1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В результате (16.38) приведём к требуемомувиду11 11 − θ∗2 ≈ 1 −.210 γ 254Глава 16. Излучение релятивистских зарядов∫J =dJ dΩ.dΩ t′t(4π)После подстановки выражения (16.33) равенство (16.39) приводится квиду∫ {dEe2=dt′4πc3β w) (1 − β 2 )(nw)2 } w2(nw)(β+2− ′ dΩ.β )3β )4β )5(1 − nβ(1 − nβ(1 − nβt(4π)(16.40)Естественно, высказанное предположение, что мгновенное значениемощности излучения определяется видоизменённым потоком энергииполя излучения через поверхность сферы, взятым в виде (16.39), требует доказательства.
Для этого достаточно показать совпадение результата интегрирования (16.40) с величиной (16.29), что здесь продемонстрируем для общего случая ускорения w, имеющего как продольную,так и поперечную компоненты по отношению к скорости заряда.Пусть β(t′ ) = β(t′ )ez , w = w∥ ez +w⊥ ex .
При этом выражение (16.29)сводится к следующему:222dE2e2 w∥ + w⊥ (1 − β ) =.t′dt′3c3(1 − β 2 )3(16.41)Обратимся к интегралу (16.40). Входящий в него единичный векторn(t′ ), идущий от заряда в момент t′ к точке наблюдения, задается углами θ, α сферической системы координат, привязанной к векторам β(t′ ),w⊥ (t′ ), так чтоn = sin θ(cos αex + sin αey ) + cos θez .Элемент телесного угла dΩ равен sin θdαdθ. Заметим, что зависимостьподынтегрального выражения от угловой координаты α обусловленалишь множителем nw = sin θ cos αw⊥ +cos θw∥ и его квадратом.
Отсюданетрудно увидеть, что после интегрирования по переменной α от 0 до2π интеграл из (16.40) сводится к одномерному интегралу∫π2π0{ w2 + w2∥(1 −2β cos θw∥2(1⊥+−234β ) (1 − β cos θ)2− β 2 )[(1/2) sin2 θw⊥+ cos2 θw∥2 ] }(1 − β cos θ)5sin θdθ.16.6. Торможение излучением55После интегрирования для dE/dt′ получается выражение, совпадающее с (16.29). Следовательно, интегральное представление dE/dt′ в виде(16.39) действительно соответствует локальной величине (16.29).Как видим, в общем случае величины J и dE/dt′ отличаются междусобой. Только для классической частицы β ≪ 1 (дипольное излучение) интеграл (16.39) сводится к соответствующему интегралу для J.При этом интенсивность излучения и мощность излучения между собой равны, зависят от величины ускорения и выражаются формулой(16.24).16.5.Торможение излучением1.
Раньше, в §16.3, затрагивался вопрос о потере механической энергии движущимся зарядом за счет излучения. Было отмечено, что скорость потери энергии на излучение и мощность излучения между собойне равны. Теперь заметим, что названная потеря энергии движущегосязаряда может происходить только в результате действия силы торможения. Следовательно, для независимого вычисления скорости потериэнергии на излучение необходимо знать эту силу, обусловленную излучением.Как оказывается, электрическое поле, порождённое неравномернодвижущимся зарядом, способно оказать обратное силовое действие назаряд.
Эта сила и будет силой торможения излучением. Для ее определения, следовательно, необходимо исследовать распределение поля Eдвижущегося заряда в близкой окрестности его мгновенного положения.Ниже показано, что искомое распределение для случая движения смалыми скоростями v ≪ c имеет вид:Ep (t) =en e[n(n · v̇) + v̇] 2ev̈−+ 3.Re22c2 Re3c(16.42)Здесь поле в точке P в момент времени t выражено через геометрические параметры Re (t), n(t) = Re (t)/Re (t) (см. рис. 16.8), связывающиеточку наблюдения с положением заряда в момент наблюдения, а такжепервую и вторую производные скорости v̇(t), v̈(t).
Обратим внимание,что выражение (16.42) не содержит вектора скорости v(t) (в окончательном ответе v/c принят равным нулю), нет здесь также слагаемых,исчезающих при Re (t) → 0.56Глава 16. Излучение релятивистских зарядовPv(t)R e (t)положениезарядав момент tv(t’)Рис. 16.8В принципе искомое распределение содержится в формуле (16.16) поля ЛиенараВихерта, в которой E(r, t) выражается через положение, скорость и ускорение за-Pn(t)n(t’)r0(t)r0(t’)0Рис. 16.9ряда в ретардированный момент времени t′ (см.
рис. 16.9), определяемый соотношением (16.3)t′ + Re (t)/c = t.При v ≪ c положение заряда в момент t′ мало отличается от его положения в моментt, т. е.Re (t′ )≪ Re (t′ )(а такжеRe (t)).(∗)|r0 (t) − r0 (t′ )| ≃ v(t − t′ ) = vc′′′′Следовательно, геометрические параметры n(t ), Re (t ), а также v(t ), v̇(t ), входящие в (16.16), близки к соответствующим величинам в момент t и выражение (16.16)можно разложить в ряд Тейлора относительно момента времени t и придти к нужному ответу.
Однако этот путь слишком долог.16.6. Торможение излучением572. Искомый результат проще получается непосредственно из запаздывающих потенциалов (12.7), (12.8)∫∫1j (r ′ , t − R/c) ′ρ (r ′ , t − R/c) ′A(r, t) =dV,φ(r,t)=dV .′cR(r, r )R(r, r ′ )(16.43)Для этого примем во внимание, что условие ( * ) в данном случае одногозаряда можно переписать в видеRe /c ≪ T,(∗∗)поскольку в качестве характерного времени изменения поля в точке Pздесь выступает T = Re /v. Воспользовавшись условием ( ** ), подынтегральные функции ρ (r ′ , t − R/c) , j (r ′ , t − R/c) разложим по степенямR/c (с удержанием третьей степени).
