1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Этонеудивительно, поскольку решения (17.59), (17.60), полученные мето(0)дом возмущения в предположении | δzR |≪ z2 , при z1 → z1f неприменимы. В данном случае положение фокальной точки, задаваемое координатой z2 , необходимо определять непосредственно из квадратногоуравнения (17.54). Один из его корней, имеющий физический смысл,17.11.
О критерии параксиальности119при z1 = z1f имеет значениеz2|z1 =z1f = z2∗ =2n2 z1f,n1 h2 /2R(17.61)показывающее, по какому закону фокальная точка, соответствующая(0)конусу лучей, стремится к z2 = ∞ при h → 0.Теперь имеется возможность определить критерий, выполнение которого обеспечивает достоверность параксиального приближения. Дляэтого заметим, что если крайние лучи гомоцентрического пучка с поперечной координатой r0 (см. рис. 17.28) после преломления пересекаютось z на некотором расстоянии δzR вперёд или назад от точки с коорди(0)(0)натой z2 , то в плоскости z = z2 пересекающиеся лучи вместо светлойточки создадут пятно с радиусомrгеом =r0(0)z2| δzR | .Вспомним, что даже идеальная светлая точка, получаемая по законамгеометрической оптики, вследствие дифракции расплывается в пятно срадиусомλ (0)rдифр =z .2r0 2Понятно, что пучок можно будет считать параксиальным, пока размергеометрического пятна в плоскости изображения не превышает размера дифракционного пятна.
Следовательно, для случаев, когда знаδz R δz R∆θдифрrozLz (0)2Рис. 17.28(0)∆θгеомz2∗z1fzРис. 17.29чение z2 конечно, критерий параксиальности выводится из условияrгеом ≤ rдифр . Приняв | δzR |= r02 /2R, отсюда получаем требование наширину пучка(0)r04 ≤ λR (z2 )2 ,120Глава 17. Геометрическая оптикапри выполнении которого параксиальное приближение справедливо. Для(0)источника с координатой z1 = −∞, когда z2 = z2f = n2 R/(n2 − n1 ),представленное требование приводится к виду( λ )1/4 √ nr02≤.(17.62)RRn2 − n1(0)Когда источник располагается в переднем фокусе, т. е.
z1 = z1f , z2 =∞, и δzR не имеет смысла, для получения критерия параксиальностинеобходимо обратиться к фокальной точке, определяемой координатойz∗2 (17.61). В этом случае преломлённый пучок характеризуется геометрическим углом ∆θгеом = r0 /z2∗ и углом дифракции ∆θдифр = λ/2r0(см. рис. 17.29). При этом требование ∆θгеом ≤ ∆θдифр является условием применимости параксиального приближения и сводится к( λ )1/4 ( n n)1/4r01 2≤.2RR(n2 − n1 )(17.63)Учитывая, что множители при (λ/R)1/4 практически всегда мало отличаются от единицы, искомый критерий можно представить в видепростого требования( λ )1/4r0.(17.64)≤RRНапример, при λ = 0,5 · 10−4 см, R = 5 см, нужно иметь r0 ≤ (1/20)R.В дальнейшем везде принимается, что полученный критерий выполняется и применение нулевого приближения для определения координаты z2 изображения оправданно.
Это, в частности, позволяет считать,что пересечение всех падающих лучей с поверхностью и их преломлениепроисходят в одной плоскости, проходящей через точку O на сфере.17.12.Центрированные оптические системыБольшинство используемых на практике оптических инструментовотносится к центрированным системам, у которых центры кривизнывсех сферических преломляющих и отражающих поверхностей расположены на одной прямой, называемой главной оптической осью.
