1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Его обычно принятопредставлять в виде()2grad ψ(r) = n2 (r).(17.8)4. Приведенные выше качественные рассуждения подразумевали,что исследуемые поля (17.6) удовлетворяют уравнениям Максвелла (17.1).Выясним теперь условия справедливости этого требования, подставиввыражения (17.6) в соответствующие уравнения. Поскольку роторы полей, входящих в (17.6), определяются формулой{}rot Ê = rot Ê0 (r) + ik0 [grad ψ × Ê0 (r)] eik0 ψ(r)и её аналогом для B̂, результат подстановки легко приводится к виду{}ik0 [grad ψ × Ê0 (r)] − B̂0 (r) = − rot Ê0 (r),(17.9){}ik0 [grad ψ × B̂0 (r)] + ϵ(r)Ê0 (r) = − rot B̂0 (r).В рассматриваемом случае слабонеоднородной среды (17.3) левые части полученных уравнений в L/λ0 раз превышают правые. Тогда в первом приближении эти правые части вообще можно отбросить и дляфункций Ê0 (r), B̂0 (r) получить систему однородных уравнений (ужеалгебраических)[grad ψ × Ê0 (r)] − B̂0 (r) = 0,(17.10)[grad ψ × B̂0 (r)] + ϵ(r)Ê0 (r) = 0.(17.11)3 Понятно, что приведенные соображения не могут рассматриваться как выводуравнения эйконала.
Это сделано в следующем пункте.17.2. Уравнение эйконала81Очевидным следствием этих уравнений являются соотношенияgrad ψ · Ê0 (r) = 0,grad ψ · B̂0 (r) = 0,Ê0 (r) · B̂0 (r) = 0,(17.12)устанавливающие ортогональность grad ψ с полями Ê и B̂ в любой точке пространства. Таким образом, в приближении геометрической оптики тройка векторов grad ψ(r), E(r, t), B(r, t) составляют правую ортогональную систему векторов, аналогичную векторам k, E, B в плоскоймонохроматической волне.Читателю известно, что однородная система (17.10), (17.11) алгебраических уравнений относительно компонент векторов Ê0 , B̂0 допускаетнетривиальные решения лишь при условии равенства нулю определителя системы.
В данном случае это условие выявляется и без вычисленияопределителя. Для этого нужно B̂0 (r) из уравнения (17.10) выразитьчерез Ê0 (r) и подставить в (17.11):[]grad ψ × [grad ψ × Ê0 (r)] + ϵ(r)Ê0 (r) = 0.Раскрыв двойное векторное произведение и воспользовавшись первымиз условий (17.12), отсюда получаем уравнение для Ê0 (r)[(grad ψ)2 − ϵ(r)]Ê0 (r) = 0и, как следствие, искомое условие в виде требования(grad ψ)2 = ϵ(r),которое выше уже было названо уравнением эйконала. Оно задает функцию ψ(r), позволяющую определить систему поверхностей постоянныхфаз из условияψ(x, y, z) = const .Последовательная совокупность волновых поверхностей дает картинураспространения волны и является, таким образом, первым из двух способов описания волны в геометрической оптике.
Другой, более удобныйспособ описания волнового поля предусматривает использование световых лучей, представляющих собой траектории, ортогональные фронтамсветовой волны. Следовательно, в каждой точке пространства направление касательной к световому лучу совпадает с направлением вектораgrad ψ.
