1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда,12 Кромеособого случая v∥E, B = 016.9. Излучение заряда, движущегося в однородном электрическом поле67как следует из баланса энергии-импульса (16.58), мощность излученияи импульс, уносимый излучением за единицу времени t′ , т. е.dE2e4=E2,dt′3m2 c3 0dpv dE= 2 ′,′dtc dt(16.66)обеспечиваются полностью за счет буферного поля и никак не связаныс потерей энергии-импульса излучающей частицы. При этом, конечно,возникает вопрос, каким образом в буферном поле оказываются запасенными необходимые энергия и импульс, и откуда они берутся. Нижемы увидим, что эти энергия и импульс составляют просто промежуточное звено в процессе передачи энергии-импульса от ускоренно движущегося заряда полю излучения. Излучаемые энергия и импульс на самомделе отнимаются от излучающего заряда, но этот «отъем» происходитне тогда, когда заряд движется в однородном электрическом поле. Всепроисходит до и после попадания заряда в область однородного поля.Естественно, эта область не может считаться бесконечной.Для иллюстрации сказанного рассмотрим движение заряда вдольоси x, где электрическое поле E = Ex ex , причем на некотором интервале от x1 до x2 = x1 + l это поле однородно и равно E0 .
До вхожденияв эту область и после нее заряд движется в неоднородном поле Ex (x),где сила торможения отлична от нуля.Излученные за время (t′2 − t′1 ) пребывания заряда в области однородного поля (x1 , x2 ) энергия и импульс согласно (16.66) равны∆E =1 dE∆p = 2 ′c dt∫t′2t′1dE ′2e4′(t−t)=E 2 (t′ − t′1 ),21dt′3m2 c3 0 2v(t′ )dt′ =(16.67)1 dE2e4(x−x)=E 2 (x2 − x1 ).
(16.68)21c2 dt′3m2 c5 0Отметим, что протяженность однородного поля ∆x = l и время ∆t′ =t′2 − t′1 пребывания заряда в этой области, входящие в формулы (16.67),(16.68), связаны соотношением√√c∆x =p2 = p1 + eE0 ∆t′ , (16.69)( p22 + m2 c2 − p21 + m2 c2 ),eE0где p1 , p2 — импульс частицы на входе и выходе из зоны однородногополя.Эта связь определяется релятивистским уравнением движения заряда dp/dt′ = eE0под действием постоянной силы fx = eE0 , откуда p(t′ ) = p1 + eE0 (t′ − t′1 ). Воспользовавшись соотношениемpv= √,(16.70)cp2 + m2 c268Глава 16.
Излучение релятивистских зарядовсвязывающим скорость и импульс материальной частицы, для ∆x =имеем′0t′1v(t′ )dt′′∆t∫∆x = c∫ t′2∆t∫p(τ )dτ√=cp2 (τ ) + m2 c2√0p1 + eE0 τ(p1 + eE0 τ )2 + m2 c2dτ.Отсюда получается требуемое соотношение (16.69).ExE0δ1x1δ2xx2lРис. 16.10Теперь обратимся к области неоднородного поля и вычислим обусловленные силой торможения потери здесь энергии и импульса заряженной частицы. На характер поля вне области однородности наложимнепринципиальное ограничение, упрощающее процесс вычислений.
Будем считать, что неоднородное поле занимает узкие зоны ширины δ ≪ l,примыкающие к области x1 < x < x2 , в которых Ex резко спадает отE0 до нуля, как схематически изображено на рис. 16.10. В силу этогоэнергию и импульс, излученные на этих отрезках траектории, можно непринимать во внимание, а при вычислении силы торможения по формуле (16.65) скорость частицы vx в пределах каждого из этих слоевможно считать неизменной и равной v1 , v2 , соответственно связанной симпульсами p1 , p2 . Следовательно, суммарные изменения механическихэнергии и импульса частицы за счет∫ силы торможения, ∫определяемыеинтегралами по времени ∆Eмех = fтx v(t′ )dt′ и ∆pмех = fтx dt′ , послеперехода к интегрированию по координате x сводятся к∫x1∆Eмех =x∫2 +δfтx dx +x1 −δfтx dx,x2∫x1∆pмех =x1 −δfтxdx +vxx∫2 +δx2fтxdx.vx16.10.
Синхротронное излучение69В результате интегрирования получаем()2e3v1v22e3√√EE0 (p1 − p2 ),∆Eмех =−=03mc33mc31 − v12 /c21 − v22 /c2()2e311√√∆pмех =E−=03mc31 − v12 /c21 − v22 /c2√√p21 + m2 c2 − p22 + m2 c22e3=E,03mc3mcгде последний шаг выполнен с помощью тождества√mc1 − v 2 /c2 = √,p2 + m2 c2следующего из соотношения (16.70). После замены√√eE0p1 −p2 = −eE0 ∆t′ ,p21 + m2 c2 − p22 + m2 c2 = −∆x (см.(16.70)),cокончательный результат для рассматриваемых величин приобретаетвид2e4 E 22e4 E 2∆Eмех = − 2 03 ∆t′ ,∆pмех = − 2 03 ∆x.3m c3m cСравнение их с величинами (16.67), (16.68) подтверждает, что потерянные за счет силы торможения энергия и импульс частицы действительно в точности компенсируют энергию и импульс, унесенные излучением, порожденным частицей за время движения в однородном поле.
