1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 16
Текст из файла (страница 16)
17.12Схема процесса представлена на рис. 17.12. Здесь граница z = 0разделяет области с показателями n1 , n2 , причём, для определенности,принято, что n1 > n2 . Гомоцентрический пучок исходит из точки L, находящейся на оси z с координатой zL < 0. Пучок этот осесимметричен.Лучи, показанные на рисунке, принадлежат определённой радиальнойплоскости, проходящей через ось z.Сначала мы сосредоточим внимание на лучах, падающих на границураздела под определённым углом, например, θ1 .
(То есть сгруппируемвсе падающие лучи по их углам падения.) Совокупность этих лучейсоставляет коническую поверхность с вершиной L и углом θ1 при вершине. После преломления эта совокупность лучей превращается также102Глава 17. Геометрическая оптикав конический пучок. Но теперь его вершиной является точка L′1 , а уголпри вершине равен θ1′ . Таким образом, весь конический пучок лучей,падающих под фиксированным углом θ1 , после преломления образуетконический пучок с углом при вершине L′1 , равным θ1′ , и является гомоцентрическим.
Следовательно, точка L′1 является изображением точкиL, порождённым всеми лучами, падающими под углом θ1 .Конические пучки лучей, исходящих из L под другими углами, после прохождения границы раздела также превращаются в гомоцентрические пучки, но каждый из них имеет свой центр L′ , не совпадающийс L′1 . Набор всех этих точечных изображений составляет отрезок оси zот z0′ = (n2 /n1 )zL до z ′ = 0, выделенный на рисунке. Левый край этого отрезка соответствует лучам, падающим под малыми углами θ ≪ 1и обозначен буквой L′0 , а правому краю соответствует угол полноговнутреннего отражения θ∗ , существующий в рассматриваемом случаеn1 > n2 . Отметим, что в оптике подобные линии точечных изображений часто называют фокальными линиями, а сами точки — фокальными точками.
Следовательно, полученная в рассматриваемом примерепервая фокальная линия представляет собой отрезок прямой.3∗ . Впоследствии, при оценке величины сферической аберрации тонкой линзы,нам понадобится функция z ′ (θ), определяющая положение фокальной точки, соответствующей конусу лучей, от угла при его вершине для малых значений θ. Дляеё нахождения воспользуемся геометрическим соотношением z ′ tg θ ′ = zL tg θ (см.рис. 17.12) и законом Снеллиуса n1 sin θ = n2 sin θ ′ . Выразив тангенсы,входящие в√первое из этих соотношений, через синусы в виде tg α = sin α/ 1 − sin2 α, отсюдаполучаем для произвольных θ :n2 ( 1 − n212 sin2 θ )1/2n1z′ =zL ,n12 =.n1n21 − sin2 θДля бесконечно малых углов имеемz0′ = (n2 /n1 )zL ,как уже отмечалось в связи с точкой L′0 на рис.
17.12. При небольших отклоненияхθ от значения θ = 0 искомый результат следует из разложения( 1 − n2 sin2 θ )1/2112= 1 + (1 − n212 )θ2 .21 − sin2 θПолучающееся выражениеn2 (1 n22 − n21 2 )z′ =1+θ zLn12n22можно представить в виде суммыz ′ = z0′ + δz,гдеδz =x2p n22 − n211 n22 − n21 2θ zL =2 n1 n22zL n1 n2(17.40)17.8. Гомоцентричность и астигматизм оптического пучка103имеет смысл смещения рассматриваемой фокальной точки (или соответствующего «изображения») относительно точки z0′ нулевого приближения.
В последней изформул (17.40) δz выражено через поперечную x-координату точки пересечения Pпадающего луча с границей раздела z = 0, т. е. xp = −θzL . Видно, что смещение δzпо порядку величины определяется характерным размером x2p /2zL . Завершающиеслова допишу позже.4. Теперь обратимся к лучам, лежащим в фиксированной радиальной плоскости и обладающим разными значениями θ. На рис.
17.12изображены два таких луча с углами падения θ1 , θ2 , отличающимися на конечную величину ∆θ, и результаты их преломления. Видно,что их продолжения имеют одну точку пересечения S12 , не лежащуюна оси z. Однако такие точки, через которые проходят всего по два лучаи потому изображениями не являются, интереса не представляют. Иноедело — соответствующие точки пересечения, порожденные падающими лучами в бесконечно малом интервале углов падения, например, отθ1 до θ1 + δθ1 . Эти пересечения составляют одну физическую точкуизображение с бесконечно малым размером, на рис.
