kuznetzova-gdz-9-2001 (542416), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

a − b:===bcbc − a (c − b )a−bc−b−ac−bc −bab − ac + bcc−bc−b.=⋅=a−bbc − ac + ab a − bbca (b − c ) − bcab − ac − bcbcbcb−c−−37.2.===acb(a − c ) − acab − bc − acb−a−ca−ca−ca−cab − ac − bc ab − bc − ac ab − ac − bca−c:.==⋅=b−cb−ca−cb−cab − bc − aca−x ≠ 0x ≠ 011138.1.= y ; 1 + ≠ 0 ⇒  ≠ −1 x1x1−11 + 1 ≠ 11+1 ≠ 0x x xх ≠ 0; х ≠ –1.Ответ: (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; ∞).a ≠ −1a ≠ −1a ≠ −111138.2. y =; 1−≠0 ⇒≠1 ⇒  1+ a11 + aa ≠ 01−111 −1−≠1 1 ≠01 + a  1 + a1 + aОтвет: а ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; ∞).16839.1. y = 1 −11−a1−11+ aa ≠ −11⇒≠01 − 1+ aa≠01 −1 1−1+ aa ≠ −1⇒a ≠ 0 a(1 + a )1 −≠0aa ≠ −1а ≠ 0, а ≠ –1.a ≠ 01 − 1 − a ≠ 0Ответ: а ∈ (–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; ∞).39.2. y = 1 +x1−xx+xx −1x ≠ 1x⇒≠0x +x −1x≠01 −x x+x −1x ≠ 1⇒x ≠ 0 x(x − 1)1 −≠0x2x ≠ 1x ≠ 011 − 1 + ≠ 0xх ≠ 1, х ≠ 0.Ответ: (–∞; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; ∞).40.1.

x+1=2,5.x111 2 2) =х +2+=6,25. х2+=4,25.2xxx2Ответ: 4,25.(х+40.2.1–а=1,2.a111–а)2=–2+а2=1,44.+а2=3,44.2aaa2Ответ: 3,44.(16941.1 a 2 + b 2 = (a − b )2 + 2ab =a−b = 4= 16 + 3 = 19 .ab = 1,5Ответ: 19.() x + y = 3 = 9 − 5 = 4 . xy = 2,5 41.2. x 2 + y 2 = (x + y ) − 2 xy = 2Ответ: 4.742.1. Т. к.  88тания:  7−3−37 7;  8 8;8Ответ:  7−3;642.2. Т. к.  776ния:  −4;388=   >1, а  77.−3.47=   >1, а67 6;  6 7377=   < <1, то в порядке возрас88−37 7;  8 8−4−37 6−446=   <1, то в порядке возраста7−4.−4−47  6 7; ;   . 66  7Ответ:  57−243.1.

 2 14 7=   ; (1,4 )− 2 =  5 10  −27= 52−2214 75=   ; 1,4 == .10 57 27 57 7 5> 1, тогда   > ;< 1, тогда   < 1. 5 75 75 5 72Отсюда   <57т. к.  −227  7 5−2<   , а, значит, (1,4) < 1,4 <   7552227 775 5=   >1, а (1,4 )− 2 =   < <1, и 1,4= <   , то в75 557порядке возрастания:(1,4)−2 ; 1,4;  5 7−2−2.−2 5. 7Ответ: (1,4) ; 1,4;  170−243.2. 0,75 =753 3 3−3= ;< 1; (0,75) =   4100 4 43 4 4т.о.   > 1;   3 3−333 4 4=  ;> 1, 33333 3 3=  ;< 1, т.о.   < . 4 4 44333  4 3 4Отсюда:   < <   , значит,   4 34  3т.

