mordkovitch-gdz-11-2001 (546281)
Текст из файла
А.А. Сапожниковк задачнику «Алгебра и начала анализа. Задачникдля 10-11 кл. общеобразовательных учрежденийА.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова,Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская —М.: «Мнемозина», 2001 г.»Глава 5. Первообразная и интеграл§ 37. Первообразная и неопределенный интеграл984.а) F(x) = x 3 ,f(x) = 3x 2 ,F' ( x ) = 3x 2 ;б) F(x) = x 9 ,F' ( x ) = 9 x 8 ;в) F(x) = x 6F' ( x ) = 6 x 5 ;г) F(x) = x 11F' ( x ) = 11x 10 ;а) F(x) = x 2 + x 3 ;F' ( x ) = 2x + 3x 2 ;б) F(x) = x 4 + x 11 ;F' ( x ) = 4 x 3 + 11x 10 ;в) F(x) = x 7 + x 9 ;F' ( x ) = 7 x 6 + 9 x 8 ;г) F(x) = x 13 + x 19 ;F' ( x ) = 13x 12 + 19 x 18 ;986.а) F(x) = 3 sin x ;б) F(x) = −4 cos x ;в) F(x) = −9 sin x;г) F(x) = 5 cos x ;F' ( x ) = 3 cos x ;F' ( x ) = 4 sin x ;F' ( x ) = −9 cos x ;F' ( x ) = −5 sin x ;987.а) f ( x ) = −985.б) f ( x ) =988.а) f ( x ) =б) f ( x ) =989.1x7x21F( x ) =;F( x ) = x + C ;;2 x6x;а) f ( x ) = 4 x 10 ;б) f ( x ) = −3x 6 ;в) f ( x ) = 5x 7 ;г) f ( x ) = −9 x 19 ;21+C ;x7F( x ) = − + C ;x;2F( x ) = 12 x + C ;4 11x +C ;113F( x ) = − x 7 + C ;75 8F( x ) = x + C ;89 20F( x ) = −x +C;20F( x ) =990.x 3 x 17++C;317x 10 x 34F( x ) =++C;1034а) f ( x ) = x 2 + x 16 ;F( x ) =б) f ( x ) = x 9 + x 33 ;991.в) f ( x ) = x 13 + x 18 ;F( x ) =x 14 x 19++C;1419г) f ( x ) = x + x 14 ;F( x ) =x 2 x 15++C;2151 x2++C;x 2x2111− 2 ; F( x ) = x + + C ;б) f ( x ) =x2 x xа) f ( x ) = −в) f ( x ) = −г) f ( x ) =992.11x212 xF( x ) =+x;+ x 3 ; F( x ) =+1;F( x ) = x + x + C ;а) f ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 ;F( x ) = x 4 − 2x 3 + C ;б) f ( x ) = 13x 6 + 9x 4 ;F(x) = 13г) f ( x ) = 12 x 10F( x ) = x 5 −а) f ( x ) = −3 sin x + 2 cos x ;б) f ( x ) =4−9;cos 2 x2;в) f ( x ) = −4 cos x +sin 2 x5г) f ( x ) = −13 sin x +;cos 2 x994.2sin x⎛а) f ( x ) = sin ⎜ 3x +⎝x7x5+9 +C;75x6+C;212 x 11 3x 8+ 3x 7 ; F( x ) =++C ;118в) f ( x ) = 5x 4 − 3x 5 ;993.1 x4++C;x 4π⎞⎟;6⎠F( x ) = 3 cos x + 2 sin x + C ;F( x ) = −4ctgx − 9 tgx + C ;F( x ) = −4 sin x − 2ctgx + C ;F( x ) = 13 cos x + 5tgx + C .1π⎞⎛F( x ) = − cos⎜ 3x + ⎟ + C ;36⎠⎝3995.996.⎛π⎞б) f ( x ) = cos⎜ − 2 x ⎟ ;4⎝⎠в) f ( x ) = cos(4 x − 3) ;F( x ) =x⎞⎛г) f ( x ) = sin ⎜ 2 − ⎟ ;2⎠⎝x⎞⎛F(x) = 2cos ⎜ 2 − ⎟ + C .2⎠⎝998.;(6 x + 1) 21б) f ( x ) =;(8x − 3) 21в) f ( x ) =;(7 x − 3) 21г) f ( x ) = −;(10 x + 2) 2а) f ( x ) =б) f ( x ) =997.1а) f ( x ) = −17x − 91F( x ) =F(x) = −1+C;7(7x − 3)F(x) =;г) ∫ −в)∫2x5dxx4∫ (x39cos 2 x16sin 2 x15dx = − 9tgx + C ;dx =16ctgx + C ;15+C.x2020dx = −+C.2xx=3 x +C.б)∫ − x 2 dx ==5 x +C.г)∫x4− cos x + C .41 ⎞x 10⎛dx=+ tgx + C .б) ∫ ⎜ x 9 +⎟10cos 2 x ⎠⎝x3в) ∫ ( x 2 + cos x )dx =+ sin x + C .31 ⎞x7⎛dx=− ctgx + C .г) ∫ ⎜ x 6 +⎟7sin 2 x ⎠⎝999.
