1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Её следует рассматривать только вместе с силой, действующей на заряд со стороны внешнего поля, причем по величине она должна быть мала по сравнению споследней.Для выяснения условий, при которых сила торможения (16.47) удовлетворяет названному требованию, обратимся к движению заряда вовнешнем поле. При малых скоростях уравнение движения без учёта силы торможения имеет видemv̇ = eE + [v × B].cПродифференцировав по времени, отсюда получаем выражение длявторой производной скорости по времени, в сопутствующей системе отсчёта равноеeev̈ = Ė +[v̇ × B].mmc60Глава 16.
Излучение релятивистских зарядовПодставив сюда v̇ = eE/m, получаемv̈ =e2eĖ + 2 [E × B].mm cСоответственно этому сила торможения (16.47) будет состоять из двухчленов:2e42e3Ė+fт =[E × B].(16.48)3mc33m2 c4Если в качестве внешнего поля примем поле электромагнитной волны частоты ω, то Ė = ∂E/∂t пропорциональна ωE и, следовательно,e3 ωe4первый член порядка величиныE; второй же — порядка 2 4 EB.3mcm cПоэтому условие малости сил торможения по сравнению с действующейна заряд внешней силой eE даёт, во-первых:e2ω ≪ 1,mc3или, вводя длину волны ∼ c/ω,λ≫e2.mc2(16.49)Таким образом, формула (16.47) для силы торможения излучениемприменима только в том случае, если длина падающей на заряд волны велика по сравнению с «радиусом» заряда e2 /mc2 (по сравнениюс классическим радиусом электрона re в случае электрона).
Видно отсюда, что расстояния порядка e2 /mc2 оказываются той границей, закоторой электродинамика приходит в противоречие сама с собой.Во-вторых, сравнивая второй член в силе торможения (16.48) с силой eE, находим условиеm2 c4B≪.(16.50)e3Таким образом, необходимо также, чтобы само поле было не слишкомвелико. Поля порядка (mc2 /e2 )2 e тоже являются границей, за которойклассическая электродинамика приводит к внутренним противоречиям.Напомним во избежание недоразумений, что полученные ограничения относятся к той системе отсчета, в которой частица в данный момент покоится.16.7. Сила торможения и баланс энергии при излучении16.6.61Сила торможения и балансэнергии-импульса при излучении1. Знание силы торможения позволяет приступить к установлениюсвязи между теми двумя энергетическими характеристиками излучения, которые назывались в начале предыдущего параграфа.√Для этого заметим, что потеря механической энергии Eмех = mc2 / 1 − v 2 /c2заряда за счёт излучения может происходить только в результате действия силы торможения.
Мощность (fт · v), развиваемая этой силой,однозначно определяет скорость изменения энергии Eмех за счёт излучения:dEмех= fт (t′ ) · v(t′ ).(16.51)dt′Используя точное выражение (16.47) для силы торможения излучением, справедливое в сопутствующей системе отсчета, из (16.51) получимнезависимое соотношение для скорости потери энергии на излучение−) 2e2 ( ′ )2 2e2 d ( ′)dEмех2e2 ( ′′v̈(t)·v(t)= 3 v̇(t ) − 3 ′ v(t ) · v̇(t′ ) ,=−dt′3c33c3c dtкоторое можно представить в виде следующего баланса энергии приизлучении:dEмехdEdEB−= ′+.(16.52)dt′dtdt′Отсюда видно, что скорость потери энергии на излучение не совпадаетс мощностью излучения, причем разница между ними прячется в видеэнергии поля в ближней зоне (буферное поле по Мешкову-Чирикову ).Видно, что скорость передачи энергии буферному полю определяетсявыражением)dEB2e2 d (= − 3 ′ v(t′ ) · v̇(t′ ) .(16.53)′dt3c dtПодчеркнём еще раз, что выражения (16.47), (16.53) справедливы дляслучая v ≪ c, для которого, заметим, dt′ и dτ равны.2.
Теперь несложно этот баланс энергии (16.52) обобщить для релятивистских скоростей в виде четырёхмерного баланса энергии-импульса,включающего в себе 4-силу торможения fтi , 4-вектор скорости передаiчи энергии-импульса буферному полю WB, а также известный нам 4iвектор P (16.25).62Глава 16. Излучение релятивистских зарядовДля выполнения этой задачи вспомним, во-первых, что любая 4-силаимеет структуру, определяемую формулой (15.45). Отсюда следует, чтопри v/c ≪ 1 искомая 4-сила()fтi = (1/c)(fт · v), fт(16.54)складывается из элементов, для этого случая уже определённых выражением (16.47).
