1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пусть волна в «неподвижной» системе S характеризуется волновым вектором k и частотой ω. Тогда параметры волны всистеме S ′ , движущейся относительно S со скоростью V , определяются из формул преобразования компонент k i , обратных к соотношениям(15.6). Рассмотрим световую волну, для которой |k| = ω/c, |k′ | = ω ′ /c.Приняв, что векторы k, V составляют плоскость (x, y) (см. РИС.), и,в соответствии с (15.33) имеет видfmn0 0= E000−E00−E0E000000 .0 015.11. Эффект Доплера35следовательно, k 3 = k ′ 3 = 0, для остающихся компонент имеем:V ωω V ωω−cos α ω ′cos α −′ω′c c , ω sin α′ = ω sin α.= c√ c c,cos α′ = c√cccc1 − V 2 /c21 − V 2 /c2Разделив последнее из этих равенств на предыдущее, получаем формулу√sin αV2′tgα =1−c2cos α − Vcдля преобразования угла между волновым вектором и направлениемотносительной скорости, которую мы обсуждать не будем.

Первое равенство дает формулу1 − V cos αω′ = ω √ c21 − Vc2для доплеровского смещения с релятивистской поправкой в виде квадратного корня в знаменателе.В случае α = 0 (наблюдатель вместе с системой S ′ движется понаправлению волны)√1−V/c1 − V /cω′ = ω √=ω< ω,221 + V /c1 − V /cт. е. наблюдаемая частота меньше собственной частоты волны ω. Приα = π (наблюдатель движется против волны)√1 + V /cω′ = ω>ω1 − V /cи имеет место обратное соотношение между частотами.Если α = π/2, то только благодаря релятивистской поправке возникает различие между ω и ω ′ (говорят — имеет место поперечное доплеровское смещение), причемω′ = √(1 V 2)≈ω 1−,2 c21 − V 2 /c2ωω′ − ω1 ( V )2≈−,ω2 cт.

е. относительное изменение частоты пропорционально квадрату отношения V /c.Глава 16Излучение релятивистскихзарядовИзлучение движущихся зарядов при малых (v ≪ c) скоростях движения частично было затронуто в главе 13 при рассмотрении дипольного приближения.

Теперь мы приступаем к обсуждению названноговопроса, не ограничивая себя условиями на величину скорости. Начнёмс рассмотрения скалярного и векторного потенциалов для поля, создаваемого одним зарядом, движущимся по заданному закону.16.1.Потенциалы Лиенара-ВихертаДля их получения запаздывающие потенциалы (13.7), (13.8), описывающие поле произвольного распределения токов j(r, t) и зарядовρ(r, t), перепишем в виде (на примере векторного потенциала):∫∫[11R(r, r ′ ) ]A(r, t) =j(r ′ , τ ) δ τ − t +dτ dV ′ ,(16.1)′cR(r, r )cпредусматривающем интегрирование как по пространству dV ′ = dx′ dy ′ dz ′ ,так и по времени dτ.1 Аргумент временной δ-функции под интегралом(16.1) выбран так, чтобы результат интегрирования по τ для каждого1 Используемое здесь обозначение dτ не имеет отношения к собственному времени,которое в главе 15 связывалось с этим символом.16.1.

Потенциалы Лиенара-Вихерта37элемента объема dV ′ обеспечивал нужное запаздывание для функцииj(r ′ , t), так что выражение (16.1) тождественно векторному потенциалу(13.7).В интересующем нас случае одного заряда e, движущегося по заданному закону r = r0 (t), имеемj(r ′ , τ ) = ev(τ ) δ[r ′ − r0 (τ )].Подставим это выражение в (16.1) и поменяем порядок интегрирования.Наличие пространственной δ-функции δ[r ′ − r0 (τ )] известным образомупрощает интегрирование по объёму и результат для искомой величиныприобретает вид∫ev(τ ) [Re (r, τ ) ]1δ τ −t+dτ.(16.2)A(r, t) =cRe (r, τ )cЗдесь Re (r, τ ) = R(r, r0 (τ )) =| r − r0 (τ ) | есть расстояние от заряда вмомент времени τ до точки наблюдения с радиус-вектором r (см.