а)1+C.10(10x + 2)27x − 9 + C ;72F( x ) = −42 − 3x + C .3в) ∫ 6cos xdx = 6sin x + C ;3dx1+C ;6(6x + 1)1+C;8(8x − 3)б) ∫ −∫21sin( 4x − 3) + C ;4F(x) = −а) ∫ 4sin xdx = − 4cos x + C ;а)1 ⎛π⎞sin ⎜ − 2x ⎟ + C ;2 ⎝4⎠F( x ) =;42 − 3xF( x ) = −+ sin x )dx =⎛ 1x32⎞⎜⎟xdxx=++C.+∫ ⎜⎝ 2 x ⎟⎠3⎞⎛ 1x2б) ∫ ⎜⎜+C .+ x ⎟⎟dx = x +2⎠⎝2 x1000. а)1 x4⎛ 13⎞+xdx=−++C .⎜⎟∫⎝ x2 ⎠x 41001.
а)б)1 x6⎛ 15⎞−+xdx=⎜⎟∫⎝ x2 ⎠ x + 6 +C .(2 − 9x )6∫ (2 − 9x ) dx = −1002. а)63(7 + 5x )13∫ (7 + 5x ) dx =14б)70б) y =12сos x+C.+C⎛π 1⎞M ⎜ ; ⎟;⎝ 3 4⎠1003. а) y = sin x,Y = − cos x + C ;73113= − + C ; C = ; Y = –cosx + .4442⎛π⎞M ⎜ ; −1⎟ ;4⎝⎠,Y = tgx + C ;−1 = 1 + C ;C = −2 ;Y = –tgx –2.⎛π ⎞⎝⎠111+ С ; С = ; Y = + sin x.222xY = −3ctg + C ; 0 = −3 + C ; C = 3 ;3в) y = cos x, M ⎜ ;1⎟ ; Y = sin x + C ; 1 =6г)y=1sin 2 (x / 3)xY = −3ctg + 3.3⎛ 3π ⎞, M ⎜ ;0 ⎟ ;⎝ 4 ⎠υ = 1+ 2t ;1004.s( t ) = t + t 2 + C ;5 = 2+4+C;C = −1 ;2s( t ) = t + t − 1 .1005.s( t ) =υ = −4 sin 3t ;42cos t + .331006. а) y' = x 4 − 3x 2 ;s( t ) =4cos t + C ;3y=2=4+C;3C=2;3x5− x3 + C .55б) y' = x 12 − 8x 71007. а) y' = sin x + 1 ;б) y' =1009.