к. 0,75=−333<1, а  44−3433−3−3< 0,75 < (0,75) .4>1, то в порядке возрастания:3=  >−34 3;   .3 40, 75; 4 3−3−3Ответ:   ; 0,75; (0,75) . 544.1.  −  3 5−  3−2−2 5∨ −  3 5∨ −  3−3−3 3∨ −  5−2;2232 3  5 5  3∨ −  ; −  ∨ −  ∨ −  ; 3  5 5  3927 25∨−∨25125 9−3−2 5  5  3Ответ:  −  ;  −  ;  −  3  3  5 544.2.  −  9 5−  9−3−3 5∨ −  9 5 9< 0;  −−3−4−4−2 9∨ −  5 9> 1;  −  5−4 5  9  5Ответ:  −  ;  −  ;  −  9  5  9()(45.1.

a − 2 − b − 2 b −1 − a −1=−4)−1−4∈ (0; 1)−4=(1a2−1 1 1 −1)( − ) =b2 b aa − b −1 (b − a )(b + a ) ab− (a + b )) =⋅=.aba −baba 2b2a+bОтвет: –.abb2 − a 2a 2b 2⋅(171(45.2. y − 2 − x − 2) ⋅ (x−1) 11 − y −1 =  2 − 2 yx −1−1−1 1 1   x2 − y 2 ⋅  −  =  2 2  × x y   x y  y−xxyx2 y 2 y − x =.=−⋅× 22xyx+ y xy  x − yxyОтвет: −.x+ yx46.1.=−6+x+x462x +x +x21+ x + x6−42(42x ⋅ x 1+ x + xc−722 n +1+c−5+c8 ⋅ 100n47.1.48.1.)=1x8⋅54 ⋅ 36n2 n −33⋅2=2n + 24 ⋅ 18 n3 2n −1 ⋅ 2 n +148.2.2 2n −1 ⋅ 3 n +149.1.5 n +1 − 5 n −149.2.10 ⋅ 2 n6 ⋅12 n=c−750.1.1722+2x− x −2x −2()(1 + c + c )8 ⋅ 102 n − 24 ⋅ 62 n2 n −3⋅2=453 ⋅ 4 ⋅18 n9n ⋅ 2n ⋅ 2c3= c10 .1c7= 102 = 100 .=6323= 27 .12 ⋅18 n=2 ⋅18 n= 6.1 2n⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3n3 ⋅12 n1== .= 2nn46 ⋅1212 ⋅12=n −11 + x2 + x4125 n (5 − 5 −1 )2 ⋅5n2 ⋅ 5n11  1 ⋅ 24 12= 5 −  === 2,4.25  2⋅55n +1+c 3 (1 + c 2 + c 4 )8 ⋅102 n61.=−3=2n −2+6426= x 2 x 4 x6 = 2 x 2=x +x +xx 1 + x + x4c3 + c5 + c746.2.47.241−2=10 ⋅ 2 n2n −12(2 + 1)5 − 5 −1=2=( x − 2) − 6 + 32==x −210 ⋅ 2= 4.4 +12=( x − 2)( x − 2 + 3) =x −2x +150.2x−2 x −3x −351.1.x−5 x +651.2.x −6 x +8=( x − 3) − 12 + 4=( x − 2)( x − 3) = 3 −x.=( x − 4)( x − 2) = 2 −x.22− x4− x52.1.

При x =xx −32− x4− x= x − 3 + 4 = x +1.1− 2:31+ 2 − 2 2 2 − 2 212−−1 = −1 = − .33333x 2 − 2 x − 1 =3− 5:29 + 5 − 6 5 18 − 6 52x2 − 6x + 3 =−+ 3 = −2 + 3 = 1 .2252.2. При x =53.1. При a = 5 + 4 : a 2 − 6 5 a − 1 ==( 5 + 4 ) − 6 5 ( 5 + 4 )− 1 = 5 + 825 + 16 − 30 − 24 5 − 1 = − 10 − 16 5 .53.2. При c = 2 − 3 : c 2 − 4 2 c + 2 =( 2 − 3) −2( 2 − 3)+ 2 = 2 − 6 2 + 9 − 8 + 12 2 + 2 = 5 + 6 2 .54.1.

