mordkovitch-gdz-11-2001 (546281), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

⎨1 − q;⎪b3 + b3 ⋅ q3 + b3 ⋅ q 6 + ... = 19211⎩ 1⎧ b1⎪1 − q = 4⎪;⎨ 3⎪ b1 = 192⎪1 − q 3⎩⎧⎪b1 = 4(1 − q);⎨ 32⎪⎩b1 = 192(1 − q)(1 + q + q )64(1 – q)3 = 192(1 – q)(1 + q + q2);q = 1 — не подходит, т.к. |q| < 1; (1 – q)2 = 3(1 + q + q2);237q2 – 2q + 1 = 3q2 + 3q + 3;2q2 + 5q + 2 = 0;q = –2 — не подходит, т.к. |q| < 1;q = –(1/2); b1 = 6.1852. Пусть а, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно;⎧a + b + c = 8⎪ 222;⎨a + b + c = 26⎪100a + 10b + c + 198 = 100c + 10b + a⎩⎧a + b + c = 8⎪⎨99a − 99c = −198 ;⎪ 222⎩a + b + c = 26⎧a = c − 2⎪; 6c 2 − 44c + 78 = 0 ;⎨b = 10 − 2c⎪ 222⎩c − 4c + 4 + 100 + 4c − 40c + c = 263c2 − 22c + 39 = 0 ; c =13− не подходит, т.к.3c ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;0} ;⎧c = 3⎪⎨a = 1 ;⎪b = 4⎩Ответ: 143.1853. В обозначениях предыдущей задачи имеем:⎧a = xb⎪⎪b = xc;⎨⎪a + y = b + 1⎪⎩a + 2 y = c⎧ y = b + 1 − xb⎪⎪a = xb; x 2c − 2 xc + c − 2 = 0 ;⎨b = xc⎪⎪x 2c + 2 xc − 2 x 2c + 2 = c⎩решим это уравнение относительно x:2x =1±; учитывая, что a, b,c ∈ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;0} , получим:c1) с = 1 , x = 1 ± 2 , b = 1 ± 2 − не2) с = 2 , x = 0 − не подходит;238подходит;x = 2 ,b = 4 ,a = 8 , y = −3 ;искомое число — 842;3) c = 3 , x = 1 ±⎛22⎞, b = 3 ⎜⎜ 1 ±⎟ − не подходит;33 ⎟⎠⎝4) c = 4 , x = 1 ±⎛11⎞, b = 4 ⎜⎜1 ±⎟ − не подходит;22 ⎟⎠⎝5) c = 5 , x = 1 ±⎛22⎞, b = 5 ⎜⎜1 ±⎟ − не подходит;55 ⎟⎠⎝6) c = 6 , x = 1 ±⎛11⎞, b = 6 ⎜⎜1 ±⎟ − не подходит;33 ⎟⎠⎝7) c = 7 , x = 1 ±⎛22⎞, b = 7 ⎜⎜1 ±⎟ − не подходит;77 ⎟⎠⎝8) c = 8 , x =x=3, b = 12 , − не подходят;21,b = 4 ,a = 2 , y = −3 ;2искомое число — 248;⎛22⎞, b = 9 ⎜⎜1 ±⎟ − не подходит;33 ⎟⎠⎝10) c=0, b=0, a=0 – не подходят;Ответ: 248, 842.9) c = 9 , x = 1 ±1854.Пусть а, b и с — скорости работы первой, второй и третьей бригадсоответственно.

