1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Здесь демонстрируется первый несовсем тривиальный случай использования трансформационных свойств (15.6) дляполучения формул преобразования физической величины при переходе из однойинерциальной системы в другую.1 Формулы преобразования компонент ускорения, которые также можно получить с помощью 4-вектора (15.11), обычно не требуются. Поэтому относительно wiограничимся результатом (15.13).14 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаВ качестве последнего примера 4-вектора рассмотрим четырёхмерный градиент, как символический вектор∇i = (∂∂∂∂∂,,,) = ( 0 , ∇),0123∂x ∂x ∂x ∂x∂x(15.17)составленный из производных по координатам xi . Здесь он представлен своими ковариантными компонентами. А убедиться, что комплекс(15.17) является 4-вектором, легко непосредственно из результатов вычисления производных с учетом формул (15.7).
Первые из них принимают вид:∂∂∂∂ ∂x′ 0∂ ∂x′ 11V1=+=√− √,′0′12222∂x0∂x′ 0 ∂x0∂x′ 1 ∂x0∂xc∂x1 − V /c1 − V /c∂ ∂x′ 0∂ ∂x′ 1V11∂∂∂=+=− √+√;1′01′11′02222∂x∂x ∂x∂x ∂xc 1 − V /c ∂x1 − V /c ∂x′ 1для последних справедливы∂∂∂∂=,=.∂x2∂x′ 2 ∂x3∂x′ 3Следовательно, рассматриваемый набор производных действительно составляет ковариантный 4-вектор.4. Четырёхмерный тензор (4-тензор) второго ранга Aik составляютсовокупность 16 упорядоченных величин, которые при преобразованиикоординат преобразовываются как произведение координат xi xk .
2 Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов.Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трехвидах: как контравариантные Aik , ковариантные Aik и смешанные Ai k(в последнем случае надо, вообще говоря, различать Ai k и Ai k , т. е.следить за тем, какой именно — первый или второй — индекс стоитвверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонентопределяется по общему правилу: поднятие или опускание временного2 Закон преобразования компонент тензора можно представить в виде такой формальной формулыAik = αij αkl A′ jl ,(∗)если принять, что формулы (15.6) записаны как Ai = αij A′ j .
Отклоняться в сторону обсуждения этого вопроса здесь нет необходимости, так как формула (*) нампонадобится лишь один раз для доказательства соотношения (15.73). При этом достаточно будет знать, что все коэффициенты αij являются константами, связаннымис отношением V /c.15.3. Метрический тензор15индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственногоиндекса (1, 2, 3) меняет знак компоненты.Из компонент тензора Aik можно образовать скаляр путем образования суммыAi i = A00 + A11 + A22 + A33(при этом, конечно, Ai i = Ai i ). Такую сумму называют следом тензора,а об операции его образования говорят как о свёртывании тензора).Операцией свёртывания является и рассмотренное выше образование скаляра Ai Bi из тензора Ai Bk .
Вообще всякое свёртывание по пареиндексов понижает ранг тензора на 2. Например, ∇i Ak есть тензор 2-горанга, а в результате свёртывания получается 4-скаляр∇i Ai =1 ∂A0+ div Ac ∂t(4-дивергенция векторного поля Ai ). Аналогично из тензора 3-го ранга∇i ∇j Ak получается 4-вектор ∇i ∇i Ak = Ak , где=1 ∂2−∆c2 ∂t2(15.18)есть так называемый оператор Даламбера.Теперь нам понятно, что принцип относительности Эйнштейна обинвариантности законов физики в инерциальных системах отсчета выдвигает требование к форме записи уравнений, описывающих физические законы.
Они должны иметь так называемую ковариантную форму, представляя собой тензорные равенства с оговоренными выше свойствами. При этом соотношение, справедливое в одной системе, остаетсясправедливым и при переходе к другой координатной системе.15.3.Метрический тензорТеперь обратим внимание, что введенные в п.2 § 15.2 чисто аксиоматически, ковариантные компоненты вектора Ai в общем случае криволинейных координат вводятся соотношениемAi = gik Ak .(15.19)Здесь gik — так называемый метрический тензор (симметричный), составленный из коэффициентов квадратичной формы дифференциалов16 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаdxidℓ2 = gik dxi dxk ,определяющей квадрат длины в криволинейных (или косоугольных)координатах.Разрешённое относительно контравариантных компонент, соотношение (15.19) приобретает видAi = g ik Ak ,(15.20)где символом g ik обозначен обратный тензорg ik = (gik )−1 .По определению обратного тензораg ik gkl = δli ,(15.21)где δli — единичный 4-тензор, обладающий тем свойством, что для любого вектора A справедливы равенстваδli Ai = Al , δli Al = Ai .Следовательно, компоненты единичного тензора равны{1, если i = l,iδl =0, если i ̸= l.В случае четырёхмерного пространства, когда мы ограничиваемсярассмотрением лишь инерциальных систем отсчета с декартовыми пространственными координатами, в качестве расстояния между близкимиточками выступает инвариантный интервал ds, задаваемый формулой(15.5).