(3 − 2 3 ) + 3 = 3 − 2 3 + 3 = 2 3 − 3 + 3 = 2 3 . (т.к. 2−4 2254.2.(4 − 3 2 )2(3 >3).)−3 2 = 4−3 2 +3 2 = − 4−3 2 −3 2 == − 4 + 3 2 − 3 2 = −4 . (т.к. 3 2 > 4 ).(2 − 5 ) + (3 − 5 ) = 2 − 5 + 3 −= −(2 − 5 )+ (3 − 5 ) = −2 + 5 + 3 − 5 = 1 .255.1.25 =(т.к. 2 < 5 < 3 ).55.2.( 3 − 1)2+( 3 − 2)2=3 − 1 + 3 − 2 = 3 –1+2– 3 =1.(т.к. 1 < 3 < 2 ).17317 − 12 2 =56.1.(3 − 2 2 )2= 9 − 2 ⋅3⋅ 2 2 + 8 == 3 − 2 2 = 3 − 2 2 , ч.т.д.21− 12 3 = 12 + 9 − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 3 = 2(2 3 − 3) 2 =|2 3 –3|=56.2.= 2 3 –3, ч.т.д.57.1.3− 63= 5 − 2 6 , возведем в квадрат:9+6−6 6= 5−2 6 ;33 + 2 − 2 6 = 5 − 2 6 , ч.т.д.57.2.3− 72= 8 − 3 7 , возведем в квадрат:9+7−6 7= 8 − 3 7 , ч.т.д.258.1.17+4 31+7−4 3Ответ:58.2.== =5 2 −77+4 3−5 2 +7−5 2 +7(5 2 )2Ответ:59.1.т. о.15 2 −716=313Ответ:174−726 >4+15 2 +7=−14(7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) = 49 − 16 ⋅ 3 = 14 =1140 <17−4 3 +7+4 317−4 3.=14= 14 = 196 < 250 .50 − 4915 2 +76>9< 250 .11611==4> ,23232311> .32 311 1; 4;6.332 3196 > 14059.2.115 =51⋅ 15 =2515;253=591100; 10==253003001;315 45927 1 25 25 27 45;;;<<,===25 75 25 75 3 75 75 75 751915значит, <<.3 25 25Тогда1<31;300Ответ: 102=260.1.9<251;215.253 1;15 .5 521.4= 2 ; 4 0,5 = 16 ⋅ 0,5 = 8 ; 0,5 =21 1Т.к.

< < 2 < 8 ,4 2то1<41< 2< 8.2Ответ: 0,5;60.2.3=32;21;31,5 = 2,25 . Т.к.Ответ:61.1. +22233; 4 0,5 .= 3 ; 2 0,5 = 4 ⋅ 0,5 = 2 ;1< 2 < 2,25 < 3 , тогда31< 2 < 2,25 < 3 .333; 2 0,5 ; 1,5;.33210 − 3 +10 + 3  = 10 − 3 + 10 + 3 +( 10 − 3)( 10 + 3) = 2 10 + 2 10 − 9 = 2( 10 + 1).2()()61.2.  4 + 7 − 4 − 7  = 4 + 7 + 4 − 7 − 2 4 − 7 4 + 7 == 8 − 2 16 − 7 = 2 .1755− 362.1.=5+ 35+ 35− 3( 5 − 3) − ( 5 + 3)2=2=( 5 + 3 )( 5 − 3 )5 + 3 − 2 5 − 5 − 3 − 2 15 − 4 15== −2 15 .5−3210 + 662.2.=−10 − 610 − 6−10 + 6( 10 + 6 ) − ( 10 − 6 )2=2( 10 − 6 )( 10 + 6 )=10 + 6 + 2 60 − 10 − 6 + 2 60 4 60== 60 = 2 15 .10 − 6463.1.x− yx y−y xx− yx y−y x63.2.b−aa b +b a=x+ yx y=yy+x, ч.т.д.xab−ab=( b − a )( a + b ) =ab ( a + b )b− aab=ab, ч.т.д.−aba b −b aab=a −ba b +b aa b −b a=a −b64.2.( x − y )( x + y ) =xy ( x − y )a b +b ab−a64.1.=yx+yx=ab( a−x y+y xx− yx y+y xx− y==aba+ b=aba b +b a, ч.т.д.xyx y−y xxy( x−( a − b) =b )( a + b )( x + y) =y )( x + y )xyx− y=xyx y−y x, ч.т.д.65.1.