Во-вторых, соотношение (16.52) перепишем с использованием определения (16.51) и выражения (16.53) в виде))1( ′1 dE1 d ( 2e2f (t ) · v(t′ ) = −+v(t′ ) · v̇(t′ )(16.55)′′3cc dtc dt 3cи заметим, что каждый элемент этого равенства представляет собойвременную компоненту соответствующего 4-вектораfтi , −P i иd ( 2e2 dui ).dt′ 3c3 dt′(Последний из них получается из выражения (15.11) для 4-ускоренияwi = dui /dt′ , для которого w0 = (1/c)(v · v̇).) Из сказанного напрашивается предположение, что соотношение (16.55) является временнойкомпонентой четырёхмерного равенства2e2 d2 ui.(16.56)3c3 dτ 2В его справедливости легко убедиться, обратив внимание на значенияпространственных компонент входящих сюда 4-векторов. Все они известны при v ≪ c и в сопутствующей системе отсчета задаются соотношениями 10 (16.47), (16.24) (т.
е. P = 0 ) и (2e2 /3c3 )ẇ = (2e2 /3c3 )v̈.Вместе они удовлетворяют (16.56).Таким образом, мы выяснили, что в сопутствующей системе все компоненты 4-вектора fтi и известных 4-векторов P i , d2 ui /dτ 2 связаны соотношением (16.56) Следовательно, оно справедливо в любой системеотсчета. Подставив сюда выражение (16.25) для P i , fтi приведём к виду2e2 ( d2 ui1 duk duk i )fтi = 3+ 2u .(16.57)23c dτc dτ dτfтi = −P i +При этом легко убедиться, что fтi действительно представляет 4-силу,т. е. удовлетворяет необходимому условию (15.46)fтi ui = 0.10 Последнееиз них следует из выражения (15.15) для 4-вектора d2 ui /dτ 2 .16.7.
Сила торможения и баланс энергии при излучении63Пусть это будет упражнением для самостоятельного выполнения. 11 Вокончательном виде 4-мерный баланс энергии-импульса при излучениизаряда запишем в видеfтi = −P i − WB i ,(16.58)гдеWB i =( 1 dEBc dτ,dPB )2e2 d2 ui=− 3dτ3c dτ 2(16.59)есть 4-вектор скорости передачи энергии-импульса от заряда буферному полю.Таким образом, принятие скорости потери энергии частицей в качестве независимой энергетической характеристики процесса излучения, связанной с мощностью силы торможения, дало нам возможностьвполне элементарно получить 4-мерный баланс энергии-импульса приизлучении заряда. Выражение для 4-силы торможения излучением возникает при этом просто в качестве промежуточного результата.Упражнение Воспользовавшись структурой (15.45) для 4-силы, изрезультата (16.57) получить выражение для трехмерной силы торможения fт релятивистской частицы через параметры движения v, v̇ = wи v̈ = ẇ.После подстановки выражений (15.13), (15.15), (15.9) и приведенияподобных членов, пространственные компоненты 4-силы (16.57) приводят к искомому результатуfт ={[ v · ẇ2e21v2v·w ]()(1−) + 3( 2 )2 v+3223223c (1 − v /c )ccc}2v·wvv2+3( 2 )(1 − 2 )w + (1 − 2 )2 ẇ .ccc(16.60)11 Указание.
Вспомнить инвариантное значение (15.10) квадрата 4-скорости, воспользоваться преобразованиемd2 ui id ( dui i ) dui duiu =u −dτ 2dτ dτdτ dτи ортогональностью (15.14) 4-векторов скорости и ускорения (dui /dτ )ui = 0.64Глава 16. Излучение релятивистских зарядов16.7.Сила торможения излучением длязаряда, движущегося в заданномэлектромагнитном полеТеперь выразим силу торможения через напряженности полей, в которых частица движется. Для этого, в качестве первого шага, формулу(16.57) перепишем, выразив dui /dτ, d2 ui /dτ 2 через тензор действующегона частицу внешнего электромагнитного поля.
Как следует из уравнения движения (15.48),( du)e ikeeduik=F uk=Fk l ul =Fkl ul .dτmcdτmcmcОтсюда))(duk duke2 (= 2 2 F kl ul Fkm um .dτ dτm cДля вычисления второй производной d2 ui /dτ 2 заметим, что в общемслучае F ik зависит от координат xi , так чтоdF ik∂F ik dxl∂F ik l==u.dτ∂xl dτ∂xlСледовательно,)k)d2 uie ( ∂F ik le ( ∂F ik le2ik duikl=uu+F=uu+FFu.kkkldτ 2mc ∂xldτmc ∂xlm2 c2(16.61)После подстановки полученных выражений формула (16.57) приобретает искомый вид}2e2 { e ∂F ik le2e2ikluu+FFu+(F kl ul )(Fkm um )ui .kkl3c3 mc ∂xlm2 c2m2 c4(16.62)Перейдём к завершающему этапу.