рис.16.1).zv(τ)e, mn(τ)R e (r,τ)Pr0(τ)r0yxРис. 16.1Для вычисления последнего интеграла воспользуемся свойством дельтафункции δ[f (τ )], как сложной функции от аргумента f (τ ) :δ[f (τ )] =δ(τ − τ0 )| f ′ (τ0 ) |(для аргумента f (τ ) с одним нулём в точке τ0 ). Это свойство означает,что δ[f (τ )] только в точке τ = τ0 отлично от нуля, причём для любой38Глава 16.

Излучение релятивистских зарядовнепрерывной в окрестности τ0 функции Φ(τ ) справедливо равенство∫∞Φ(τ )δ[f (τ )]dτ =−∞Φ(τ0 ).| f ′ (τ0 ) |В случае интеграла (16.2) аргументом δ — функции являетсяf (τ ) = τ − t + Re (r, τ )/c.Нуль этой функции (для него здесь вместо τ0 используем другой символt′ ) определяется из уравненияt′ +Re (r, t′ )=tc(16.3)и, следовательно, является аналогом тому моменту времени, который вглаве 13 везде отмечался этим символом и назывался моментом времениизлучения (при этом t означает момент времени приема этого излученияв точке с радиус-вектором r).Производная f ′ (τ ) = 1+∂Re (r, τ )/∂τ выражается через скорость изменения расстояния Re от заряда до точки наблюдения r. Как нетрудно увидеть из рис.

16.1, эта величина определяется проекцией скоростиv(τ ) на направление луча от заряда к точке наблюдения, т. е.∂Re (r, τ )= −n(τ ) · v(τ ),∂τ(16.4)где n(τ ) — единичный вектор в этом направлении, зависящий от положения заряда в момент τ. Следовательно,f ′ (τ ) = 1 −n(τ ) · v(τ ).cТаким образом, окончательный результат для вектор-потенциала (16.2)будет такой:A(r, t) =ev(t′ ).(n(r, t′ ) · v(t′ ) )cRe (r, t′ ) 1 −cНо мы его с аналогичным результатом для скалярного потенциала запишем покороче:evA(r, t) =(16.5)n · v t′ ,cRe (1 −)c16.2. Поля движущегося зарядаeφ(r, t) =n · v t′ ,Re (1 −)c39(16.6)подчеркивая, что входящие сюда v, Re , n зависят от момента времениt′ , причём t′ и t связаны соотношением (16.3).2Отметим в заключение важную для излучения релятивистских зарядов формулу(n(r, t′ ) · v(t′ ) )dt = dt′ 1 −,(16.7)cсвязывающую промежутки времени излучения dt′ и приёма этого излучения dt.

Формула непосредственно вытекает из соотношений (16.3) и(16.4).16.2.Поля движущегося зарядаТеперь можно перейти к определению полей (13.3)E(r, t) = −1 ∂A(r, t)− grad φ(r, t), B(r, t) = rot A(r, t),c∂t(16.8)выражающихся через найденные потенциалы. Соответствующие вычисления в данном случае затруднены тем, что потенциалы A, φ, как функции r, t, заданы зависимостями типа f (r, t′ ) с функцией t′ (r, t), определенной неявным образом соотношением (16.3). Поэтому при вычислении производных по координатам точки r и моменту t наблюдениятипа∂f (r, t)∂f ∂t′= ′,∂t∂t ∂t∂f (r, t′ )grad t′grad f (r, t′ ) = grad f (r, t′ )t′ =const +∂t′(∗)нам понадобятся вспомогательные формулы для величин ∂t′ /∂tи grad t′ , вывод которых составляет первый шаг к решению задачиданного параграфа.2 Не будем забывать, что величины R , n зависят ещё и от r. Поэтому по необхоeдимости мы их будем записывать либо в виде Re (t′ ), n(t′ ), либо с указанием обоихаргументов.40Глава 16.

Излучение релятивистских зарядовОбратимся к соотношению (16.3). При постоянном r отсюда следуетсвязь dt′ + ∂Re (r, t′ )/∂t′ dt′ = dt между дифференциалами dt′ , dt, которая при учёте (16.4) даёт(n(t′ ) · v(t′ ) )dt′ 1 −= dt.cЭто равенство запишем в виде первого искомого соотношения∂t′1=n · v t′ .∂t1−c(16.9)(16.10)Заметим при этом, что формулы (16.9), (16.10) имеют самостоятельноезначение, определяя связь между продолжительностями времени излучения (dt′ ) в точке r0 (t′ ) и времени наблюдения этого излучения (dt) вточке r.