При этом тензор gik определяется диагональной матрицей с компонентами g00 = 1, g11 = g22 = g33 = −1, gik = 0 при i ̸= k. Поэтому,как нетрудно заметить из соотношения (15.21), тензор g ik имеет те жекомпоненты, что и gik .Таким образом, как следует из инвариантности интервала, во всехинерциальных системах отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами x1,2,3 = x, y, z и временем x0 = ct метрическийтензор имеет компоненты, определяемые следующей таблицей:1000 0 −100 .(g ik ) = (gik ) = (15.22) 00 −10 000 −115.4. Ковариантность уравнений электродинамики17При этом связи (15.19), (15.20) между контравариантными и ковариантными компонентами вектора сводятся к тем соотношениям (15.8),которые выше были приняты чисто из соображений удобства записиформул. Заметим, чтоg ik = δ ik ,gik = δik ,(15.23)т. е.
тензоры g ik , gik являются результатом поднятия или опускания одного из индексов единичного тензора δki .15.4.Ковариантность уравнений электродинамикиВернемся к вопросу об инвариантности уравнений электродинамики при преобразованиях Лоренца. Положительный ответ на данный вопрос, полученный в свое время Лоренцом и Пуанкаре, мы здесь примем«на веру» и воспользуемся им для придания уравнениям электродинамики ковариантной формы с одновременным определением законовпреобразования электродинамических величин при переходе из однойсистемы в другую.
Ограничимся уравнениями (13.1), (13.2), справедливыми для пустоты, оставляя без внимания вспомогательные поля D, Hи векторы поляризации P и намагниченности M , возникающие прирассмотрении материальных сред.Четырехвектор плотности тока. Начнём с закона сохранениязаряда∂ρ+ div j = 0,(15.24)∂tявляющегося следствием пары неоднородных уравнений Максвелла (13.2).В правой части этого равенства стоит число ноль. Следовательно, леваячасть1 ∂(cρ) ∂jx∂jy∂jz+++c ∂t∂x∂y∂zдолжна представлять собой 4-скаляр. Отсюда следует, что набор из четырех величин cρ, jx , jy , jz составляет 4-векторj i = (cρ, j).(15.25)18 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаПри этом уравнение (15.24) действительно приобретает ковариантныйвид∂j i∇i j i == 0.(15.26)∂xiТаким образом, из требования релятивистской инвариантности уравнения (15.24) получаем, что объемные плотности заряда ρ и тока j вместесоставляют 4-вектор j i , и, следовательно, при переходах из системы всистему преобразовываются по соответствующим законам (15.6).Четырехмерный потенциал поля.
Обратимся теперь к уравнениям (13.5), (13.6) для векторного и скалярного потенциалов. Перепишем их в виде4π4π 0φ =cρ =j ,cc(15.27)4πj,A =cподчеркнув, что их правые части составляют 4-вектор. Поскольку оператор Даламбера (15.18) является 4-скаляром, видно, что уравнения(15.27) объединяются в ковариантное уравнение4π ij ,(15.28)cесли потенциалы φ и A являются временной и пространственной компонентами единого 4-потенциалаAi =Ai = (φ, A).(15.29)При этом условие калибровки (13.4) приобретает ковариантную форму∇i Ai = 0.(15.30)Таким образом, уравнения (13.5), (13.6) и условие (13.4), в совокупности эквивалентные системе уравнений Максвелла, мы привели к ковариантному виду и тем определили трансформационные свойства дляскалярного и векторного потенциалов, а фактически и для самих полейE, B.15.5.Поле равномерно движущегося зарядаВоспользуемся результатом (15.29) для определения полей φ, A иE, B от точечного заряда e, движущегося равномерно со скоростью V .15.5.
Поле равномерно движущегося заряда19В подвижной системе отсчета S ′ с началом координат, привязаннымк заряду, потенциалы известны:√φ′ = e/r′ , A′ ≡ 0, где r′ = x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 .В лабораторной системе они определяются по формулам преобразования (15.6). Выразив предварительно расстояние r′ через координаты ивремя x, y, z, t :√R∗ (x, y, z, t)r′ = √, R∗ = (x − V t)2 + (1 − V 2 /c2 )(y 2 + z 2 ),1 − V 2 /c2(1)искомый результат для скалярного и векторного потенциалов можнопривести к видуφ(x, y, z, t) =eV, A(x, y, z, t) = φ(x, y, z, t).R∗ (x, y, z, t)c(2)Поля E, B определяются из соотношений (13.3)E=−1 ∂A− grad φ, B = rot A.c ∂tМагнитное поле, как следует из последней формулы (2), непосредственно связано с полем E :[] [] [] []VVV1 ∂AVB = rot φ(x, y, z, t)= grad φ ×=× (E +) =×E ,cccc ∂tcтак как V ∥A.
Для электрического поля (после вычисления соответствующих производных) получается выражение, которое с использованиемyy’P(x,y,z)RoeVtνxРис. 15.2радиуса-вектораR = (x − V t)ex + yey + zez20 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаот мгновенного положения заряда (V t, 0, 0) в момент t до точки наблюдения P (на рис. 15.2 точка P для определённости взята в плоскостиx, y) можно привести к видуE=eR.R∗3Введя угол ϑ между скоростью V и радиусом-вектором R, величинуR∗ можно выразить через R :√√R∗ = R cos2 ϑ + (1 − V 2 /c2 ) sin2 ϑ = R 1 − V 2 /c2 sin2 ϑи окончательные выражения для E и B представить в виде][R1 − V 2 /c2VE=e 3×E.,B=R (1 − V 2 /c2 sin2 ϑ)3/2c(15.31)Отсюда видно, что электрическое поле во всем пространстве радиальноотносительно мгновенного положения движущегося заряда и осесимметрично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