Таким образом, на языке векторного анализа световые лучи —это силовые линии векторного поля grad ψ.82Глава 17. Геометрическая оптикаДля иллюстрации вышесказанного ниже рассматривается простейший пример распространения волны, не допускающий точного решения,но позволяющий получить результаты как первого, так и второго приближений геометрической оптики. Результаты, относящиеся к первомуприближению, составляют содержание следующего параграфа.17.3.Пример прохождения волны в неоднородное полупространствоПусть плоская монохроматическая ТЕ — волна с волновым вектором k0 = k0 (cos φ0 ex +sin φ0 ey ) из пустоты (область 1) наклонно падаетна полупространство x ≥ 0, заполненное средой с диэлектрической проницаемостью ϵ(x), зависящей только от одной координаты (область2).Здесь интерес для нас представляет волна, проходящая через это неоднородное полупространство.В точной постановке задача определения поля Ê2 (x, y) = Êz (x, y)ezв полупространстве x > 0 сводится к уравнению (17.4)∆Êz (x, y) + ϵ(x)k02 Êz (x, y) = 0.(17.13)Для произвольной ϵ(x) его решение неизвестно.При использовании подхода геометрической оптики искомое волновое поле, представляемое в видеÊz (x, y) = Ê2 (x, y)eik0 ψ(x,y) ,(17.14)в первом приближении описывается эйконалом ψ(x, y).
В данном случаеуравнение (17.8) принимает вид( ∂ψ )2∂x+( ∂ψ )2∂y= n2 (x).(17.15)В качестве условия на границе x = 0 примемsin φ0 · y = ψ(0, y),(17.16)т. е. совпадение фаз падающей и проходящей волн (после сокращенияk0 .)Нелишне здесь убедиться, что условие (17.16) эквивалентно закону преломления17.3. Пример прохождения волны83Снеллиусаsin φ0 = n(0) sin φ(0),где φ(0) — угол преломления луча на границе x = 0. Для этого достаточно приравнять производные по y от обеих частей равенства (17.16) и заметить, что∂ψ(0, y)= grady ψ x=0 =| grad ψ | x=0 · sin φ(0) = n(0) sin φ(0).∂yРешение задачи (17.15), (17.16) напрашивается в видеψ(x, y) = F (x) + sin φ0 y,√где F (0) = 0, F ′ = ± n2 (x) − sin2 φ0 . Волне, уходящей от границыx = 0 вправо, соответствует знак «плюс», поскольку F ′ = gradx ψ.
Следовательно, искомое решение для произвольного распределения n(x)есть∫ x√ψ(x, y) =n2 (ξ) − sin2 φ0 dξ + sin φ0 y.(17.17)0Теперь можно приступить к геометрическому описанию прошедшейволны. Начнём с фазовых поверхностей ψ = ψi = const . Им соответствуют кривые в плоскости (x, y), задаваемые уравнением∫ x√()/y(x) = ψi −n2 (ξ) − sin2 φ0 dξsin φ0 .0Направления лучей определяются векторным полем√grad ψ = n2 (x) − sin2 φ0 ex + sin φ0 ey(17.18)и в каждой точке характеризуются углом φ, для которогоsin φ =grady ψsin φ0=| grad ψ |n(x)зависит только от x-координаты точки наблюдения.
Получается, такимобразом, что в любой точке плоскости x = x0 угол φ(x0 ) подчиняетсяусловиюn(x0 ) sin φ(x0 ) = sin φ0 ,аналогичному закону преломления Снеллиуса. То есть угол φ(x0 ) равенуглу преломления при падении луча под углом φ0 из пустоты на границу среды с показателем преломления n(x0 ) (как будто передний слой84Глава 17. Геометрическая оптикаyлnn2n11Oϕ0xϕ(0)k0Рис. 17.20 < x < x0 вовсе отсутствует). Отсюда на качественном уровне нетрудно представить изменение характера траектории луча в зависимостиот вида кривой n(x), как схематически показано на рис. 17.2.