а) y ' =13x2−91010.υ=y=−− 4x ;+ sin x;x2б) y' = −13 x 2++C.x24y = − − 2x 2 + C .x+x;x245x2− cos x ;6;2t + 1x 13− x8 + C .13y = − cos x + x + C .y = sin x − 9 x + C .б) y' = cos x − 9 ;1008. а) y' =y=;y=9− cos x + C.xy=5− sin x + C .xs( t ) = 6 2 t + 1 + C ;s(0) = 6 + C = 3 ;C = −3 ;s( t ) = 6 2 t + 1 − 3 .1011. a ( t ) = 2( t + 1) 2 ; υ( t ) =221( t + 1) 3 + C ; υ(0) = + C1 = 1 ; C1 = ;333211115( t + 1) 3 + ; s(t) = (t + 1) 4 + t + C2 ; s(0) = + C2 = 1 ; C2 = ;636633115s( t ) = ( t + 1) 4 + t + .636υ( t ) =221012. а) f ( x ) = sin x + cos x = 1 ;x2F( x ) = x + C .x2F( x ) = − cos x + C .б) f (x) = 2sin cos = sin x ;в) f ( x ) = 1 + tg 2 x =1F( x ) = tgx + C .;cos 2 x1;г) f ( x ) = 1 + ctg 2 x =sin 2 xxx1013. а) g(x) = 8sin cos = 4sin x;22F( x ) = −ctgx + C .⎛π ⎞M ⎜ ;3 ⎟ ;⎝2 ⎠G ( x ) = −4 cos x + C ; C = 3 ; G ( x ) = −4 cos x + 3 .x2б) g(x) = 2cos 2 − 1 = cos x,6⎛π ⎞M ⎜ ;16 ⎟ ;⎝3⎠G ( x ) = sin x + C ; 16 =x2в) g(x) = cos 2 − sin 2333+ C ; C = 16 −; G ( x ) = sin x + 16 −.222x= cos x,2M ( 0;7 ) ;G ( x ) = sin x + C ; 7 = 0 + C ; G ( x ) = sin x + 7 .г) g(x) = 1 − 2sin 2⎛π ⎞M ⎜ ;15 ⎟ ;⎝2 ⎠x= cos x,2G ( x ) = sin x + C ; 15 = 1 + C ; C = 14 ; G ( x ) = sin x + 14 .1014.
а)б)∫ (tg∫ (cos∫ (ctg222)x + 1 dx = ∫)1cos 2 xdx = tgx + C .x − sin 2 x dx = ∫ cos 2 x =)x + 1 dx = ∫1sin 2 x + C .21dx = −ctgx + C .sin 2 x11г) ∫ sin x cos xdx = ∫ sin 2xdx = − cos 2 x + C .24в)1111015. а) ∫ sin 2x sin 6xdx= ∫ (cos 4x − cos8x)dx= − sin 4x − sin 8x+C *.2816111б) ∫ sin 4x cos3xdx = ∫ (sin 7x + sin x)dx = − cos x − cos 7x + C *.2214111в) ∫ cos3x cos5xdx= ∫ (cos8x+ cos 2x)dx= sin2x+ sin 8x + C.241611⎛11⎞г) ∫ sin 2x cos8xdx= ∫ (cos 6x − cos10x)dx= ⎜ sin 6x − sin10x ⎟ +C .22⎝ 610⎠11⎛1 1⎞1016. а) ∫ sin 2 xdx = ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx = x − sin 2x + C .24⎝2 2⎠21⎛1 1⎞⎛1 1⎞4б) ∫ sin xdx= ∫ ⎜ − cos 2x ⎟ dx= ∫ ⎜ − cos 2x+ cos 2 2x ⎟dx =22424⎝⎠⎝⎠1 11111⎛1 1⎞= ∫ ⎜ − cos 2x+ + cos 4x ⎟dx= x − sin 2x+ x+ sin 4x+C =8 8448 32⎝4 2⎠=3x 11− sin 2 x +sin 4 x + C .8 43211⎛1 1⎞2224⎝⎠1 13x 11⎛1 1⎞г) ∫ cos 4 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x + + cos 4x ⎟dx = + sin 2x+ sin 4x+C .8 88 432⎝4 2⎠в) ∫ cos 2 xdx = ∫ ⎜ + cos 2x ⎟ dx = x + sin 2x + C .71017.