Тогда имеем:⎧a b⎪ + + 4c = a + b + c;⎨2 2⎪a + b = 2( b + c )⎩⎧a − b − 2c = 0 ⎧a − b − 2c = 0; ⎨;⎨⎩a + b − 6c = 0 ⎩2b − 4c = 0=0⎧a − 2b;⎨b−2c=0⎩⎧⎪a = 2b a⎨b ; c = 4;⎪⎩c = 2Ответ: в 4 раза.239§ 59. Уравнения и неравенства с параметрами1855. mx − x + 1 = m 2 ; x(m − 1) = m 2 − 1 ;m = 1 ⇒ x − любое число; m ≠ 1 ⇒ x = m + 1;а) нет таких m ; б) m = 1 .1856. b 2 x − x + 2 = b 2 + b ; x( b 2 − 1 ) = b 2 + b − 2 ;x(b 2 − 1) = (b − 1)(b + 2) ; b = 1 , x − любое число;b = −1 ⇒ нет решений; b ≠ ±1 ⇒ x =b+2;b +1а) b ≠ ±1; б) b = −1 ; в) b = 1 .1857.а) a 2 x − 4 x + 2 = a ;x( a 2 − 4 ) = a − 2 ;a = 2 ⇒ x − любое число; a = −2 ⇒ нетa ≠ ±2 ⇒ x =б)1.a+2x1+ x − 1 = a ; x( 1 + ) = a + 1 ;aaa = 0 − уравнение не имеет смысла;a = −1 ⇒ x − любое число;a ≠ 0 , a ≠ −1 ⇒ x = a.1858.а) mx − x + 1 ≥ m 2 ; x( m − 1 ) ≥ m 2 − 1 ;m = 1 ⇒ x − любое число;m > 1 ⇒ x ≥ m + 1; m < 1 ⇒ x ≤ m + 1.б) b 2 x − x + 1 > b ; x( b 2 − 1 ) > b − 1 ;b = 1 ⇒ нетрешений;b = −1 ⇒ x − любое число;b ∈ (−∞;1) ∪ (1; +∞), x >b ∈ (−1;1), x <1859.2401.b +11;b +1решений;а) a 2 x − 4 x ≥ a − 2 ;x( a 2 − 4 ) ≥ a − 2 ; a = ±2 , x − любое число;11; a ∈ (−2;2) ⇒ x ≤;a+2a+2(в ответе задачника опечатка).a ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇒ x ≥б)x⎛ a +1⎞+ x ≤ a + 1; x ⎜⎟ ≤ a +1 ;a⎝ a ⎠a = 0 − неравенство не имеет смысла;a = −1, x − любое число; a ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞ ) ⇒ x ≤ a;a ∈ ( −1;0 ) , x ≥ a .1860.54ax 2 + 4 x − a + 5 = 0 ; a = 0 ⇒ x = − ;a≠0 ⇒D= 4 − (5 − a)a = a 2 − 5a + 4;4при a = 1 ,a = 4 , x = −2;aпри a ∈ (1;4) нет решений;−2 ± a 2 − 5a + 4− два решения;aа) a < 1 , a > 4 , a ≠ 0 ;при a < 1 , a > 4x =б) a = 1 , a = 4 , a = 0 ; в) a ∈ (1;4) .1861.а) y = 6x + a ; y = x 2 ; y′ = 2 x ;y = 2x 0 ⋅ x + x 02 − x 0 ⋅ 2 x 0 — уравнение касательной к графику у = х2;x 0 = 3 , y = 6x − 9 ⇒ а = –9;Ответ: a = –9.б) y = 4x ; y = x 2 + a ; прямая у = 4х может иметь с графиком у = х2 + аодну общую точку только если она является касательной к этому графику;y′ = 2 x ; y = 2 x 0 ⋅ x + x 02 + a − 2 x 02 ; x 0 = 2 ; y = 4x − 4 + a ; а = 4;Ответ: a = 4.1862.241а) y = x 2 − 4 x + 2 ; y = −2 x + b ; абсциссы точек пересечения графиковявлятся корнями уравнения;x 2 − 2x + 2 − b = 0 ;D= 1 − 2 + b = b −1 ;4Ответ: b ≥ 1 .б) y = x 2 + 6 x + 7 ; y = 2 x + b ;аналогично п.

