mordkovitch-gdz-11-2001 (546281), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

а) ⎨ y + 5x + 3y ;⎪⎩xy + 2 x = 13 − 4 yx + 3yx + 3y+2−3 = 0 ;y+5y+5x + 3yx + 3yx + 3y=1 (= –3 не подходит, т.к.≥ 0);y+5y+5y+5225⎧⎪x = 5 − 2 yx + 3y = y + 5 ; ⎨;⎪⎩5 y − 2 y 2 + 10 − 4 y = 13 − 4 y⎧y = 12 y 2 − 5y + 3 = 0 ; ⎨,⎩x = 3⎧ y = 3/ 2;⎨⎩x = 2Ответ: (3; 1), (2; 3/2).⎧ x 2 + 4x − y 2 − 3y = 0⎪x+yx+yб) ⎨ x + y;−4+3 = 0;x−yx−yx−y+3=4⎪x+y⎩ x−yx+y= 1; x + y = x − y ; y = 0 ; x2 + 4x = 0; x = 0 — не подходит;1)x−yx = −4 ;x+y= 3; x + y = 9x − 9y ;x−y2)5y⎧⎪⎪x = 4; 9 y 2 + 32 y = 0 ;⎨225y2⎪+ 5 y − y − 3y = 0⎩⎪ 1632⎧⎪⎪ y = − 9;⎨⎪x = − 40⎪⎩9⎛ 40 32 ⎞Ответ: (–4; 0), ⎜ − ; − ⎟ .9 ⎠⎝ 9⎧ xy3+=⎪⎪x3xx2 ; −1837. а) ⎨ y⋅+1 = 0 ;yy2⎪⎪⎩ x + y = 2 + 11y⋅ y ;+ y = 2 + 1;1) x =22⎧y = 2y= 2; ⎨;⎩x = 1y+ y = 2 +1 ;22Ответ: (1; 2), (2; 1).2)226x=2 y; 2⎧y = 1y =1 ; ⎨;⎩x = 2⎧ yx⎪⎪ x − 2 y = 1;б) ⎨⎪⎪⎩ 5x + y + 5x − y = 41)yy−−2 =0;xxy = 2 x , y = 4x ;⎧x = 1;9x + x = 4 ; ⎨⎩y = 42) y = − x; x = y = 0 — не подходит;Ответ: (1; 4).⎧⎪ x+ y+1838.

а) ⎨⎪x + 2 y = 9⎩⎧⎪ x + y = 3;⎪⎩x + 2 y = 91) ⎨1x+ y=103 ;⎧2 10⎪( x + y) − ( x + y) + 1 = 0;3⎨⎪⎩ x + 2y = 9⎧⎪x = 9 − 2 y; 36 y − 8 y 2 = y 2 ;⎨2⎪⎩9 − 2 y + y + 2 9 y − 2 y = 9⎧y = 4 ⎧y = 0y( 4 − y ) = 0 ; ⎨; ⎨;⎩x = 1 ⎩x = 91 ⎧ x = 9 − 2y⎧⎪⎪ x+ y=;2) ⎨3; ⎨2⎪⎩ x + 2y = 9⎪⎩9(9 − 2y + y + 2 9y − 2y ) = 118 9y − 2y 2 = 9y − 80; 324 (9y – 2y2) = 81y2 – 1440y + 6400;720y2 – 4356y + 6400 = 0; решений нет;Ответ: (1; 4), (0; 0).