Здесьсплошные линии с номерами 1, 2 изображают траекторию луча соответственно для зависимостей n1 (x) и n2 (x), проведенных штриховымилиниями и отличающихся характером перехода от значения n(0) > 1при x = 0 до асимптотического значения n∞ = 1. В первом случае этотпереход имеет монотонный характер, а во втором монотонность нарушается. Соответствующие траектории 1 и 2 чётко откликаются на этоизменение.Траектория луча, как силовая линия векторного поля (17.18), определяется уравнениемdyлsin φ0=√.dxn2 (x) − sin2 φ0Отсюда для луча, начинающегося в точке (0, y0 ), имеем∫yл = y0 +0xsin φ0√dξ.n2 (x) − sin2 φ0(17.19)Представленные на рис. 17.2 траектории 1 и 2, проходящие через точку(0, 0), соответствуют именно этому решению (17.19).17.4. Второе приближение17.4.85Второе приближение геометрическойоптики для конкретного примераВ § 17.1 для простейшего случая распространения волны с полемÊ = Êz (x, y)ez в среде с диэлектрической проницаемостью ϵ = ϵ(x, y)показано, что уравнение для Êz (x, y) имеет вид уравнения Гельмгольцас переменным коэффициентом (17.4).
Но даже в случае, когда ϵ = ϵ(x)зависит только от одной координаты, как в примере из предыдущегопараграфа, решение соответствующего уравнения∂ 2 Êz∂ 2 Êz++ k02 ϵ(x)Êz = 0∂x2∂y 2(17.20)построить сложно. Поэтому обратимся к приближению геометрическойоптики. Решение для Êz (x, y) будем искать в видеÊz (x, y) = Ê2 (x, y)eik0 ψ(x,y) ,(17.21)содержащем две неизвестные функции: Ê2 (x, y) и ψ(x, y). Подставиввыражение (17.21) в уравнение (17.20) и сгруппировав слагаемые постепеням большого параметра k0 , получим[]∆Ê2 (x, y) + ik0 2 grad Ê2 (x, y) · grad ψ + Ê2 (x, y)∆ψ +[( ∂ψ )2 ( ∂ψ )2 ]+k02 ϵ(x) −−Ê2 (x, y) = 0.∂x∂yНаличие двух свободных функций дает возможность приравнять нулюглавный член (последнее слагаемое левой части) этого уравнения.
Врезультате мы получаем независимое уравнение для функции ψ(x, y)(уравнение эйконала)( ∂ψ )2 ( ∂ψ )2+= ϵ(x).∂x∂yОстающиеся слагаемые дают уравнение для комплексной амплитудыэлектрического поля(2 grad Ê2 · grad ψ + Ê2 ∆ψ) + (1/ik0 )∆Ê2 = 0.Отбросив последний малый член, отсюда получаем уравнение(2 grad Ê2 · grad ψ + Ê2 ∆ψ) = 0(17.22)86Глава 17. Геометрическая оптикавторого приближения геометрической оптики для рассматриваемой здесьчастной задачи.В конкретном примере из предыдущего параграфа, в котором√√d22grad ψ = n (x) − sin φ0 ex + sin φ0 ey , ∆ψ =n2 (x) − sin2 φ0 ,dxэто уравнение принимает вид√(√∂ Ê2∂ Ê2 )d2n2 (x) − sin2 φ0+ sin φ0n2 (x) − sin2 φ0 = 0.+ Ê2∂x∂ydxПодчеркнутые члены объединим в слагаемое()1/4 ∂ ( 2)1/4[ n (x) − sin2 φ02 n2 (x) − sin2 φ0Ê2 (x, y)].∂xТогда уравнение приобретает форму∂sin φ0∂∂Λ ∂Λ dyлΛ+ ()1/2 ∂y Λ = ∂x + ∂y dx = 0,2∂x2n (x) − sin φ0(17.23)эквивалентную закону сохранения dΛ/ds = 0 величины в квадратнойскобке предыдущего выражения вдоль луча (17.19), проходящего черезпроизвольную точку yл = y0 в плоскости x = 0 :()1/4Λ(x, y)y=yл (x,y0 ) = n2 (x) − sin2 φ0Ê2 (x, yл (x, y0 )) =(17.24)( 2)1/4= n (0) − sin2 φ0Ê2 (0, y0 ).Константа Ê2 (0, y0 ), входящая в правую часть (17.24), выражается через амплитуду падающей волны соответствующей формулой Френеля(7.47)для амплитуды T E — волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