а: x 2 + 4 x + 7 − b = 0 ;D= 4−7+b = b−3;4Ответ: b ≥ 3 .1863.⎧⎪ y = 2 x 2 − 5x + 1;⎪⎩ y = 3x + aа) ⎨2 x 2 − 8x + 1 − a = 0 ;D= 16 − 2 + 2a = 14 + 2a ≥ 0;4Ответ: a ≥ −7 .⎧⎪ y = 3x 2 − 4x − 2; 3x 2 + 6x − 2 − a = 0 ;⎩⎪ y = −10 x + aб) ⎨D= 9 + 6 + 3a = 3a + 15 ≥ 0;4Ответ : a ≥ −5 .1864.34ax 2 + 4 x − 3 + a > 0 ; a = 0 ⇒ x > ; а ≠0;D= −(a 2 − 3a − 4) ;4а) неравенство выполняется при любых х, если:⎧a < 0 ⎪⎧a > 0; ⎨ 2; a > 4;⎨⎩D < 0 ⎩⎪a − 3a − 4 > 0б) неравенство не имеет решений, если:242⎧a < 0 ⎧⎪a > 0; ⎨ 2; a < −1;⎨⎩D < 0 ⎪⎩a − 3a − 4 > 01865.а) y = 2x 2 − 3ax + 2 ;ось симметрии данной параболы — прямая х =3а;43a< −3; a < −4 .4б) y = 5x 2 − 7ax + 2 ; аналогично задаче пункта а:7a40>4; a>(в ответе задачника опечатка).7101866.⎧x − 2 ≥ 0 ⎧x ≥ 2; ⎨;⎩x − a ≥ 0 ⎩x ≥ aОтвет : x>2, если a<2; x≥a, если a≥2.а)x − 2( x − a ) ≥ 0 ; ⎨⎧x − a > 0 ⎧x > aб) (6 − x) ⋅ x − a > 0; ⎨; ⎨;⎩6 − x > 0 ⎩ x < 6Ответ: а < x < 6, если а <6; нет решений, если а ≥ 6.1867.а) x 2 − 2bx + b 2 − 4b + 3 = 0;уравнение имеет 2 корня, если D > 0;3D / 4 = b 2 − b 2 + 4b − 3 > 0; b > ;4Ответ: b = 1 (в ответе задачника опечатка).б) x 2 + 2 ( b − 2 ) x + b 2 − 10b + 12 = 0;D / 4 = b 2 − 4b + 4 − b 2 + 10b − 12 > 0;4;3Ответ: b = 2 (в ответе задачника опечатка).b>1868.