Рассмотрим последовательность двузначных натуральных чисел(аn): 10, 11, ..., 99.а1=10, аn=99 и d=1.Т. к. всего чисел от 10 до 99 – 90 штук, тоS 90 =a1 + a 9010 + 99⋅ 90 = 109 ⋅ 45 = 4905.⋅ 90 =22Ответ: сумма всех двузначных чисел равна 4905.17665.2. Рассмотрим последовательность всех трехзначных чисел (аn): 100,111, ..., 999.а1 =100, аn =999 и d=1.т. к. всего чисел от 100 до 999 – 900 штук, тоSn =a1 + a n1099 ⋅ 900100 + 999= 1099 ⋅ 450 = 494550.⋅n =⋅ 900 =222Ответ: сумма всех трехзначных чисел равна 494550.66.1. аn=3n+5, а1=3⋅1+5=8;а29 =3⋅29+5=87+5=92; а40 =3⋅40+5=125;8 + 1258 + 92⋅ 40 −⋅ 29 =2660–50⋅29=2660–1450=1210.22Ответ: S =1210.66.2. аn =4n+2.а1 =4⋅1+2=6; а2 =4⋅2+2=10;а25 =4⋅25+2=100+2=102; а35 =4⋅35+2=140+2=142.т.е.

d = а2 – а1; d = 10–6=4.Всего чисел n=35–24=11.a +a102 + 142Sn=S11= 25 35 d =⋅11=122⋅11=1342.22Ответ: 1342.67.1. d=3, а a1 =3.S=S40–S29=3n ≤150, n ≤50.2a + d ⋅ 493(2 + 49) ⋅ 502 ⋅ 3 + 3 ⋅ 49=S 50 = 1⋅ 50 =⋅ 50 =222=3⋅51⋅25=153⋅25=3825.Ответ: 3825.67.2. а1=5 и d=5.5n ≤300, n ≤60.2 ⋅ 5 + 5(60 − 1)10 + 5 ⋅ 59S60 =⋅ 60 =⋅ 60 =22(10 + 295) ⋅ 60== 305 ⋅ 30 = 9150.2Ответ: 9150.1 + 200⋅ 200 = 20100 – сумма всех чисел от 1 до 200.220 + 200S10 =⋅ 10 = 1100 – сумма всех чисел, делящихся на 20.2Sn = S200 – S10 = 19000.Ответ: 19000.68.1.

S 200 =1771 + 100⋅ 100 = 5050 – сумма всех чисел от 1 до 100.25 + 100S 20 =⋅ 20 = 1050 – сумма всех чисел, делящихся на 5.2Sn = S100 – S20 = 4000.Ответ: 4000.69.1. Пусть число содержит a десятков и b единиц, тогда 10а +b+10b+а=11(а+b), а 11(а+b):11=a+b.Т. о. утверждение доказано.69.2. Пусть число записано с помощью цифры x, тогда 100х+10х+х=111х, а 111х:37=3х.Т. о. утверждение доказано.70.1. Пусть n и (n+1) – два последовательных натуральных числа, тогда2n+2n+1=2n(1+2)=3⋅2n , т.

