1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Чтобы снять этонедоразумение, отметим, что условие E∥ = E∥′ относится к одним и темже точкам 4-пространства. При этом, если какая-то точка находится наоси x на расстоянии R от заряда, то в системепокоя заряда та же точ√ка находится на большем расстоянии R/ 1 − V 2 /c2 и, следовательно,eV2имеет там поле E∥′ = 2 (1 − 2 ), равное E∥ .Rc15.9.Инварианты поляИз компонент тензора электромагнитного поля можно составить инвариантные величины, остающиеся неизменными при переходе из однойинерционной системы в другую. Мы, например, знаем, что из любоготензора второго ранга свёрткой по паре индексов получается скаляр. Нов рассматриваемом случае тензора Fik этот инвариант (след тензора)равен нулю и поэтому бессодержателен.Можно организовать тензор 4-го ранга Fik F lm , а затем свёрткой подвум парам индексов (i, l) и (k, m) получить скаляр Fik F ik .
Для тензора(15.33) этот скаляр, как легко вычислить, равен 2(B 2 − E 2 ). Следовательно, разность квадратов напряженностей магнитного и электриче-28 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаского полей составляет первую инвариантную величинуB 2 − E 2 = inv .(15.54)Второй инвариант обычно получают с использованием так называемого совершенно антисимметричного единичного тензора 4-го рангаeiklm в виде eiklm Fik Flm = inv . Нам пока этот путь недоступен, поэтому мы здесь приведем только его результат в виде инвариантностискалярного произведения(B · E) = inv .(15.55)В справедливости этого утверждения (B ·E) = (B ′ ·E ′ ) можно убедиться непосредственно из законов преобразования (15.51), (15.52). Пустьэто упражнение по векторной алгебре будет читателю заданием для самостоятельного выполнения.
Работа упростится, если в соотношениях(15.51), (15.52) векторы B ′ , E ′ , входящие в векторные произведения,′′предварительно заменить на B⊥, E⊥.Примем без доказательства, что других независимых инвариантов утензора электромагнитного поля нет.Из инвариантности двух приведенных выражений вытекают следующие выводы. Если в какой-нибудь системе отсчета электрическое имагнитное поля взаимно перпендикулярны, т. е.
E · B = 0, то они перпендикулярны и во всякой другой инерциальной системе отсчета. Еслив какой-нибудь системе отсчета абсолютные величины E и B равныдруг другу, то они одинаковы и в любой другой системе.Имеют, очевидно, место также и следующие неравенства. Если вкакой-нибудь системе отсчета E > B (или E < B), то и во всякойдругой системе будет E > B (или E < B). Если в какой-либо системеотсчета векторы E и B образуют острый (или тупой) угол, то они будутобразовывать острый (или тупой) угол и во всякой другой системе.15.10.Ковариантность выражения для силы Лоренца и законов сохранения1.
Начатое в § 15.4. рассмотрение ковариантности законов электродинамики завершим ковариантной формулировкой для силы Лоренца изаконов сохранения энергии и импульса. Рассмотрим для этого взаимодействие электромагнитного поля с находящейся в нём материальной15.10. Ковариантность силы Лоренца29средой в виде системы свободных зарядов, занимающих ограниченнуюобласть пространства и характеризующихся объемными плотностямизаряда и тока ρ, j. В этом случае силовое воздействие со стороны полязадается плотностью силы Лоренцаf = ρE + (1/c)[j × B](15.56)и не усложнено влиянием связанных зарядов и молекулярных токов,возникающих при наличии вещества в рассматриваемой системе.
Обратив внимание, что ρ, j, входящие в формулу (15.56), составляют 4вектор j i (15.25), а поля E и B — тензор F ik (15.33), нетрудно сконструировать 4-вектор1(15.57)f i = F ik jk ,cпространственные компоненты которого составляют трёхмерный вектор (15.56).4 Временная компонентаf0 =]) 1[1 ( 01F j1 +F 02 j2 +F 03 j3 = (−Ex )(−jx )+(−Ey )(−jy )+(−Ez )(−jz ) =cc(E · j)cсвязана с мощностью (E · j), развиваемой электрическим полем надзарядами в единице объема.Таким образом, в записанном в ковариантной форме (15.57) выражении для плотности силы Лоренца() ()f i = (E · j)/c, ρE + [j × B]/c = (E · j)/c, f(15.58)=пространственная часть определяет скорость изменения импульса заряженных частиц, приходящихся на единицу объема, а временная часть— скорость изменения их механической энергии.
