 1)2 ≥ 12;1750. a) ⎨2⎪⎩( х + 4 )( х − 4 ) − ( х + 2 ) < 9()⎧x ≥ 3⎪9 ; x ∈ [3; +∞);⎨⎪x > − 4⎩⎧⎪( х − 2 ) х 2 + 2x + 4 − x 3 < 8x ⎧ x 3 − 8 − x 3 < 8x ⎧x > −1; ⎨; х∈ (– 1; 8].; ⎨б) ⎨⎩x ≤ 8⎩2x ≤ 16⎪⎩3x − 16 ≤ x⎧7 + 3х < 5x + 3⎪1751. а) ⎨7x − 15 < 4x − 3 ;⎪⎩11x − 32 > 13x − 42190⎧x > 2⎪⎨ x < 4; х ∈ (2; 4);⎪⎩ x < 5⎧29 + 25х > 2(13x + 9)⎪б) ⎨2x > 5;⎪⎩3(5x + 3) < 4(4x + 3)⎧ x < 11⎪⎨ x > 2,5 ; x ∈ (2,5; 11).⎪⎩ x < 3/ 7⎧ 3х + 5 10 − 3х 2x + 7 168+>−⎪⎪5321 ;1752.
а) ⎨ 77x11(x+1)3x−113−x⎪ −>−⎪⎩ 3632⎧45x + 75 + 210 − 63x − 70x − 245 > −840 ⎧88х < 880 ⎧ x < 10; ⎨; ⎨;⎨14x − 11x + 11 > 6x − 2 − 39 + 3x⎩⎩6x < 52⎩ x < 26 / 3х ∈ (–∞; 26/3) (в ответе задачника опечатка);⎧ 2х − 11 19 − 2х+< 2x ⎧2x − 4х − 8x < 38 + 11⎪⎪⎧10 х > 272; ⎨; ⎨; x∈(2; 7; 6).б) ⎨ 412x151x+⎩10x + 75 > 9x − 9 + 15x ⎩14 x < 84⎪> (x − 1) +⎪⎩ 953⎧⎪ х 3 < 31753. а) ⎨ 2;⎪⎩3x − x > 5 − 15x⎧⎪ x(x 2 − 1) < 0;⎨ 2⎪⎩3x + 14x − 5 > 0⎧ ⎡ x < −1⎪⎪ ⎣⎢ 0 < x < 1; x ∈ (−∞; − 5) ∪ (1/ 3; 1);⎨⎪ ⎡ x < −5⎢⎩⎪ ⎣ x > 1/ 3⎧х + 5<1⎪⎪б) ⎨ х − 7;⎪ 3x + 4 > −1⎪⎩ 4x − 2⎧ 12⎪⎪ x − 7 < 0;⎨⎪ 7x + 2 > 0⎪⎩ 4x − 2⎧х < 7⎪⎨ ⎡ x < −(2 / 7) ; x ∈ (−∞; − (2 / 7)) ∪ (1/ 2; 7).⎪ ⎢⎣ x > 1/ 2⎩⎧ x 2 + 2x − 24 < 024⎧ x−<0 ⎪⎪; ⎨ x ≠ −2;1754. а) ⎨ x + 2 (x + 2)2⎪−3x < 9⎪ x > −3⎩⎩х ∈ (–3; –2) ∪ (–2; 4);⎧−6 < x < 4⎪;⎨ x > −3⎪⎩ x ≠ −2⎧ x 2 − 1,5x − 7> 0 ⎧2x 2 − 3x − 14 > 0 ⎧ х < −2⎪; ⎨; ⎨б) ⎨ (x − 4) 2;⎩−5 < x < 5⎩−5 < x < 5⎪ 2⎩ x < 25x ∈ (–5; –2) ∪ (7; 4) ∪ (4; 5).2191⎡х 2 − 4 > 01755.
a) ⎢;⎣⎢ x − 6 < 03⎡б) ⎢( х − 3) > 27 ;⎢⎣ 4x − 1 < 12х⎡ х ( х + 1) ≤ 0в) ⎢;⎣3x − 9 > 0⎡x > 2⎢ x < −2; x ∈ (−∞; + ∞);⎢⎢⎣ x < 6⎡х ≥ 011⎢1 ; x ∈ ( − ; +∞); х > – .⎢х > −888⎣⎡ −1 ≤ x ≤ 0; х ∈ [– 1; 0] ∪ (3; + ∞);⎢x > 3⎣⎡(x + 3)(x 2 − 3x + 9) < 54 ⎡ x 3 + 27 < 54; ⎢ 2;г) ⎢ 2⎢⎣ x > 9⎣⎢ x − 9 > 0⎡ 2х − 3>0⎢;1756. а) ⎢ х + 3⎢ 5x + 1 < 0⎢⎣ 4x − 25⎡ 2х⎢х + 3 < xб) ⎢;⎢ 3 <2⎢⎣ x − 2 x⎡x < 3⎢ x < −3; x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞).⎢⎢⎣ x > 3⎡ х<-3⎢311 13; х ∈ (– ∞; ) ∪ (– ; ) ∪ ( ; + ∞);⎢x >235 22⎢⎢⎣ −1/ 5 < x < 1/ 5⎡ 3x + 15⎢ x(x + 3) > 0⎢;⎢ x+4 <0⎢ x(x − 2)⎣⎡ −5 < x < −3⎢x > 0; х ∈ (– ∞;– 3) ∪ (0; + ∞);⎢⎢ x < −4⎢⎣0 < x < 2⎡ x < −3⎡(х + 3)(х − 1) > 0 ⎢ x > 1в) ⎢; ⎢; х ∈ (– ∞; 2 ) ∪ (1; + ∞);2⎢x ≥ 2⎣2 − х ≤ 0⎢x ≤ − 2⎣⎡ х 2 < 25⎡ −5 < x < 5г) ⎢ x − 1; ⎢; х ∈ (– 5; 5).⎢< 0 ⎣ −3 < x < 1⎢⎣ x + 3⎧ x ≥ −41757.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
