1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 15
Текст из файла (страница 15)
рис.17.7)«Наблюдаемая высота небесного светила над горизонтом оказывается больше истинной. Эффект особенно значителен, когда светило наблюдается у горизонта (рефракция при этом достигает 0,5 градуса) и94Глава 17. Геометрическая оптикаdOurϕРис. 17.6S’1S1S’2горизонтнаблюдательРис.
17.7S217.6. Примеры применения уравнения луча95быстро убывает с увеличением высоты. Этим объясняется сплюснутаяформа солнечного диска при восходе и закате. Благодаря рефракциимы видим Солнце в течение нескольких минут после того, как оно ужезашло.» (Из Бутикова.)3. В качестве последнего примера использования уравнения лучапокажем, что в общем случае произвольной зависимости n(x, y, z) главная нормаль к лучу лежит в плоскости, образованной векторами u иgrad n.
Выразим также кривизну луча через grad n.Вопрос сформулируем так: если в некоторой точке P пространствауказан вектор grad n и задано направление вектора u касательной к лучу, то как по этим данным определить направление главной нормали ирадиус кривизны луча R в названной точке? Для ответа воспользуемсяопределением вектора u (17.30) и уравнение луча перепишем в видеdnduu+n= grad n.dsdsИз этого векторного равенства следует, что три входящих в него вектораu, grad n и du/ds лежат в одной плоскости. Поскольку последний изэтих векторов (производная единичного вектора касательной по длинекривой) равен N /R, где N — единичный вектор главной нормали, тоиз сказанного вытекает, что N лежит в плоскости векторов u, grad n.5Предыдущее равенство, переписанное в видеdnnu + N = grad ndsR(17.36)теперь можно рассматривать как разложение grad n в точке P по двумвзаимно ортогональным ортам u и N .
Следовательно, при заданныхвекторах u и grad n третий из векторов N /R однозначно определяетсякак по направлению, так и по величине. Как видно из рис. 17.8, изменение направления луча на противоположное не сказывается на вектореN /R и, следовательно, на кривизне луча, схематично также изображенного прерывистой линией на этих схемах.
Отсюда понятно, что центркривизны находится на той стороне от вектора u, где находится конец вектора grad n, и луч всегда искривляется в сторону возрастаниякоэффициента преломления.Искривлением лучей света в неравномерно нагретом воздухе объясняется явление миража, когда в жаркой пустыне возникает иллюзия5 Случай, когда векторы u и grad n лежат на одной прямой (при этом grad n =dn/ds u), интереса не представляет, поскольку, как видно из последующего соотношения (17.36), луч при этом не искривлен, его радиус кривизны R = ∞.96Глава 17.
Геометрическая оптикаgrad ngrad nNRNRugrad u n Pgrad u n PuРис. 17.8Рис. 17.9находящейся на горизонте водной глади или вдали на асфальте нагретого солнечными лучами шоссе видны «лужи», исчезающие при приближении к ним. Прилегающие к раскалённой земле слои воздуха нагретысильнее, поэтому плотность воздуха и его показатель преломления возрастают с высотой. Лучи света, входящие в такой слой под небольшими углами, искривляются и, не достигнув земли, выходят обратно подтакими же углами (см.
рис. 17.9). Мы настолько привыкли к прямолинейному распространению света, что подсознательно считаем источникрасположенным на прямолинейном продолжении попадающих в глазлучей даже тогда, когда они искривлены; мы видим расположенные надгоризонтом удалённые предметы как бы отражёнными горизонтальнойзеркальной поверхностью («водной гладью)».17.7. Принцип Ферма17.7.97Принцип ФермаУравнение луча (17.33) и граничное условие в виде закона преломления (17.35) Снеллиуса, определяющие траекторию светового луча, впредыдущих параграфах получены исходя из уравнений Максвелла вприближении геометрической оптики. Теперь обратимся к вариационному принципу Ферма, как наиболее общему закону, управляющемутраекторией луча света между двумя заданными точками, и покажем,что названные выше уравнение и граничное условие соответствуют требованию этого принципа.Принцип Ферма формулируется с использованием понятия оптической длины пути ℓ между двумя точками.
В однородной среде под этойдлиной подразумевается произведение геометрической длины пути s ипоказателя преломления, т. е. ℓ = ns. В случае неоднородной среды оптическая длина пути складывается из элементарных оптических длинdℓ = nds и выражается интегралом∫ Bℓ=nds,(17.37)Aвзятым вдоль кривой, соединяющей точки A, B. (сослаться на рис.) Если пространственную кривую, соединяющую точки A и B, представитьпараметрической функцией r(ξ) = x(ξ)ex + y(ξ)ey + z(ξ)ez (параметрξ меняется в фиксированных пределах [ξA , ξB ]) и для производных использовать обозначения типа ẋ = dx/dξ, то функционал (17.37) можнозаписать в виде∫ξBℓ=√n(x, y, z) ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dξ.(17.38)ξAТогда задача определения функции r(ξ), задающей траекторию реального луча между точками, сводится к требованию, чтобы вариация функционала (17.38) равнялась нулю.
При этом вариационная задача принимает привычный вид∫ ξBδL(x, y, z, ẋ, ẏ, ż) dξ = 0,ξAгде функция ЛагранжаL = n(x, y, z)√ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 .(17.39)98Глава 17. Геометрическая оптикаОтсюда видно, что принцип Ферма имеет точно ту же форму, что ипринцип наименьшего действия Гамильтона.