⎧3x − y = 365⎪165 ; ( x + 2 y) 2 − ( x + 2 y) + 1 = 0 ;б) ⎨x +2 y +=8⎪8x +2 y⎩⎧⎪ x + 2 y = 8; 12 x − 12 = 64 + x − 16 x ;⎪⎩ y = 3x − 31) ⎨76 − 11x = 16 x ;76⎧⎧x = 41444⎪x ≤11; x=— не подходит;; ⎨⎨121⎪121x 2 + 5776 − 1928x = 0 ⎩ y = 9⎩1⎧⎪ x +2 y =1x2) ⎨;8 ; 12x − 12 = + x −644⎪⎩ y = 3x − 322716 x = 769 − 704x; решений нет;Ответ: (4; 9).1839.⎧⎪2 3y + x − 6 y − x = xа) ⎨⎪⎩ 3y + x + 6 y − x = 3y;3 3 y + x = 3y + x ;3y + x ⋅ ( 3y + x − 3 ) = 0 ;x = −3 y , 3 y + x = 3 ;3 6y − x = 6y − x ;6y − x ⋅ ( 6y − x − 3 ) = 0 ;6y = x ;6y − x = 3 ;⎧ x = −3 y ⎧ x = 0; ⎨;⎩6 y = −3y ⎩ y = 01) ⎨⎧⎪x = −3y ⎧x = −3; ⎨;⎪⎩ 9 y = 3 ⎩ y = 12) ⎨⎧ x = 9 − 3y;⎩6 y = 9 − 3y3) ⎨⎧x = 6;⎨⎩y = 1⎧⎪x = 9 − 3y⎧x = 3; y −1 = 1 ; ⎨;⎪⎩ 6 y − 9 + 3y = 2⎩y = 24) ⎨Ответ: (0;0), (-3;1), (6;1), (3;2).⎧⎪ 2 x − 3y + 4 x + 3y = 2 xб) ⎨⎪⎩2 2 x − 3y = 4 x + 3y − 3y;3 2 x − 3y = 2 x − 3y ;2 x − 3y ⋅ ( 2 x − 3y − 3 ) = 0 ;2 x = 3y , 2 x = 9 + 3y ;3 4 x + 3 y = 4 x + 3y ;4x + 3y ⋅ ( 4 x + 3y − 3 ) = 0 ; 4x = −3y; 4 x = 9 − 3y ;228⎧2 x = 3y;⎩6 y = −3y⎧x = 0;⎨⎩y = 03⎧⎧2 x = 3y⎪x =; ⎨2) ⎨2;⎩6 y = 9 − 3y ⎪ y = 1⎩1) ⎨⎧2 x = 9 + 3y;⎩18 + 6 y = −3y3) ⎨3⎧⎪x =2 ;⎨⎪ y = −2⎩⎧2 x = 9 + 3y;⎩18 + 6 y = 9 − 3y4) ⎨⎧x = 3;⎨⎩ y = −1Ответ : (0;0), ( 3/ 2;1) , ( 3/ 2; −2 ) , (3; −1).1840.⎧⎪26x − 2y = 4 x + y +10;а) ⎨ 2x11+ y⎩⎪3 = 3⎧⎪ y = x 2 − 11;⎨⎪⎩6 x − 2x 2 + 22 = 2( x + x 2 − 11 + 10 )4 x 2 − 4 x − 24 = 0 ;x2 − x − 6 = 0 ;⎧ x = 3 ⎧ x = −2; ⎨;⎨⎩ y = −2 ⎩ y = −7Ответ: (3; –2), (–2; –7).⎧ 343x y⎪ x − y = 49⎪ 7б) ⎨;x y⎪ 5⎪ 25x − y = 1⎩⎧x⎪ y − 2x + 2y = 2⎪;⎨⎪3 x − x + y = 0⎪⎩ y⎧5x − 5 y = 2⎪;⎨ x⎪15 y = 12⎩⎧ y = −25x = 4 y ; ⎨;⎩x = −1,6Ответ: (–1,6; –2).2291841.⎧53 х = 53− 3 y⎪а) ⎨1 ;x y⎪(0, 25 ) = 16⎩2⎧⎪3 x = 3 − 3 y;⎨⎪⎩2 xy = 168⎧⎪x = y⎪;⎨ 2⎪−3+3 y = 0⎪⎩ 3 y31)y 2 − 33 y + 2 = 0 ;3⎧y = 8y =2 ; ⎨; 2)⎩x = 13⎧y = 1y =1; ⎨;⎩x = 8Ответ: (8; 1), (1; 8).