а) ∫б) ∫dx22sin x cos xcos 2xdx22sin x cos x=∫=∫sin 2 x+ cos 2 x1 ⎞⎛ 1dx= ∫ ⎜+ 2 ⎟ dx=tgx-ctgx+C .2sin x cos x⎝ cos x sin x ⎠2cos 2 x − sin 2 xsin 2 x cos 2 x1018. а) f ( x ) = 2 x + 3 ;21 ⎞⎛ 1dx = ∫ ⎜ 2 −⎟ dx =-ctgx − tgx+C .⎝ sin x cos 2 x ⎠б) f (x) = 12 ( 3x − 1)3 ;2F(x) = x + 3x + C ;f(x) = 0 ⇔ x = –3/2;F(–3/2) = 9/4 – 9/2 + C = 0;C = 9/4;F(x) = x 2 + 3x + 9 / 4 .F( x ) = (3x − 1)4 + C ;f(x) = 0 ⇔ x = 1/3;F(1/3) = C = 0 ;1019. а) f (x) = 2x,б) f (x) = 3x 3 ,y = x + 2,2F(x) = x + C ;F( x ) = (3x − 1)4 .y = x 02 + C + 2x 0 (x − x 0 ) =y = 3/ 4x 04 + C + 3x 03 (x − x 0 ) =2 xx 0 − x 02=+C ;2x 0 = 1 ;x 0 = 1/ 2 ;1y = x− +C = x+2;49C= ;49F( x ) = x 2 + .4= 3x 0 3 x − 21 4x0 + C;43x 0 3 = 3 ;x0 =1;y = 3x − (9 / 4) + C = 3x + 2 ;17;4317F( x ) = x 4 +.44C=1020.
y = 3 cos 3x + 6 sin 6 x ;Y = sin 3x − cos 6x + C ;3π6 = sin− cos 3π + C ;26 = −1 + 1 + C ;C=6;Y = sin 3x − cos 6x + 6 ;π⎛π⎞Y⎜ ⎟ = sin − cos π + 6 = 1 + 1 + 6 = 8 ;62⎝ ⎠§ 38. Определенный интеграл11021. а) ∫ x 3dx =2−38x4412−3y = 3x + 2;F(x) = 3/ 4x 4 + C ;=1161 465.−= − =4 81 ⋅ 4 4 81 3243б)dx∫ x23112= − +1= .x133=−1x5в) ∫ x dx =5−129г)dx∫24x4=−1=2 x9432 1 33+ =.5 5 5= 6−4 = 2 .π1022. а)ππ2∫ sin xdx = − cosxπ2π2в)∫π−cos xdx = sin xπ2−π2= 1 .
б)π4dx∫π cos 2 x−= tg xπ4−π4= 1+1 = 2 .4π2= 1+1 = 2 .г)2dx∫π sin 2 x= −ctg xπ2π4=1.4π21023. а)∫π−π3πcos 2xdx =11sin 2 x 2 π = .22−44ππ⎞ 32ππ 10 3⎛dx = −5ctg ⎜ x + ⎟ = −5ctg+ 5ctg =б) ∫.π3⎠0333⎝0 sin 2 ⎛ x + ⎞⎜⎟3⎠⎝5πв)∫π2 sin2π3г)xxdx = −6 cos337∫π cos 2 3xππ2= −3 + 3 3 .πdx =77 7tg3x 03 = 0 + = .33 3451024. а)∫13б)∫1dx2x − 1dx10 − 3x=−5= 2x − 1 = 3 − 1 = 2 .1210 − 3x3313=−24+2= .33392∫1025. а)4 x 5 − 3x 4 + x 3 − 1x2121 ⎞⎛dx = ∫ ⎜ 4 x 3 − 3x 2 + x − 2 ⎟dx =x ⎠1⎝2⎛x2 1 ⎞11= ⎜ x 4 − x3 ++ ⎟ = 16 − 8 + 2 + − 1 + 1 − − 1 = 9 .⎜⎟2x22⎝⎠1−1 5x 7−1− 4x 6 + 2x−1 ⎛2 ⎞2⎞⎛dx = ∫ ⎜ 5x 4 − 4x 3 + 2 ⎟ dx = ⎜ x 5 − x 4 − ⎟ =3x ⎠ −2⎝xx ⎠−2−2 ⎝= −1 − 1 + 2 + 32 + 16 − 1 = 47б) ∫3 6x 43− 4x 3 +7x 2 − 13⎛1 ⎞1⎞⎛dx= ∫ ⎜ 6x 2 − 4x+7 − 2 ⎟ dx = ⎜ 2x 3 − 2x 2 + 7x + ⎟ =2x⎠2⎝xx ⎠22⎝115= 54 − 18 + 21 + − 16 + 8 − 14 − = 34 .326в) ∫−1 3x 6г) ∫− 4x 5 − 7x 4 + 3x 2−1 ⎛3 ⎞dx = ∫ ⎜ 3x 2 − 4x − 7 + 2 ⎟ dx =x ⎠−2 ⎝x4−2−13⎞3⎛= ⎜ x 3 − 2x 2 − 7x − ⎟ = −1 − 2 + 7 + 3 + 8 + 8 − 14 − = 7,5.x ⎠ −22⎝(0)331026.