Следовательно, законы сохранения полной энергии (механической и электромагнитной) иполного импульса, полученные ранее порознь (в главе 6 для энергии,в Приложении 2 к этой книге — для импульса) имеется возможностьобъединить в единый ковариантный закон сохранения.4 Имеяf1 =перед глазами таблицу (15.33), легко выписать, например,])1 ( 101[1F j0 + F 12 j2 + F 13 j3 =cρEx − Bz (−jy ) + By (−jz ) = ρEx + [j × B]x .ccc30 Глава 15.
Специальная теория относительности и электродинамика2. Для выполнения этой задачи правую часть равенства (15.57) преобразуем с помощью уравнений Максвелла (15.35), (15.36) и приведёмк 4-дивергенции симметричного тензора второго ранга. Используя равенствоcjk =∇l F lk ,4πследующее из уравнения (15.35), для fi получаемfi =11Fik j k =Fik ∇l F lk ,c4πили, после тождественного преобразования,4πfi = ∇l (Fik F lk ) − F lk ∇l Fik .(15.59)Воспользовавшись перестановкой немых индексов l k и антисимметричностью тензора F lk , второе слагаемое в (15.59) можно преобразоватьF lk ∇l Fik = F kl ∇k Fil = −F lk ∇k Fil = F lk ∇k Fliи в результате записать в виде полусуммыF lk ∇l Fik =1 lkF (∇l Fik + ∇k Fli ).2Как следует из уравнения (15.36),∇l Fik + ∇k Fli = −∇i Fkl ,так что111F lk ∇l Fik = − F lk ∇i Fkl = F lk ∇i Flk = ∇i (F mn Fmn ).224В результате соотношение (15.59) принимает видfi = −∇l Λli ,где тензор Λ̃ введён компонентами)1 (1Λli =Fik F kl + δil (F mn Fmn ) .4π4(15.60)(15.61)Для контравариантных компонент из (15.60) имеемf i = −∇l Λli ,(15.62)15.10.
Ковариантность силы ЛоренцаΛli =)1 (1−F lk F ki + g li (F mn Fmn )4π431(15.63)(здесь g li = δ li — метрический тензор (15.23)).При написании индексов i, l одного над другим в обозначении Λli(15.61) мы исходили из того, что тензор Λ̃ симметричен, в чем легкоубедиться из выражения (15.63), опуская и поднимая немой индекс впервом его слагаемом. Кроме того, след тензора равен нулю:Λii = 0(т. к. gii = δii = 4).Таким образом, 4-вектор f i выражен через 4-дивергенцию симметричного тензора Λik , называемого тензором энергии-импульса электромагнитного поля.3.
Выразим компоненты тензора Λik через напряженности электрического и магнитного полей. С помощью таблиц (15.33) вначале убедимся, что скаляр, входящий в (15.63), F mn Fmn = 2(B 2 − E 2 ). Тогдадля временных компонент тензора получим значения:Λ00 =1111[−F 0k F 0k + (B 2 −E 2 )] =[Ex Ex +Ey Ey +Ez Ez + (B 2 −E 2 )],4π24π2т. е.Λ00 = (1/8π)(E 2 + B 2 ) = w,Λ0α = Λα0 = −1 0k α1F Fk=[E × B]α .4π4π(15.64)(15.65)Пространственные компоненты Λ̃ образуют трёхмерный тензор с составляющими Λαβ = Λαβ ,5 гдеΛ11 = Λxx = −1 1k 1111[F F k − (B 2 − E 2 )] = − [Ex2 + Bx2 − (E 2 + B 2 )]4π24π2(т. к.