⎧323 x − 2 y ⋅ 83 x + y = 213⎪⎪;б) ⎨ 3 x − 2 y8⎪ 3=4⎪⎩16 x + y⎧⎪53 x − 2 y + 33 x + y = 13;⎨⎪⎩33 x − 2 y − 43 x + y = 2⎧⎪53 x − 2 y + 33 x + y = 13;⎨⎪⎩83 x − 2 y − 3 x + y = 15293 x − 2 y = 58 ; x − 2 y = 8 ;⎧⎪x = 8 + 2 y; 8 + 3y = 1 ;⎨3⎪⎩ x + y = 17⎧⎪⎪ y = − 3;⎨⎪ x = 10⎪⎩37⎞⎛ 10Ответ: ⎜ ; − ⎟ .3⎠⎝ 31842.⎧⎪2 x ⋅ 0 ,25− y = 512 ⎧⎪x + 2 y = 9; ⎨;⎪⎩ x + 2 y = 5⎪⎩ x + 2 y = 5а) ⎨8 + 3y = 10 y ;230⎧⎪x = 25 + 4 y − 20 y;⎨⎪⎩25 + 6 y − 20 y = 916⎧⎪⎪ y = 9 ⎧ y = 4;; ⎨⎨⎪ x = 49 ⎩x = 1⎪⎩98⎧⎪y ≥ −3;⎨⎪9y 2 − 52y + 64 = 0⎩⎛ 49 16 ⎞Ответ: ⎜ ;⎟.⎝ 9 9⎠⎧⎪9 x ⋅ 3y −3 = 729 ⎧⎪2 x + y − 3 = 6; ⎨;⎪⎩ x = 1 + y⎪⎩ x − y = 1б) ⎨⎧⎪x = y + 1 + 2 y;⎨⎪⎩2 y + 2 + 4 y + y = 94 y = 7 − 3y ;7⎧⎧y = 1⎪y ≤3; ⎨;⎨⎪9y 2 − 58y + 49 = 0 ⎩x = 4⎩49y=— не подходит;9Ответ: (4; 1).1843.⎧⎪62 x + 6 x y = 12а) ⎨⎪⎩ y 2 + y ⋅ 6 x = −8;(6 x + y) 2 = 4 ; y = ±2 − 6x ;⎧⎪ y = 2 − 6x1) ⎨⎪⎩62xx+ 2⋅6 − 62x⎧x = 1;= 12 ⎩ y = −4; ⎨x⎪⎧ y = −2 − 62) ⎨; решений нет;2xx2x⎪⎩6 − 2 ⋅ 6 − 6 = 12Ответ: (1; –4).⎧⎪7 2 y − 7 y ⋅ x = 28б) ⎨⎪⎩x 2 − x ⋅ 7 y = −12;(7 y − x)2 = 16 ; x = 7 y ± 4 ;⎧⎪ x = 7 y + 4; решений нет;1) ⎨2y2yy⎪⎩7 − 7 − 4 ⋅ 7 = 28⎧⎪ x = 7 y − 4⎧y = 1;; ⎨2) ⎨2y2y⎪⎩7 − 7 + 4 ⋅ 7 = 27 ⎩x = 3Ответ: (1; 3).2311844.⎧⎪log (x 2 + y 2 ) = 0,5log π π2;а) ⎨ 13⎪⎩log 3 x − 1 = log3 2 − log3 y⎧⎪x 2 + y 2 = 13;⎨⎪⎩xy = 6x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2 = 25; x + y = ±5 ;⎧⎪x = 5 − y;⎪⎩5 y − y 2 = 61) ⎨⎧y = 2y2 − 5y + 6 = 0 ; ⎨;⎩x = 3⎧y = 3;⎨⎩x = 2⎧⎪x = −5 − y;⎪⎩ y 2 + 5 y = 62) ⎨y = −2 , y = –3 — не подходят, т.к.