а) υ(t)=3t 2 − 4t+1 ; S(3)= ∫ 3t 3 − 4t+1 dt=t 2 − 2t 2 +t =27 − 18+3=12.б) υ( t ) =133 8 2 612dt =5t + 1 = − = .0 5 5555t + 1; S(3) = ∫5t + 103(0)3203в) υ( t ) = 4t − 6 t ; S(3) = ∫ 4t 3 − 6t 2 dt =t 4 − 2t 3 = 81 − 54 = 27г) υ( t ) =137t + 4; S(3) = ∫001210 4 6dt =7t + 4 = − = .077 7 77t + 436⎛ x3 x 2⎞61027. а) ρ(x) = x 2 − x − 1, l = 6; ∫ (x 2 − x − 1)dx = ⎜−− x⎟= 48.⎜⎟020⎝ 3⎠б) ρ(x) =31(x + 3)231, l = 3; ∫0 (x+ 3)2dx = −11 1 1=− + = .x+306 3 6⎛ x32⎞2828в) ρ(x) = − x 2 + 6x, l = 2; ∫ (− x 2 + 6x)dx = ⎜ − + 3x 2 ⎟ = − + 12 = .⎜ 3⎟330⎝⎠0г) ρ(x) =1011(2x + 1)2, l = 1; ∫120 (2x + 1)1dx = −11 1 1=− + = .2(2x + 1) 06 2 33⋅3=10,5 (в ответе задачника опечатка).231028.
а) ∫ f (x)dx=3 ⋅ 1+3 ⋅ 1+−23б)3 2⋅2= 6,5 .2∫ f (x)dx = 3 ⋅ 2 ⋅−241029. а) y = x 2 , y = 0, x = 4; S = ∫ x 2dx =0x33464.3=03б) y=x , y=0, x= − 3, x=1;01−30S=- ∫ x 3dx+ ∫ x 3dx= -x4401+−3x481 1 82 41= + = = .44 4 4 20x3в) y = x , y = 0, x = −3; S = ∫ x dx =3−30202= 9.−3x5г) y = x , y = 0, x = -1, x = 2; S = ∫ x dx =5−12424=−132 1 33+ = .5 5 52⎛ x4⎞+ 2x ⎟ = 8.1030. а) y = x + 2, y = 0, x = 0, x = 2; S = ∫ (x + 2)dx = ⎜⎜⎟0⎝ 4⎠02334⎛ x3⎞6432б) y = − x + 4x, y = 0; S = ∫ (− x + 4x)dx = ⎜⎜ − + 2x 2 ⎟⎟ = − + 32 = .330⎝ 3⎠04222⎛x3 ⎞32в) y = 4 − x , y = 0; S = ∫ (4 − x )dx = ⎜ 4x − ⎟ = .⎜⎟3−2⎝⎠ −2 3222⎛ x4 ⎞+x ⎟⎟⎝ 4⎠0г) y = − x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = −2; S= ∫ (− x 3 +1)dx= ⎜ −⎜−21031. а) y =12, y = 0, x = 1, x = 2; S = ∫x91, y = 0, x = 1, x = 9; S = ∫б) y =x141, y = 0, x = 1, x = 4; S = ∫в) y =x1г) y =1x2120=4 + 2=6.−22dx = −111= − +1 = .x1221x91dx = 2 x = 6 − 2 = 4.1x41dx = 2 x = 4 − 2 = 2.1x−1, y = 0, x = −1, x = −3; S = ∫21−3 xdx = −21x−1=1−−31 2= .3 311πππ21032.