Гомоцентрический пучок параксиальных лучей при прохождении через центрированную систему остается почти гомоцентрическим, поэтому для17.12. Центрированные оптические системы121каждой точки протяжённого светящегося предмета система формируетстигматическое (резкое) изображение.В оптической системе сферические (и плоские) поверхности являются границами раздела различных однородных сред (материал линзи промежутки между ними). Траектории всех лучей, распространяющихся в такой системе, представляют собой ломаные, вообще говоряпространственные, составленные из отрезков прямых. Нам достаточноограничиваться рассмотрением только тех лучей (исходящих из светящейся точки), которые лежат в выделенной радиальной плоскости(x, z), составленной главной оптической осью и светящейся точкой (меридиональные лучи).12 После всех преломлений (и отражений) на границах раздела каждый из этих лучей будет оставаться в радиальнойплоскости и, таким образом, соответствующая ломаная также будетплоской.
Причём, как мы убедились в п.2 § 17.10, точки излома траектории луча можно считать принадлежащими соответствующим плоскостям, перпендикулярным оси z и касательным к сферическим границамраздела. Эти плоскости дальше, как и на рис. 17.20, будем отмечатьсимволом Σ с соответствующими номерами и, вслед за Бутиковым, называть опорными плоскостями.Любой прямой участок параксиального луча в плоскости (x, z) определяется заданием координаты x и малого угла наклона θ = dx/dz прификсированном значении координаты z. Примем промежуточные обо-Σix i = x’iΣ i+1θ’i = θ i+1θi z inixi+1 = x’i+1z i+1n’i = n i+1Sizn’i+1Si+1Рис.
17.30значения xi , θi и x′i , θi′ для параметров луча на входе в плоскость Σi ина выходе из неё, а также аналогичные обозначения ni , n′i для показателя преломления среды (см. рис. 17.30).13 Тогда изменение параметров12 Меридиональные лучи определяют положения всех без исключения фокальныхточек, возникающих в оптической системе от рассматриваемой светящейся точки.13 Заметим сразу, что от этих обозначений мы отойдём, когда будем обращаться122Глава 17. Геометрическая оптикалуча при пересечении границы Σi можно представить в виде линейногопреобразованияx′i = xi ,(17.65)n′ −nn′i θi′ = ni θi − iRi i xi .Координата луча x при этом остается неизменной, а угол θ испытываетскачок, определяемый формулой (17.43).
Заметим, что вторая строчка преобразований (17.65) вместо θ содержит произведение показателяпреломления на угол θ. Именно пару (x, η), где η = nθ, целесообразноиспользовать в качестве параметров прямого отрезка луча (в чём мыубедимся чуть ниже).Введя величинуPi = (n′i − ni )/Ri ,называемую оптической силой преломляющей поверхности Ri , преобразование (17.65) запишем в матричном виде ′ ′ 1 x 0, ′i = Ri x′i ,(17.66)Ri = ηi ηi −P1 1где квадратная матрица Ri , преломляющая матрица поверхности Si ,определяется величиной Pi . Благодаря принятию nθ в качестве углового параметра луча определитель этой матрицы не зависит от показателей преломления ni , n′i и всегда равен единице.
Свойство |Ri | = 1оказывается весьма важным при проведении расчетов.Обратимся к преобразованию параметров луча при переходе однородного оптического промежутка между опорными плоскостями Σi , Σi+1с координатами zi , zi+1 и показателем преломления n′i = ni+1 (рис.17.30). Здесь угловой параметр луча остается неизменным (ηi+1 = ηi′ ), акоордината x получает приращение: xi+1 = xi + θi′ (zi+1 − zi ). Используявместо геометрической (zi+1 −zi ) так называемую приведенную толщину оптического промежуткаℓi = (zi+1 − zi )/n′i ,данное преобразование можно представить в виде ′xi+1 1 ℓi = Ti+1,i x′i ,.Ti+1,i = ηi+1 η 0 1i(17.67)к целой оптической системе. Её входную и выходную опорные плоскости и соответствующие сферические поверхности всегда будем отмечать цифрами 1 и 2.