Решение этой вариационной задачи вам хорошо знакомо из курса аналитической механики. Онодается трёмя уравнениями Эйлера, одно из которых для x—координатытраектории луча здесь выпишем:d ∂L ∂L−= 0.dξ ∂ ẋ∂xПосле подстановки выражения (17.39) и замены√ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dξ = ds,рассматриваемое уравнение приводится к видуd ( dx ) ∂nn=.ds ds∂xОбъединив его с аналогичными уравнениями для y и z — координат,мы приходим к векторному уравнениюd ( dr )n= grad n,ds dsсовпадающему с уравнением луча (17.33). Тем самым мы убеждаемся,что это уравнение является следствием принципа Ферма.Убедимся в заключение, что известные законы отражения-преломлениясвета также могут быть выведены из принципа Ферма. Покажем это наBϕ2|OC| = δxMn1n2Oϕ1CKAРис.
17.10примере закона преломления. Для этого рассмотрим луч, проходящий17.7. Принцип Ферма99через точку A среды 1 и точку B среды 2 с показателями преломленияn1 = const, n2 = const . Пусть границу раздела сред луч пересекает вточке O. Необходимо показать, во-первых, что ломаный луч AOB образует плоскость, проходящую через нормаль к поверхности разделав точке O, как изображено на рис.
17.10. Во-вторых, необходимо убедиться, что углы падения и преломления связаны соотношением (17.35)n1 sin φ1 = n2 sin φ2 .Как следует из принципа Ферма, оптическая длина реального луча AOB должна иметь экстремальное значение и, следовательно, припереходе к любому близкому воображаемому пути в первом приближении не должна изменяться. Возьмём, например, возможный путь в виделоманой ACB (на рис. 17.10 показан штриховой линией), где точка Cтакже находится на поверхности раздела, но смещена на величину δxот точки O в плоскости рисунка. При этом суммарное изменение оптической длины пути между точками A и B в первом приближении постепеням δx составитδℓ = n1 |KC| − n2 |OM | = (n1 sin φ1 − n2 sin φ2 )δx(необходимые обозначения содержатся на рисунке). Следовательно, требование δℓ = 0 приводит к нужному равенству (17.35).Нам остается рассмотреть возможный путь, полученный смещениемточки O на расстояние δy в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка.
Легко увидеть, что изменение оптической длины пути приэтом пропорционально (δy)2 и, следовательно, условие δℓ = 0 для траектории AOB выполняется. Таким образом, истинная траектория луча,соединяющего точки A и B, действительно лежит в плоскости, проходящей через нормаль к поверхности раздела в точке O, в чём и нужнобыло убедиться.Исследование поведения лучей в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления n(r) на этом завершим.
Дальнейшие шагибудут относиться к случаю, когда среда состоит из отдельных областейс постоянными свойствами и изменение свойств происходит только награницах раздела отдельных областей. В пределах однородных областей свет распространяется прямолинейно; изменение направления происходит на границах, где справедливы законы отражения-преломления.Вследствие этого исследование поведения лучей во многих оптическихустройствах, имеющих важное практическое значение, в частности, дляформирования светового пучка (светотехника) и для образования изоб-100Глава 17. Геометрическая оптикаражения (оптотехника), состоит просто из последовательного использования законов отражения и преломления.Заметим, что полученные на этом пути конкретные рекомендации,необходимые для создания совершенных оптических систем, составляют предмет специальных курсов и подробно здесь изложены быть немогут.
Мы ограничимся рассмотрением простейших вопросов из этого круга. Начнем с понятий, характеризующих свойства оптическихпучков в однородных средах и их изменения в результате отраженийпреломлений на границах раздела.17.8.Гомоцентричность и астигматизм оптического пучка1. Пучок лучей, исходящих из светящейся точки, называется гомо-LL’а)б)L’Lв)Рис. 17.11центрическим, т. е. имеющим общий центр (рис. 17.11(а)). Если послеотражения или преломления этот пучок превращается в пучок, сходящийся также в одну точку, то и последний представляет собой гомоцентрический пучок и центр его является изображением светящейся точки(рис.
17.11(б)). (Светящаяся точка и её изображение везде в этой главе будут иметь обозначения L и L′ .) В том случае, когда в результатеотражения-преломления гомоцентрический пучок превращается в расходящийся (также гомоцентрический) пучок лучей, как бы исходящихиз одной точки, эту точку называют мнимым изображением светящейся точки. Этот случай на простейшем примере отражения от плоскогозеркала представлен на рис. 17.11(в). Здесь точки L и L′ симметричныотносительно плоскости зеркала.Понятно, что оптическая система может создать изображение предмета (действительное или мнимое), если гомоцентрические пучки, исхо-17.8.
Гомоцентричность и астигматизм оптического пучка101дящие из его точек, после прохождения оптической системы остаютсягомоцентрическими и такие изображения называются стигматическими. Однако «в чистом виде» подобные случае редки и обычно послепрохождения оптической системы гомоцентрический пучок превращается в пучок лучей, не пересекающихся строго в одной точке. Такойпучок называется астигматическим.2. Простейший случай преобразования гомоцентрического пучка вастигматический имеет место при преломлении на плоской границе раздела двух прозрачных сред с различными показателями преломления.Этим примером, в котором получаемый астигматический пучок обладает осью симметрии, мы ограничимся для знакомства с характернойособенностью этих пучков — наличием так называемых фокальных линий вместо точечного изображения.xn1n2θ'2θ'1θ2S 12θ1LL’0 L’1 L’2OzРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