а) x 2 − 8ax + 27 = 0 ;D / 4 = 16a 2 − 27 > 0 ;a ∈ (−∞; −3 33 3)∪(; +∞) — при таких а уравнение имеет 2 корня;44243x = 4a ± 16a 2 − 27 ;1)4a + 16a 2 − 27=3;4a − 16a 2 − 27⎧⎪a ≥ 0; а = 1,5 ;2⎪⎩12a = 2716a 2 − 27 = 2a ; ⎨2)4a − 16a 2 − 274a + 16a 2 − 27=3;⎧⎪а ≤ 016а 2 − 27 = −2а; ⎨ 2; а = –1,5;⎪⎩12а = 27Ответ : a = ±1,5.б) x 2 − 10ax + 24 = 0 ;D / 4 = 25a 2 − 24 > 0 ;a ∈ (−∞; −2424)∪(; +∞ );55х = 5а ± 25а 2 − 24 ;1)5а + 25а 2 − 2425а − 25а − 24=2;35а + 5 25а 2 − 24 = 0 ;225а − 24 = −а ;⎧⎪а ≤ 0; а = −1 ;⎨2⎪⎩24а = 242)5а − 25а 2 − 2425а 25а − 24=2;325а 2 − 24 = а ;⎧⎪а ≥ 0; а =1;⎨2⎪⎩24а = 24Ответ: а = ±1.1869.а) у = ( 3а + 1 )х 2 + 2х − 5 ; вершина параболы (хв; ув) лежит внутри IVкоординатной четверти, если хв > 0, yв < 0;хв = −2441> 0;3а + 11123а + 1 < 0 ; а < − ; ув =−− 5 < 0;3а + 1 3а + 13−1 − 15а − 5< 0;3а + 115а + 6> 0 ; поскольку 3а + 1 < 0, то 15а + 6 <0; а < –(2/3);3а + 12⎧⎪⎪a < − 32⇔a<− ;⎨13⎪a < −⎪⎩32Ответ: a < − .3б) у = 3х 2 + ( 4а − 1 )х + 3 ;xв> 0, yв > 0;4а − 1> 0; а < 4;616а 2 − 8а + 1 16а 2 − 8а + 1ув =−+ 3 > 0;126− 16а 2 + 8а − 1 + 36 > 0 ;16а 2 − 8а − 35 < 0 ;1⎧ 551 ⎪− < a <51− <a< ; ⎨ 44⇔− <a< ;44 ⎪44⎩a < 4хв = −51Ответ: − < a < .441870.а) (log3 а)х 2 − (2log3 а − 1)х + log3 а − 2 = 0; ОДЗ : а > 0 ;1) а = 1 ; тогда уравнение примет вид: x – 2 = 0;х = 2 — единственный корень;2) а ≠ 1 ; тогда для существования единственного корня необходимо:D = 4log 32 а − 4log3 а + 1 − 4log32 + 8log3 а = 0;11; а=4 ;−431Ответ: а = 4 .3log3 a =б) (log 4 а)х 2 + (2log 4 а + 1)х + log 4 а + 2 = 0 ;1) а = 1; уравнение имеет вид: х + 2 = 0; х = –2;2452) а ≠ 1 ; уравнение не имеет корней, еслиD = 4log 24 а + 4log 4 а + 1 − 4log 24 а − 8log 4 а < 0;1log 4 а > ; а >42;Ответ: a > 2 .1871.а) 52х − 3 ⋅ 5х + а − 1 = 0; это уравнение квадратное относительно 5х,уравнение имеет единственное решение, если уравнение t2 – 3t + a – 1 = 0имеет единственный положительный корень;D = 9 − 4а + 4 = 13 − 4а;131) D = 0; а =;435х = > 0;22) D > 0; 5Х =3 ± 13 − 4а2(второй корень всегда положителен);13 − 4а ≥ 9 ;а ≤ 1;13Ответ: а ≤ 1, а = .4б) (0,01) х − 2(а + 1)0,1х + 4 = 0; т.к.

уравнение квадратное относительно0,1х, то оно не может иметь больше двух корней;пусть х1, х2 — корни этого уравнения, тогда по теореме Виета:⎧⎪0 ,1х1 + 0 ,1х 2 = 2а + 2;⎨ х⎪⎩0 ,1 1 ⋅ 0 ,1х 2 = 4⎧⎪0 ,1x1 < 0; 2a + 2 < 0 ; a < −1 ;⎨ x⎪⎩0 ,1 2 < 0Ответ: a < –1.1872. а) 9x + (a + 4) ⋅ 3x + 4a = 0;D = a 2 + 8a + 16 − 16a = (a − 4)2 ≥ 0 ;−(a + 4) ± (a − 4) ⎡ −a=⎢;2⎣ −4 < 0для существования корня нужно: –а > 0;Ответ: a ≤ 0.при всех а; 3x =246б) 25x + ( a − 2 ) ⋅ 5x − 2a = 0 ;D = a2 – 4a + 4 + 8a = (a + 2)2 ≥ при всех а;(2 − а) ± (a + 2) ⎡ 25x ==⎢ ;2⎣ −аотсюда видно, что при всех а уравнение имеет корень: x = log52;Ответ: а – любое число (в ответе задачника опечатка).1873.

Характеристики

Список файлов книги