Аналогично с показателями преломления и параметрами луча: перед оптической системойэто будут n1 , x1 , θ1 , а за ней — n2 , x2 , θ2 (т. е. никаких n′2 , x′2 и θ2′ !).17.12. Центрированные оптические системы123Матрица Ti+1,i с двумя индексами называется матрицей оптическогопромежутка и определяется его приведенной толщиной ℓi . Индексыу матрицы Ti+1,i для оптического промежутка от Σi до Σi+1 в общемслучае смотрятся не очень элегантно. Но в процессе реальных вычислений запись, например, T32 , не представляется излишне тяжеловесной.Поэтому два индекса для матрицы T мы здесь сохраним.Параметры луча после прохождения последовательности опорныхплоскостей определяются с помощью общей матрицы преобразованияM оптической системы. Получается она путем перемножения соответствующих матриц R и T , взятых в определённом порядке (отражающие сферические поверхности мы здесь не рассматриваем).
Например,для оптической системы, состоящей всего из двух сферических поверх-Σ2Σ1n1n2nz0OS1zS2Рис. 17.31ностей, разделённых оптическим промежутком (толстая линза) (см.рис. 17.31), матрица преобразования 11 ℓ 100,M = R2 T21 R1 = −P2 1 0 1 −P1 1содержащая три сомножителя, приобретает вид1 − P1 ℓℓ.M=(17.68)−(P1 + P2 − P1 P2 ℓ) −P2 ℓ + 1Обращаем внимание на рис. 17.31, в котором обозначения уже соответствуют целой оптической системе. Показатели преломления передлинзой и за ней здесь n1 , n2 , а для материала линзы — n. При этомпараметры линзы P1 , P2 и ℓ, входящие в матрицу M (17.68), имеютследующие значенияn − n1n2 − nz0P1 =, P2 =, ℓ= .(17.69)R1R2n124Глава 17.
Геометрическая оптика17.13.Тонкая линзаОбратимся к предельному случаю ℓ = 0, соответствующему тонкойлинзе, когда результат двух преломлений можно приписать одной опорной плоскости. При этом матрица приобретает вид10M=(17.70)−(P1 + P2 ) 1 ,совпадающий с преломляющей матрицей (17.66) некоторой поверхностиS, обладающей суммарной преломляющей силой P = P1 + P2 .Следовательно, так же как для одной преломляющей поверхности,можно определить положения двух главных фокусов. Их координатыn1n2z1f = −, z2f =,(17.71)P1 + P2P1 + P2отсчитываемые от единой плоскости линзы, можно определить непосредственно из определения главных фокусов, а можно воспользоваться результатами (17.77), (17.79) (см. ниже), имея в виду значения A =1, C = −(P1 + P2 ), D = 1 для элементов матрицы M (17.70) в данномслучае.
С учётом формул (17.71) матрицу тонкой линзы полезно представить в виде 1010=M=n1 /z1f 1 −n2 /z2f 1 .Геометрическое построение изображения предмета, создаваемого линзой,линзаϕ2z изобрсобирающаялинзаP1ϕ1F1zz предм On1F2n2P’F1OF2f 2 ∆lzPP’1z предмz изобрб)а)Рис. 17.32повторяет процедуру, представленную на рис. 17.26. Здесь ею воспользуемся для получения мнимого изображения, создаваемого собирающей17.13.Тонкая линза125линзой (см. рис.
17.32(а)). Дополнительно к двум обязательным лучам,служащим для построения изображения, здесь изображён также луч,падающий из крайней точки предмета на центр линзы, и его продолжение. Соответствующие углы на рисунке обозначены как φ1 и φ2 . Их различие связано с различием n1 , n2 и для них справедливо соотношениеn1 sin φ1 = n2 sin φ2 . (В этом нетрудно убедиться чисто геометрически,но это очевидно и как результат прохождения наклонного луча черезплоскопараллельную пластину, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