y > 0;Ответ: (2; 3), (3; 2).⎧log 7 (x + y) = 4log 7 (x − y)б) ⎨;⎩log 7 (x + y) = 5log 7 3 − log 7 (x − y)⎧x + y = ( x − y )4⎪;⎨243⎪x + y = x − y⎩⎧a = b 4⎪x + y = a, x − y = b; ⎨243 ;⎪a =b⎩b4 −243= 0 ; b5 = 243 ;b⎧b = 3;⎨⎩a = 81⎧x + y = 81 ⎧x = 42; ⎨;⎨⎩x − y = 3 ⎩ y = 39Ответ: (42; 39).5⎧⎪log x y + log y x =2;1845. а) ⎨⎪4 x − 3 y = 1⎩5log 2x y − log x y + 1 = 0; logxy=2, logxy = 1/2;2232y = x2 , y = x ;⎧⎪− 3x + 4 x − 1 = 01) ⎨⎪⎩ y = x 2; 3x − 4 x + 1 = 0 ;1⎧⎪⎪ x = 3ОДЗ : x , y > 0 , x , y ≠ 1 ; ⎨;⎪y = 181⎩⎪1⎧⎪⎪ x = 9;⎨⎪y = 1⎪⎩81x = 1 — не подходит по ОДЗ;2)4x − 34 x − 1 = 0 ; y = x ;4x = 1 — не подходит по ОДЗ;⎛1 1 ⎞Ответ: ⎜ ; ⎟ .⎝ 9 81 ⎠⎧⎪log y x − 2log x y = 1;б) ⎨22⎪⎩ x + 2y = 3ОДЗ : x , y > 0 ; x , y ≠ 1 ; log 2y x − log y x − 2 = 0 ;logyx = 2, logyx = –1; x = y 2 , x =1;y⎧⎪ x = y 21) ⎨; y2 = –3 — не имеет решения;42⎪⎩ y + 2y − 3 = 01⎧⎪⎪ y = x;2) ⎨⎪x 2 + 2 = 3x2⎩⎪x 4 − 3x 2 + 2 = 0 ; x 2 = 1 − не подходит ; x 2 = 2 ;⎧x = 2⎪⎨2;⎪y =⎩2⎛2⎞Ответ: ⎜⎜ 2;⎟⎟ .2⎝⎠1846.⎧⎪log 2 y + log 2 x ⋅ log 2 y − 2log 22 x = 0а) ⎨ 2;22⎪⎩9x y − xy = 1ОДЗ : x , y > 0 ;2332⎛ log 2 y ⎞log 2 y− 2 = 0;⎜⎟ +log 2 х⎝ log 2 x ⎠1⎧⎪⎪x = 2⎧⎪ y = x1) log 2 y = log 2 x ⎨ 3; ⎨;1⎪⎩9 x − x 3 = 1 ⎪y=⎪⎩21⎧1⎧⎪⎪ y = 2⎪x =x2) log 2 y = −2log 2 x ; ⎨; ⎨2;⎪9 − 1 = 1 ⎪ y = 4⎩x3⎩⎪Ответ: (1/2; 1/2), (1/2; 4).⎧2log32 x + log3 x ⋅ log 3 у − log32 x = 0⎪;б) ⎨x2= 28⎪ xy −y⎩⎧log 3 x ⋅ (log3 x + log 3 y) = 0⎪;⎨x2= 28⎪ xy −y⎩log3x = 0, log3xy = 0; ОДЗ :x , y > 0 ;1⎧⎪x = y⎪; у = –1/3 — не подходит;1) ⎨⎪1 − 1 = 28⎪⎩ y3⎧x = 1⎪2) ⎨; y 2 − 28 y − 1 = 0 ;1⎪ y − y = 28⎩y = 14 ± 197 , но т.к.

y > 0 , то⎧⎪ y = 14 + 197;⎨⎪⎩x = 1Ответ: (1; 14 + 197 ).1847.⎧⎪ x 2 + lg x = y 2 + lg yа) ⎨;⎪⎩ x − y + x + y = 4234ОДЗ : x , y > 0 ;если x заменить на y, а y на x, то получится равносильное уравнение ⇒x = y;x−x + x + x = 4 ;x = 2 ; x = 4 = y;Ответ: (4; 4).⎧⎪x + 2б) ⎨x= y+2y⎪⎩x 2 + x + y 2 + y = 12ОДЗ : x , y ≥ 0 ;;x = y (аналогично пункту а);x 2 + x + x 2 + x = 12 ;x2 + x − 6 = 0 ; x = 2 = y ;Ответ: (2; 2).1848.1 ⎧1⎧⎪⎪sin x sin y = 4 ⎪⎪cos(x + y) − cos(x − y) = − 2; ⎨;а) ⎨⎪x + y = π⎪x = π − y⎪⎩⎪⎩33⎛π⎞cos ⎜ − 2y ⎟ = 1;⎝3⎠⎧⎪⎪ y =⎨⎪x =⎪⎩π+ πn6;π− πn6π⎛π⎞Ответ: ⎜ − πn; + πn ⎟6⎝6⎠ππ⎧⎧⎪⎪ x + y = 4⎪⎪ x = 4 − y; ⎨; sin(2y) − cos(2y) = 1 ;б) ⎨⎪sin 2 x + cos 2 y = 1 ⎪cos(2y) − cos( π − 2y) = −1⎪⎩2 ⎪⎩2π2sin(2y − ) =;42⎧n π π πn⎪⎪ y = ( −1) ⋅ 8 + 8 + 2;⎨⎪ x = (−1) n +1 ⋅ π + π − πn⎪⎩8 8 2π π πnπ π πn ⎞⎛Ответ: ⎜ (−1)n +1 ⋅ + − ; (−1) n ⋅ + +⎟.8828 8 2 ⎠⎝235⎧sin x + cos y = 0⎪1849.