а) y = sin x, y = 0, x = ; S = ∫ sin xdx = − cos x 2 = 1.020π6π3б) y = cos 2x, y = 0, x = - , x = ;π3π1333+=S = ∫ cos 2xdx = sin 2 x 3 π =.2442−π−66ππ4ππв) y = cos x, y = 0, x = - , x = ; S = ∫ cos xdx = sin x 4 π = 2.44−π−ππ2x244x2г) y = sin , y = 0, x = , x = π; S = ∫ sin dx = −2cosπ2x2ππ2= 2.1ππ1033. а) y = 1 + cos x, y = 0, x = - , x = ;222π2π1π 1 π 1⎛ 1⎞⎛⎞2S = ∫ ⎜1 + cos x ⎟ dx = ⎜ x + sin x ⎟= + + + = π +1π 2 2 2 222⎠⎝⎠π⎝−−22б) y = 1 − sin 2x, y = 0, x = 0, x = π;ππ11 1⎛⎞S = ∫ (1 − sin 2x ) dx = ⎜ x + cos 2x ⎟ = π + − = π.22 2⎝⎠00π2в) y = 2 − 2sin x, y = 0, x = 0, x = ;π2πS = ∫ ( 2 − 2sin x ) dx = ( 2x + 2cos x ) 2 = π − 2.00x2г) y = 2 + cos , y = 0, x = 0, x =2π3 ⎛2π;32πx⎞x ⎞ 3 4π⎛S = ∫ ⎜ 2 + cos ⎟ dx = ⎜ 2x + 2sin ⎟ =+ 3.22⎠03⎠⎝0 ⎝2x41034.
а) ∫ x dx =402312= 4 ; S = 2 ⋅ 8 − 4 = 12 .0ππ2πππб) S = ⋅ 1 − ∫ sin xdx = + cos x 02 = − 1.22202в) S = 16 − ∫ x 2dx =16 −−2x332−28 8 32= 16 − − = .3 3 3ππг) S = ∫ sin xdx = − cos x 0 = 1 + 1 = 2.01035. а) y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;333x2⎛ 1⎞S= ∫ (−0,5x+5)dx − ∫ xdx= ⎜ − x 2 +5x ⎟ −⎝ 4⎠ −1 2−1−13−1919 1= − +15+ +5 − + =14.442 2б) y = 2x, y = x-2, x = 4;44−2−2S = ∫ 2xdx − ∫ (x − 2)dx = x 24⎛ x2⎞−⎜− 2x ⎟ = 16 − 4 − 8 + 8 + 2 + 4 = 18.⎟−2 ⎜ 2⎝⎠ −24x4в) y = − x, y = 3 − , x = −2, x = 1;1⎛x⎞x2 ⎞⎛S = ∫ ⎜ 3 − ⎟ dx − ∫ − xdx = ⎜ 3x −⎟⎜4⎠8 ⎟⎠−2 ⎝−2⎝1г) y = 1 − xy = 3 − 2x1x=01⎛ x2 ⎞11 17− ⎜ − ⎟ =3 − +6+ + − 2=7 .⎜ 2 ⎟82 28⎠ −2−2 ⎝222⎞2 ⎛ x2S = ∫ (3 − 2x)dx − ∫ (1 − x)dx = (3x − x 2 ) + ⎜− x⎟ = 6− 4+ 2− 2 = 2⎜⎟000⎝ 2⎠021036.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
