1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Напомним, что если x1 , y1 , z1 , t1 и x2 , y2 , z2 , t2 — координаты двухсобытий, то интервалом между ними называется величинаs12 = [c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 ]1/2 .Если эти события наблюдать из любой другой инерциальной системыотсчета с координатами, отмечаемыми штрихом, инвариантность интервала означает равенствоc2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 == c2 (t′2 − t′1 )2 − (x′2 − x′1 )2 − (y2′ − y1′ )2 − (z2′ − z1′ )2 .Для бесконечно близких событий квадрат интервала и его инвариантность сводятся к соотношениямds2 = c2 dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 ),(15.1)ds2 = ds′ 2 .(15.2)3.
Формулы преобразования координат события x, y, z, t при переходеиз одной инерциальной системы отсчета к другой, удовлетворяющиетребованию инвариантности интервала, составляют преобразованиеЛоренца и имеют видx′ + V t ′x= √,1 − V 2 /c2y = y′ ,z = z′,t′ + (V /c2 )x′t= √.1 − V 2 /c2(15.3)Здесь принято, что инерциальная система S ′ движется относительносистемы S со скоростью V вдоль общего направления осей x и x′ , как15.2.
Пространство Минковского9показано на рис. 15.1, причем оси y, y ′ и z, z ′ параллельны между собой.Часы в лабораторной (S) и подвижной (S ′ ) системах согласованы так,что при совпадении точек O и O′ находящиеся там часы показывалиt = t′ = 0. Естественно, в предельном случае V /c → 0 формулы (15.3)переходят в формулы преобразования Галилеяx = x′ + V t, y = y ′ , z = z ′ с абсолютным временем t = t′ .yozy’o’xz’x’VРис.
15.1Упражнение. Вспомнить понятие собственного времени частицы, движущейся со скоростью v, и, воспользовавшись соотношениями(15.1), (15.2), получить для него формулу√dτ = dt 1 − v 2 /c2 .(15.4)Доказать неизменность (инвариантность) этой величины√ при переходе в штрихованную систему координат, т. е. dτ = dt′ 1 − v ′ 2 /c2 .15.2.Четырёхмерное пространство Минковского. Четырёхмерные тензоры1. Как мы убедимся ниже, любой физический закон, отвечающийтребованию принципа относительности, должен допускать специфическую форму записи в четырёхмерном векторном пространстве, впервыевведенном Г. Минковским (пространство Минковского). Четыре координаты некоторого события ct, x, y, z определяют мировую точку в этом10 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикапространстве; радиус-вектор этой точки задается компонентами xi (индекс наверху, пробегает значения 0, 1, 2, 3), причемx0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z.Квадрат «длины» 4-радиус-вектора дается выражением(x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 .Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, в частности, преобразовании Лоренца.
Мерой расстояния междудвумя близкими точками xi и xi + dxi в пространстве Минковского является интервал, квадрат которого (15.1) равенds2 = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 .(15.5)2. Наряду с 4-радиус-вектором xi в пространстве Минковского рассматривают произвольный 4-вектор Ai (4-тензор первого ранга) как наборчетырёх величинA0 , A1 , A2 , A3 ,которые при преобразованиях четырёхмерной системы координат преобразовываются как компоненты 4-радиус-вектора xi . Следовательно,при преобразовании Лоренца, т.
е. при переходе из одной инерциальнойсистемы в другую, имеемA′ 0 + Vc A′ 1A′ 1 + Vc A′ 0A0 = √, A1 = √, A2 = A′ 2 , A3 = A′ 3 .1 − V 2 /c21 − V 2 /c2(15.6)(Следует помнить, что для обратного перехода из системы S (лабораторной) в систему S ′ формулы имеют аналогичный вид, отличающийсялишь знаком перед V /c.) В качестве иллюстрации здесь их приведёмдля компонент 4-радиус-вектора:x0 − Vc x1x1 − Vc x0x′ 0 = √, x′ 1 = √, x′ 2 = x2 , x′ 3 = x3 .1 − V 2 /c21 − V 2 /c2(15.7)Квадрат любого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиусвектора в виде(A0 )2 − (A1 )2 − (A2 )2 − (A3 )2 .Для удобства записи подобных выражений применяются два «сорта» компонент 4-векторов, обозначаемые буквами Ai , Ai с индексамисверху и снизу. При этомA0 = A0 , A1 = −A1 , A2 = −A2 , A3 = −A3 .(15.8)15.2.
Пространство Минковского11Величины Ai называются контравариантными, а Ai — ковариантнымикомпонентами 4-вектора. С использованием тензорного правила суммирования по дважды повторяющимся (наверху и внизу) индексам, которые при этом называются немыми, квадрат 4-вектора тогда представляется в виде Ai Ai = Ai Ai .Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов:Ai Bi = A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 .Произведение Ai Bi (или Ai B i , что то же самое) является 4-скаляром —оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системыкоординат. Это обстоятельство легко проверяется непосредственно, нооно и заранее очевидно (по аналогии с Ai Ai ) из того, что трансформационные свойства всех 4-векторов (15.6) одинаковы.По отношению к чисто пространственным поворотам (т.
е. преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты A1 , A2 , A3 4-вектора Ai составляют трёхмерный вектор A. Временная же компонента 4-вектора представляет собой (по отношению ктем же преобразованиям) трёхмерный скаляр.
Поэтому 4-вектор частозаписывают в видеAi = (A0 , A).При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора: Ai = (A0 , −A),Ai Ai = (A0 )2 − (A)2 . Так, для 4-радиус-вектора имеемxi = (ct, r), xi = (ct, −r), xi xi = (ct)2 − (r)2 .3. В дополнение к xi в качестве примеров здесь рассмотрим 4-векторыскорости ui и ускорения wi движущейся материальной точки (частицы)и применим их для получения законов преобразования соответствующих физических величин при переходе из одной системы в другую.Начнем с 4-вектора ui , рассмотрев для этого две бесконечно близкиемировые точки, связанные с данной частицей. Разделив приращение еёi4-радиус-вектора√ dx = (cdt, dr) на бесконечно малое собственное время(15.4) dτ = dt 1 − v 2 /c2 (4-скаляр), получим искомую величину()dxicvui == √,√,(15.9)dτ1 − v 2 /c21 − v 2 /c2определяемую физической скоростью частицы и абсолютной константой c.
Видно, что инвариантный квадрат данного 4-вектора равенui ui = c2 .(15.10)12 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамика(Заметим, что ui нельзя получить в результате естественного, казалосьбы, разделения 4-вектора dxi на промежуток времени dt, посколькупоследний не является инвариантом, и 4-объект dxi /dt = (c, v) не подчиняется закону преобразования (15.6).)Аналогично можно построить 4-вектор ускорения частицы, разделивприращение dui на dτ.
Заметив при этом, чтоddv 2= (v · v) = 2(v · w),dtdtнесложно показать, чтоwi ={ (v · w)dui1v2(v · w)v }=, [w(1 − 2 ) +] .222dτ(1 − v /c )ccc2(15.11)(Пусть это будет упражнение для самостоятельного выполнения.) Таким образом, компоненты 4-ускорения зависят как от скорости v, так иускорения w частицы.
Только в сопутствующей системе отсчета (отметим символом S0 ), в которой скорость частицы v0 = 0, а ускорение w0 ,имеемwi = (0, w0 ),(15.12)Soт. е. временная компонента 4-вектора wi равна нулю, а пространственные компоненты составляют так называемое собственное ускорение частицы w0 (ускорение в сопутствующей системе отсчета). Воспользовавшись инвариантностью квадрата 4-ускорения (15.11), квадрат собственного ускорения w02 , который позже понадобится при исследовании излучения релятивистских частиц, можно выразить через скорость и ускорение в лабораторной системе координат в виде следующей формулы:[v × w]22w−du duic2−= w02 = ()3 .2dτ dτ1 − v /c2i(15.13)Отметим здесь и свойство ортогональности 4-векторов wi и ui , т.
е.wi ui = 0.(15.14)В дальнейшем нам понадобится также 4-вектор dwi /dτ. Легко про-15.2. Пространство Минковского13верить, что он имеет следующую структуру{1[d2 ui1v · w 2] [v2v2 22=(w+v·ẇ)(1−)+4()) +,ẇ(1−dτ 2c2cc2(1 − v 2 /c2 )7/2 cv·wv21(v2v · w 2 ) ]}+3 2 (1 − 2 )w + 2 (w2 + v · ẇ)(1 − 2 ) + 4() v ,ccccc(15.15)включающую в свой состав, кроме скорости и ускорения, также производную ускорения, обозначенную здесь как ẇ = dw/dt.Упражнение. Воспользоваться формулами преобразования компонент 4-вектора (15.6) применительно к 4-скорости ui (15.9) для получения известного читателю релятивистского закона сложения скоростей,1√√vy′ 1 − V 2 /c2vz′ 1 − V 2 /c2vx′ + Vvx =,v=,v=. (15.16)yz1 + vx′ V /c21 + vx′ V /c21 + vx′ V /c2(Здесь и далее необходимо различать символы V — скорость движенияодной инерциальной системы относительно другой, постоянная величина, и v — скорость движения частицы, необязательно постоянная.)Для этого в первую из формул (15.6)u′ 0 + (V /c)u′ 1u0 = √1 − V 2 /c2подставим выражения u0 , u′ 0 , u′ 1 , следующие из соотношений (15.9),и приведём её к равенству1 + vx′ V /c21√√=√.1 − v 2 /c21 − v ′ 2 /c2 1 − V 2 /c2После этого из последних формул (15.6) для u1 , u2 , u3 получаютсяискомые выражения (15.16).Заметим, что данное упражнение мы привели не ради получения результатов (15.16),которые иным способом получаются еще проще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