F 1k F 1k = Ex2 − Bz2 − By2 ),Λ12 = Λxy =1(Ex Ey + Bx By )4πи т. д., илиΛαβ = −11[Eα Eβ + Bα Bβ + gαβ (E 2 + B 2 )].4π2(15.66)5 Для индексов, пробегающих значения 1, 2, 3 в этом параграфе используютсягреческие буквы.32 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамика(Здесь не следует забывать, что компоненты gαβ метрического тензора(15.22) равны −1 при α = β, и 0 при α ̸= β.)64. Разделив 4-мерный закон сохранения (15.62) на временную и пространственную составляющие, убедимся, что соотношение (15.62) является ковариантной записью известных законов сохранения ( 6.91 ),(Приложение 2), и что тензор энергии-импульса Λ̃ имеет следующуюпространственно-временную структуру:()wcgΛik =.(15.67)S/c −T̃Действительно, как следует из соотношений (15.58), (15.64) — (15.66),временная составляющая (15.62)( 1)( ∂Λ00∂∂Λα0 )1∂w(E · j) = − k Λk0 = −+−div[E×B]=−c∂xc∂t∂xαc∂t4πпредставляет собой закон сохранения энергии (номер из Части 1)∂w+ div S = −(E · j),∂tпричем вектор Пойнтинга определён составляющими нулевого столбцатензора энергии-импульса: Sα = cΛα0 .Пространственные составляющие закона сохранения (15.62)( 1 ∂Λ0α∂ kα∂ βα )Λ=−+Λ∂xkc ∂t∂xβописывают закон сохранения импульса электромагнитного поляfα = −∂gα+ div Λα = −fα .∂t(15.68)Здесь gα = (1/c)Λ0α , т.
е. вектор плотности импульса поля g составляютэлементы нулевой строки тензора Λ̃. Из симметрии Λ0α = Λα0 следует,что gα = (1/c2 )Sα , т. е. плотность импульса электромагнитного поляи вектор Пойнтинга связаны между собой соотношениемg=1S.c2(15.69)6 Иногда в формуле (15.66) вместо (1/2)gαβ пишут −(1/2)δαβ ; но в этом случаенеобходимо специально оговаривать, что δαβ — символы Кронекера и не являютсяβковариантными компонентами единичного тензора δα.15.11. Эффект Доплера33Равенство (15.68) показывает, что локальное изменение плотности импульса поля в некотором объемчике dV происходит как за счет передачи импульса заряженным частицам в этом объеме (правая часть равенства), так и за счет переноса импульса через границы dV. Векторплотности потока α-компоненты импульсаΛα = Λβα eα ,входящий в (15.68), определён компонентами трёхмерного тензора потока импульса Λβα .
Введя тензор натяжений МаксвеллаTβα = −Λβα = −Λβα ,определяемый, согласно (15.66), соотношениемTαβ =11[Eα Eβ + Bα Bβ − δαβ (E 2 + B 2 )]4π2(здесь δαβ — символы Кронекера), закон сохранения импульса можнопереписать в виде∂gα∂Tαβfα = −+,∂t∂xβсовпадающем с равенством ( 7 ) из Приложения 2.Таким образом, поставленная задача нами завершена.15.11.Четырёхмерный волновой вектор. Эффект ДоплераЗаметив, что компоненты полей E и B составляют тензор F ik (илиFik ), поля в произвольной плоской монохроматической волне, распространяющейся в пустоте с волновым вектором k и частотой ω, можнопредставить в виде тензорного поляF mn (r, t) = f mn ei(kr−ωt) ,(15.70)задаваемого через соответствующий тензор f mn с постоянными элементами.
77 Например, для линейно поляризованной волны с полями E(x, t)=E0 ei(kx−ωt) ey , B(x, t) = B0 ei(kx−ωt) ez (B0 = E0 ), бегущей вдоль оси x, этот тензор34 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаИз инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразования Лоренца следует, что в другой инерциальной системе S ′ рассматриваемые поля также должны составлять плоскую монохроматическуюволну с параметрами k′ , ω ′ и с тензором′ ′F ′ mn (r ′ , t′ ) = f ′ mn ei(k r−ω ′ t′ ),(15.71)Из закона преобразования компонент тензора, записанного в виде формулы (*) из п. 4 § 15.2., следует, что поля (15.70), (15.71) связаны соотношениями′ ′′ ′f mn ei(kr−ωt) = αmj αnl f ′ jl ei(k r −ω t ) .Чтобы эти соотношения выполнялись в любой точке пространства-времени,фазовые множители в обеих частях равенства должны быть одинаковыми:kr − ωt = k′ r ′ − ω ′ t′ .(15.72)Отсюда следует, что k, ω составляют единый четырехмерный волновойвекторωk i = ( , k);(15.73)cпри этом равенство (15.72) выражает инвариантность скалярного произведения k i xi двух 4-векторов.Воспользуемся результатом (15.73) для релятивистского обобщенияэффекта Доплера, заключающегося, напомним, в изменении частотыволны при изменении относительной скорости наблюдателя и источника излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