а) ⎨ 21;2⎪⎩sin x + cos y = 2⎧sin x = − cos y⎪;1⎨ 2⎪⎩cos y = 4π⎧⎪⎪ y = ± 3 + 2πn;⎨⎪ x = ( −1) k +1 ⋅ π + πk⎪⎩62π⎧⎪⎪ y = ± 3 + 2πm;⎨⎪ x = (−1)p ⋅ π + πp⎪⎩6πππ2π⎛⎞ ⎛⎞+ 2πm ⎟ .Ответ: ⎜ (−1)k +1 ⋅ + πk; ± + 2πn ⎟ , ⎜ (−1) p ⋅ + πp; ±6363⎝⎠ ⎝⎠1⎧⎪⎪cos x = 2 − cos y⎧⎪cos x + cos y = 0,5;;б) ⎨ 2⎨2⎩⎪sin x + sin y = 1,75 ⎪cos 2 x + cos 2 y = 1⎪⎩411− cos 2 y + cos y + cos 2 y = ;44π⎧⎪⎪ y = 2 + πn;⎨⎪ x = ± π + 2πk⎪⎩3если x заменить на y, а y на x, то уравнения не изменятся, поэтомупоявляется еще одно решение:π⎧⎪⎪ y = ± 3 + 2πm;⎨⎪ x = π + πp⎪⎩2π⎛ π⎞Ответ: ⎜ ± + 2πk; + πn ⎟ ,2⎝ 3⎠π⎛π⎞⎜ + πp; ± + 2πm ⎟ .3⎝2⎠1⎧⎪sin x sin y = −1850. а) ⎨2;⎪⎩ tgx ctgy = 1236⎧cos(x − y) − cos(x + y) = −1;⎨⎩sin x cos y − sin y cos x = 0⎧sin(x − y) = 0;⎨⎩cos(x − y) − cos(x + y) = −1⎧cos(x − y) = 11) ⎨; решений нет;⎩cos(x + y) = 2⎧ x − y = π + 2πn⎧cos(x − y) = −1 ⎪;2) ⎨; ⎨π⎩cos(x + y) = 0 ⎪ x + y = + πk2⎩3π π⎧⎪⎪ x = 4 ± 2 (2n + k);⎨⎪ y = − π + π (k − 2n)⎪⎩4 2π π⎛ 3π π⎞Ответ: ⎜ ± (2n + k); − + (k − 2n) ⎟ .4 2⎝ 4 2⎠1⎧⎪cos y cos x = −б) ⎨4;⎪⎩ tgy = ctgx⎧cos(x + y) = 0⎪⎨1;⎪⎩cos(x + y) + cos(x − y) = − 2⎧cos(x + y) = 0⎪⎨1;⎪⎩cos(x − y) = − 2π π ππ⎧⎧⎪⎪ x = 4 ± 3 + 2 (2k + n)⎪⎪ x + y = 2 + πn; ⎨;⎨⎪ x − y = ± 2π + 2πk ⎪ y = π ± π + π (n − 2k)⎪⎩⎪⎩34 3 2π π⎛ 7π π⎞7π π7π π⎞Ответ: ⎜ + (n+2k); − + (n − 2k) ⎟ , ⎛⎜ − + (n+2k);+ (n − 2k) ⎟ .12 212 2⎝ 12 2⎠ ⎝ 12 2⎠⎧ b1=4⎪1851.

Характеристики

Список файлов книги