Обозначив входящие в (16.62) 4векторы какfтi =∂F ik lu uk , M i = F ik Fkl ul , N i = (F kl ul )(Fkm um )ui ,∂xlискомое выражение запишем в виде линейной комбинации их пространственных компонент√)v 2 ( 2e32e42e4fт = 1 − 2K+M+N .42527c 3mc3m c3m cKi =16.8. Сила торможения в заданном электромагнитном поле65Пространственные компоненты K i распишем подробно, начиная с K 1 :∂F 10 l∂F 12 l∂F 13 l1∂Ex∂Ex∂Exuu+uu+u u3 = √{(c+vx +vy +0222∂xl∂xl∂xlc∂t∂x∂y1 − v /c )K1 =+∂Exc∂Bz∂Bz∂Bz∂Bzvyvz ) √+(c+vx +vy +vz ) √−22∂zc∂t∂x∂y∂z1 − v /c )1 − v 2 /c2 )−(=∂By∂By∂By∂Byvzc+vx +vy +vz ) √}=c∂t∂x∂y∂z1 − v 2 /c2{ ∂Ec∂B∂Bvyvz }[+(v ·∇)E]x +[+(v ·∇)B]z −[+(v ·∇)B]y.221 − v /c∂t∂tc∂tcПроведя аналогичные вычисления для K 2 , K 3 , убеждаемся, что пространственные компоненты K i составляют векторK={ ∂E]}1[∂Bc[+ (v · ∇)E] + v × [+ (v · ∇)B] .221 − v /c∂tc∂tДля векторов M i , N i простые шаги приводят к результатам:{]}c11[M=√[E × B] + E(v · E) + B × [B × v] ,22cc1 − v /c )N =−{}c211(E + [v × B])2 − 2 (E · v)2 v.223/2cc(1 − v /c )(При вычислении последнего полезно обратить внимание, что коэффициент при ui представляет собой квадрат 4-вектора F kl ul , т.
к. Fkm um =Fk m um .) Таким образом, окончательное выражение приобретает вид{ ∂E]}2e3∂B11[√[+ (v · ∇)E] + v × [+ (v · ∇)B] +3mc3 1 − v 2 /c2 ∂tc∂t]}2e4 {11[+ 2 4 [E × B] + E(v · E) + B × [B × v] −3m ccc4{}2e111− 2 5(E + [v × B])2 − 2 (E · v)2 v.3m c 1 − v 2 /c2cc(16.63)(Не содержит описки, имеющейся в «Теории поля» Ландау-Лифшицана стр.
288.)fт =66Глава 16. Излучение релятивистских зарядовОбратим внимание, что когда скорость частицы приближается к скорости света, главным в формуле (16.63) становится12 последнее слагаемое, пропорциональное γ 2 :fт = −}v2e4 2 {11γ (E + [v × B])2 − 2 (E · v)2 .243m cccc(16.64)Соответственно и в выражении (16.62) можно пренебречь двумя первыми членами, составляющими, как видно из (16.61), 4-вектор d2 ui /dτ 2 .iЭто значит, что в балансе энергии-импульса (16.58) слагаемое WB(16.59),ответственное за передачу 4-импульса от заряда буферному полю, можно опустить.
Таким образом, в ультрарелятивистском случае мощность излучения полностью обеспечивается силой торможения. (Иначе говоря, отождествление скорости потери энергии частицей и мощности излучения справедливо.) В этом нас убеждает и непосредственноесравнение результата −(fт · v), получающегося из соотношения (16.64),с мощностью излучения (16.31).16.8.Излучение заряда, движущегося в однородном электрическом поле при v∥EОбратимся к особому случаю, когда магнитное поле отсутствует ичастица движется в электрическом поле со скоростью v, параллельнойE. В этом случае последние два члена в выражении (16.63) сокращаются и, если, к тому же, электрическое поле стационарно, сила торможения равнаfт =2e3112e3dEx√√ex .(v·∇)E=vx3322223mc3mcdx1 − v /c1 − vx /c(16.65)При этом, как видно из выражения (16.31), интенсивность излученияdE2e4=E2′dt3m2 c3 xне зависит от энергии частицы.Наибольший интерес представляет случай однородного поля E =E0 = const, когда независимо от величины скорости сила fт = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