к. n≥1, то 2n:2 и т. о. 3⋅2n:6.70.2. Пусть n, (n+1), (n+2) – три последовательных натуральных числа.68.2. S100 =nn+12 +2178n+2+2nnn=2 (1+2+4)=7⋅2 , а 7⋅2 :7=2n, т. о. утверждение доказано.УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ2271.1. (1–2x)(4x +2x+1)=8(1–x )(x+2);3323321–8x =8(x–x +2–2x ); 1–8x =8x–8x +16–16x ;216x –8x–15=0; D=64+15⋅4⋅16=1024.8 + 32 5= .х1=43238 − 32=− .х2=3243 1Ответ: − ; 1 .4 42232371.2.

8(x–2)(x –1)=(4x –2x+1)(2x+1). 8(x –2x –x+2)=8x +1;32328x –16x –8x+16–8x –1=0; 16x +8x–15=0;D=64+15⋅4⋅16=1024.5−8 − 32=− .х1=324−8 + 32 3= .х2=432Ответ: –1,25; 0,75.72.1. (x+1)(x–1)(x–2)–(x2+7x)(x–4)–2=2x;(x2–1)(x–2)–(x3+7x2–4x2–28x)–2–2x=0;x3–x–2x2+2–x3–7x2+4x2+28x–2–2x=0;–5x2+25x=0; x(x–5)=0;x=0 или x–5=0; x=5.Ответ: 0; 5.72.2.

4+(2–x)(x2+5x)–(2–x)(2+x)(1+x)=12x;4+(2x2–x3+10x–5x2)–(4–x2)(1+x)=12x;4+2x2–x3+10x–5x2–(4–x2+4x–x3)–12x=0;4–3x2–x3–2x–4+x2–4x+x3=0; –2x2–6x=0; x(x+3)=0.x=0 или x+3=0; x= –3.Ответ: 0; –3.73.1 x4–2x2–8=0, по т. Виетаx 2 = 4 x = ±2⇒ 22 x = −2 нет решений, т.к. х ≥ 0Ответ: –2; 2.73.2. x4–8x2–9=0, по т. Виетаx 2 = 9 x = ±3⇒ 22 x = −1 нет решений, т.к.

х ≥ 0Ответ: –3; 3.17974.1. x4–7x2+12=0, по т. Виета x 2 = 4  x = ±2⇒ 2 x = 3  х = ± 33 ; − 3.Ответ: –2; 2;4274.2. x –11x +18=0, по т. Виета x 2 = 9  x = ±3⇒ 2 x = 2  х = ± 2Ответ: –3; − 2 ;42 ; 3.275.1. 2x –19x +9=0.D=(–19)2–4⋅2⋅9=361–72=289, D>0;19 ± 289 2 19 − 17 12;x=.= , х=±422⋅2219 + 17x2== 9; х=±3.4х2=Ответ: –3; −1;21; 3.275.2. 3x4–13x2+4=0.D=(–13)2–4⋅3⋅4=169=48=121, D>0.x2=13 ± 11 2 13 − 11 1= , х=±,х=663x2=11 + 13= 4; х=±2.6Ответ: –2; −1;31.31; 2.376.1. (х2 + 4х)(х2 + 4х – 17) + 60 = 0.Пусть х2 + 4х = а; а(а – 17) + 60 = 0; а2 – 17а + 60 = 0;а = 12;а = 5;х2 + 4х – 12 = 0; х2 + 4х – 5 = 0;х = –6, х = 2;х = –5, х = 1Ответ: –6; –5; 1; 2.76.2. (х2 – 5х)(х2 – 5х + 10) + 24 = 0.Пусть х2 – 5х + 5 = а; (а – 5)(а + 5) + 24 = 0;а = 1;а = –1;х2 – 5х + 4 = 0;х2 – 5х + 6 = 0;х = 4, х = 1;х = 2, х = 3.Ответ: 1; 2; 3; 4.18077.1.

Характеристики

Список файлов книги