После подстановки результата разложенияρ (r ′ , t − R/c) = ρ(r ′ , t) +∂ρ(r ′ , t)1 ∂ 2 ρ(r ′ , t)(−R/c) +(R/c)2 +∂t2∂t21 ∂ 3 ρ(r ′ , t)(−R/c)36∂t3и аналогичного выражения для j (r ′ , t − R/c) , интегралы (16.43) перейдут в соответствующие суммы. Одну из них здесь приведём:+φ(r, t) =∫ ρ (r ′ , t)1 ∂ ∫ρ (r ′ , t) dV ′ +dV ′ −′R(r, r )c ∂t1 ∂3 ∫ 21 ∂2 ∫′′′R(r,r)ρ(r,t)dV−R (r, r ′ )ρ (r ′ , t) dV ′ .2c2 ∂t26c3 ∂t3(16.44)(Выражение для A(r, t) получается отсюда простой заменой ρ (r ′ , t) на(1/c)j (r ′ , t) .)Вспомним далее, что для излучателя в виде рассматриваемого точечного заряда соответствующие функции имеют вид+j (r ′ , t) = ev(t)δ[r ′ − r0 (t)], ρ (r ′ , t) = eδ[r ′ − r0 (t)].Подставим ρ (r ′ , t) в выражение (16.44).
Поскольку второе слагаемоеэтой суммы обращается в нуль, в результате интегрирования получаемφ(r, t) =ee ∂2e ∂3+ 2 2 Re (r, t) − 3 3 Re2 (r, t).Re (r, t) 2c ∂t6c ∂t(16.45)58Глава 16. Излучение релятивистских зарядов(Здесь символ Re = R(r, r ′ )r′ =r0 (t) выписан с указанием аргументовr, t, чтобы подчеркнуть, что радиус-вектор Re = r − r0 (t) соединяетмгновенное положение заряда в момент t с положением точки наблюдения P (см.
рис. 16.9).)Аналогичное выражение для векторного потенциала приобретаетвид) e ∂3 ()ev(t)ee ∂2 (A(r, t) =− 2 v̇(t)+ 3 2 Re (r, t)v(t) − 4 3 Re2 (r, t)v(t) .cRe (r, t) c2c ∂t6c ∂t(16.46)Теперь можно приступить непосредственно к вычислению поля 9Ep (t) = −(1/c)(∂A/∂t) − grad φ. Предварительно, не приводя вычислений, заметим, что последние два члена разложения в выражении (16.46)порождают только малый вклад в поле Ep (t), не учитываемый в главном результате (16.42). (Соответствующие слагаемые либо обращаютсяв нуль при Re → 0, либо малы из-за v/c ≪ 1.)Таким образом,]1 ∂ [ ev(t)e1Ep (t) = −− 2 v̇(t) − e grad−c ∂t cRe (r, t) cRe (r, t)e ∂2e ∂3gradR(r,t)+grad Re2 (r, t).e2c2 ∂t26c3 ∂t3После вычисления соответствующих производных, замены n = Re /Reи исключения малых слагаемых, пропорциональных v/c, (v/c)2 , приходим к искомому результату (16.42).Первое из слагаемых в (16.42) — это кулоновское поле заряда, второе описывает добавку, обусловленную ускорением заряда (говорят —«инерция поля»).
Эти поля при приближении к частице стремятся кбесконечности. Из (16.42) видно, что вблизи мгновенного положениязаряда имеется еще одно дополнительное поле — однородное, не зависящее от расстояния Re . Создаваемая этим полем сила−fт =2 e2 v̈3 c3(16.47)(т. е. сила самодействия заряда через посредство излученного чуть раньше электромагнитного поля) и есть сила торможения излучением. Как9 Вспомним,что приближенные выражения для скалярного и векторного потенциалов можно использовать для определения полей E,B только в случае, если φ, Aсовместно удовлетворяют условию (12.4) калибровки Лоренца.
В качестве упражнения убедитесь, что выражения (16.45), (16.46) удовлетворяют этому условию.16.6. Торможение излучением59следует из приведенного анализа, формула (16.47) дает точное выражение для силы торможения в той системе отсчета, в которой частица в данный момент покоится (т. е. в сопутствующей системе).3∗ . Необходимо заметить, что описание действия заряда «самого насебя» с помощью силы торможения не является вполне удовлетворительным и приводит к результату, например, явно противоречащемузакону сохранения энергии.
Рассмотрим уравнение движения заряда вотсутствие внешнего поля, на который действует только сила (16.47),mv̇ =2 e2v̈.3 c3Его общее решение можно записать в видеv(t) = v(0) + τ v̇(0)(et/τ − 1)(τ =2 re2e2=),3mc33 cиспользовав в качестве произвольных постоянных скорость v(0) и ускорение v̇(0) заряда в начальный момент времени. Видно, что кроме естественного движения с постоянной скоростью v(0), решением допускается также движение с ускорением, экспоненциально растущим с характерным временем τ (для электрона имеющим порядок re /c ≈ 10−23 c).Это значит, например, что заряд, прошедший через какое-либо поле, повыходе из поля должен неограниченно самоускоряться, что несовместимо с законом сохранения энергии.Для устранения выявленного несоответствия принимают, что силаторможения (16.47) не является самостоятельной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