Иэто несмотря на то, что в одной из двух областей неоднородного поля(на входе в область Ex = E0 или на выходе из нее, в зависимости отзнака заряда) «сила торможения» (16.65) фактически является ускоряющей силой. Последнее обстоятельство, следовательно, не должно нассмущать, поскольку суммарно действие силы fт обеспечивает нужнуюкомпенсацию энергии и импульса.16.9.Синхротронное излучение1. Так называют излучение релятивистских электронов, движущихся по круговой орбите в магнитном поле.13 Название связано с тем,13 Вное.литературе встречается и другое название этого излучения — магнитотормоз-70Глава 16. Излучение релятивистских зарядовчто впервые излучение ускоренно движущихся электронов визуальнонаблюдалось («электронный свет»)в камере циклического ускорителя— синхротрона (США, 1947).Экспериментальные и теоретические исследования, посвященные синхротронному излучению (СИ), в настоящее время составляют самостоятельный раздел физикии имеют обширный спектр применений в физическом эксперименте.
Физика синхротронного излучения приобрела важное значение также в астрофизике при анализеприроды нетеплового излучения, возникающего в космическом пространстве.2. Наше краткое обсуждение СИ касается тех его простейших свойств,которые объясняются на основе классической электродинамики и опираются на результаты предыдущих параграфов. Начнём рассмотрениес движения релятивистского заряда с массой m и зарядом e в однородном магнитном поле. Ограничимся частным случаем движения поvfe, mРис. 16.11круговой орбите в плоскости, перпендикулярной магнитному полю B(см.
рис. 16.11). Поскольку сила Лоренцаf = (e/c)[v × B],действующая на заряд, перпендикулярна скорости и работы над зарядом не совершает, его энергия и релятивистская масса mγ не меняютсясо временем. При этом релятивистское уравнение движения dp/dt = fпереходит в классическое уравнениеmγw = f .Следовательно, центростремительное ускорение w = v 2 /R, связанное с16.10. Синхротронное излучение71радиусом орбиты R, подчиняется равенствуmγv2evB=.RcОтсюда для радиуса R, часто называемого ларморовским, частоты орбитального движения («ларморовской частоты») ωв = v/R и для ускорения получаем выражения, связывающие их с величиной поля B :mγvcpc=,eBeB(16.71)ωв =eB,mγc(16.72)w=v eB.c mγ(16.73)R=Эти формулы нам понадобятся3.
Обратимся к мощности излучения. Ее величинаdE2e4 2 2 2=β γ B′dt3m2 c3(16.74)непосредственно следует из выражения (16.31) 14 при E = 0, v⊥B.Как мы видели в § 16.7, мощность излучения и скорость потери энергии излучающей частицы в общем случае не равны. В предыдущем параграфе мы имели случай, когда скорость потери энергии на излучениевовсе равна нулю при мощности излучения, отличной от нуля.
А теперьмы встречаемся с ситуацией, когда эти две энергетические характеристики излучения тождественны. Действительно, как следует из формулы (16.63), при E = 0, B = const, v⊥B сила торможения равна15fт = −2e4 B 21v.24223m c 1 − v /c cПри этом мощность, развиваемая частицей против этой силы−fт · v =2e4 B 2 (v/c)2,3m2 c3 1 − v 2 /c214 Этот результат можно получить также из равенства (16.29), подставляя в негоускорение (16.73) и учитывая v⊥w.15 Данный результат нетрудно получить и из формулы (16.60), воспользовавшисьтем, что v · w = 0, и заметив, что для движения по круговой орбите с постояннойскоростью ẇ = −(v/R)ωв v.72Глава 16.
Излучение релятивистских зарядовт. е. скорость потери энергии на излучение, в точности совпадает с мощностью излучения. Следовательно, о величине dE/dt′ (16.74) мы здесьможем говорить как о скорости потери энергии на излучение. Умноживеё на период обращения, можем определить потерю энергии электроназа один оборотdE 2π4π e3 β 2 γ 3∆E = ′=B.dt ωв3 mc2Если значение поля B выразить через радиус орбиты (16.71), ∆E можнопредставить в виде4π re 3 4 2β γ mc ,(16.75)∆E =3 Rгде re = e2 /mc2 ≈ 2,8 · 10−13 см — классический радиус электрона.
Отсюда видно, что потеря энергии на излучение за один оборот пропорциональна четвертой степени энергии и обратно пропорциональна радиусу орбиты только в первой степени. ДАЛЬШЕ АНАЛОГ МешковаЧирикова и Гинзбурга-Погосова.4. О диаграмме направленности СИ. Как мы видели в § 16.4, изкаждого положения на орбите ультрарелятивистский электрон излучает1γz1γv(t’)e, mРис. 16.12плоскость орбитыРис. 16.13в острый конус с углом при вершине порядка 1/γ (рис.
16.12). Поэтомурезультирующее излучение будет приниматься только вблизи плоскости орбиты. Оно осесимметрично и обладает диаграммой направленности, схематически представленной на рис. 16.13. Заметим, что последняя качественно отличается от диаграммы направленности излученияэлектрона, движущегося с малой скоростью v ≪ c. Соответствующаякартина, полученная при изучении дипольного излучения, содержитсяна рис. 13.5.16.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