17.13 отмеченнуюсимволом S1 . Понятно, что эта точка лежит на продолжении преломxS*θ'1θ*θ1LS1OS0zРис. 17.13лённого луча, идущего под углом θ1′ . Её z-координата, как координататочки пересечения соответствующих прямых, выражается формулойn2 ( cos θ1′ )3z1 =zL .(∗)n1 cos θ1Для её вывода обратимся к рис. 17.13 и уравнения рассматриваемых прямыхзапишем в видеx = (−zL ) tg θ1 + z tg θ1′иx = (−zL ) tg(θ1 + δθ1 ) + z tg(θ1′ + δθ1′ ).104Глава 17. Геометрическая оптикаПриравняем их правые части, предварительно тангенсы из правой формулы разложив в ряд Тейлораtg(θ1 + δθ1 ) = tg(θ1 ) +1δθ1 ,cos2 θ1tg(θ1′ + δθ1′ ) = tg(θ1′ ) +1δθ′ .cos2 θ1′ 1После сокращений получаем равенствоzLПодставив сюда связь11δθ1 = zδθ ′cos2 θ1cos2 θ1′ 1n1 cos θ1 δθ1 = n2 cos θ1′ δθ1′между δθ1 и δθ1′ , следующую из закона преломления n1 sin θ1 = n2 sin θ1′ , приходимк формуле ( * ).Естественно, формулу ( * ) можно легко переписать, выразив cos θ1′ через функции от угла θ1 .
Но практически в этом необходимости нет,поскольку мы не будем задерживаться на подробном исследовании рассматриваемого примера. Отметим лишь, что совокупность точек S1 извсех радиальных плоскостей составляет окружность с центром на осиz. Она представляет собой вторую фокальную линию для полученногоастигматического пучка. При изменении угла θ1 от 0 до критического угла полного внутреннего отражения θ∗ соответствующие изображения S1 перемещаются по кривой в радиальной плоскости, схематическипредставленной на рис. 17.13 штриховой линией (каустическая линия).Для её построения необходима формула ( * ). Но крайние её точки S0 иS∗ , лежащие соответственно на лучах θ1′ = 0 и θ1′ = π/2, легко определяются из определения. Отметим, что точка S0 совпадает с точкой L′0первой фокальной линии.
Это означает, что когда исходящий из точки L пучок является бесконечно узким, падающим на границу разделаприблизительно по нормали, обе фокальные линии сливаются в однуточку L′0 ; при этом преломлённый пучок остается гомоцентрическим.Но если такой пучок падает на границу раздела наклонно, то послепреломления он уже станет астигматическим. Удобно этот падающийпучок представлять в виде пучка, состоящего из лучей между коническими поверхностями θ = θ1 , θ = θ1 + δθ и радиальными плоскостямис углом между ними δα. Тогда фокальными линиями преломлённогоастигматического пучка являются отрезки бесконечно малых длин δL′ ,δS, расположенные на конечном расстоянии друг от друга, равном расстоянию между точками L′1 , S1 из рис. 17.13. Видно, что чем большеугол падения θ1 , тем эта астигматическая разность увеличивается.Сказанное легко иллюстрируется результатом наблюдения.
Если рассматривать предметы, находящиеся, например, под водой, в направлении, близком к нормальному по отношению к поверхности воды, то17.9. Мнимое изображение, создаваемое тонкой призмой105изображение сохраняет чёткость, так как астигматизм в этих условиях мал; при рассматривании под косыми углами чёткость изображенияпортится из-за астигматизма.17.9.Мнимое изображение, создаваемое тонкой призмойОбратимся к примеру мнимого изображения, получаемого в результате двух преломлений на плоских границах тонкой призмы.Пусть пучок от светящейся прямой линии падает на тонкую призмус малым углом α ≪ 1 между преломляющими гранями, как показанона рис. ??.
Светящаяся линия и призма перпендикулярны плоскостиx(n-1)αhL’Lαϕaпрошедшийпучокzo(n-1)αРис. 17.14(x, z), точка L задает положение источника света; падающий на призмупучок и результат его преломления на рисунке затемнены. Как следуетиз предыдущего параграфа, падающий пучок должен быть достаточноузким; для этого мы примем, что высота призмы h мала по сравнениюс расстоянием a (h ≪ a) и, следовательно, все рассматриваемые на рис.17.14, рис.
17.15 углы малы.Известный результат для этого примера утверждает, что, во-первых,после прохождения призмы пучок отклоняется на угол (n − 1)α и, вовторых, как бы исходит из мнимого изображения L′ , расположенногона удалении ∆l = a(n−1)α, от L, как показано на рис. 17.14. Посколькуэтот результат часто используется при изучении явления интерференции, мы здесь его получим более аккуратно, чем обычно, не игнорируявстречающиеся на пути некоторые тонкости.106Глава 17. Геометрическая оптикаПервую часть ответа легко усмотреть из соответствующих геометрических построений для лучей, представленных на фрагментах (а), (б)рис.
17.15, отличающихся соотношением между углами φ1 и α. Здесьсимволами φ, φ1 , и φ2 обозначены углы наклона от направления осиxβAϕxnαBβ’ϕ2β’nβBϕ2αAϕ1ϕϕ1б)а)Рис. 17.15z соответственно для падающего луча, луча, преломлённого на вертикальной грани и луча, прошедшего через обе грани призмы. Направление, снабжённое векторным символом n, есть направление нормали квыходной грани призмы. Угол падения единожды преломлённого лучана наклонную грань обозначен β, а соответствующий угол преломления β ′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