Для релятивистских частиц различие между этими величинами весьма существенно и во многом определяет характеристики поляизлучения, как будет видно из дальнейшего.Для фиксированного момента t величина t′ , определяемая уравнением (16.3), зависит от радиус-вектора r точки наблюдения. Для этой скалярной зависимости мы ищем вектор grad t′ . Без вычислений понятно,что этот вектор имеет направление, противоположное n(t′ ), посколькуочевидно, что наибыстрейший рост t′ (снижение времени запаздыванияt − t′ ) достигается при смещении точки r в направлении на мгновенноеположение излучающего заряда (см. рис. 16.1, принимая, что моментτ выбран совпадающим с t′ ). А вычисления сводятся к следующим.

Изсоотношения (16.3) получаемgrad t′ + (1/c) grad Re (r, t′ ) = 0.(∗∗)∂ReСогласно правилу (*) grad Re (r, t′ ) = grad Re (r, t′ )|t′ =const + ′ grad t′ ,∂t∂Re′′причём grad Re (r, t′ )|t′ =const = n(t′ ),=−n(t)·v(t).Подстановка∂t′этих значений в равенство (**) приводит к второй искомой формуле−n/c grad t′ =(16.11)n · v t′ .1−cСделаем второй шаг. Представив общий множитель выражений(16.5), (16.6) в видеκ(r, t′ ) =Re(r, t′ )1,− Re (r, t′ ) · v(t′ )/c(16.12)16.2. Поля движущегося заряда41где Re (r, t′ ) = r − r0 (t′ ) = Re (r, t′ )n(t′ ), потенциалы запишем какeA(r, t) = κ(r, t′ )v(t′ ), φ(r, t) = eκ(r, t′ ).cВычислив соответствующие производные, для поля E (16.8) получимпромежуточное выражение{ v̇(t′ )}′( v(t′ ) ∂t′)′ ∂κ′ ∂t′E(r, t) = −eκ(r,t)++gradt+gradκ.t =constc2∂tc2 ∂t∂t′(16.13)Используя значения временных и пространственных производных∂Re (r, t′ )∂Re (r, t′ )′′=−n(t)·v(t),= −v(t′ )∂t′∂t′(знак минус во второй формуле связан с тем, что Re есть радиус-векторот заряда в точку наблюдения, а не наоборот),= n(t′ ), grad (Re (r, t′ ) · v(t′ )) = v(t′ ),grad Re (r, t′ ) ′t =const)′ величины ∂κ(r,tиgradκ(r,t), входящие в выражение (16.13),′′∂tt =constприведём к виду′∂κ(r, t′ )v 2 (t′ ) − Re (r, t′ ) · v̇(t′ ) 2′′=[n(t)·v(t)−]κ (r, t′ ),∂t′cgrad κ(r, t′ ) t′ =const = −[n(t′ ) − (1/c)v(t′ )]κ 2 (r, t′ ).(16.14)(16.15)Последний шаг.

Подставив равенства (16.10), (16.11), (16.12), (16.14),(16.15) в выражение (16.13), искомый результат для поля E легко теперь приводится к видуv21− 2ev e [n × [(n − vc ) × v̇]] cE(r, t) = 2 ((n−)+ ′ . (16.16))Re 1 − n · v 3c t′ Re c2 (1 − n · v )3tccПоле B, какB(r, t) =eerot [κ(r, t′ )v(t′ )] = {κ(r, t′ ) rot v(t′ )+[grad κ(r, t′ )×v(t′ )]},ccс учетомrot v(t′ ) = [grad t′ × v̇(t′ )],42Глава 16.

Излучение релятивистских зарядов∂κ(r, t′ )grad κ(r, t′ ) = grad κ(r, t′ ) t′ =const +grad t′∂t′сводится к промежуточному выражениюeB(r, t) = {κ(r, t′ )[grad t′ × v̇(t′ )]+c∂κ(r, t′ )+[(grad κ(r, t′ ) t′ =const +grad t′ ) × v(t′ )]}.∂t′Подставляя сюда ранее выписанные заготовки (16.11), (16.12), (16.14),(16.15), результат вычислений приводим к видуB(r, t) = [n(t′ ) × E(r, t)].(16.17)Таким образом, магнитное поле везде перпендикулярно к электрическому; по модулю они отличаются между собой, поскольку в общем случаев составе E имеется составляющая, направленная вдоль n.3Электрическое поле (16.16) состоит из двух частей.

Характеристики

Список файлов книги