1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Их положения в пространстве и характер можно определить непосредственно из построений с учетом граничного условия17.10. Преломление луча на сферической поверхности113n1 φ1 = n2 φ2 . На рис. 17.21 и рис. 17.22 представлен случай, где падающий пучок встречает выпуклую поверхность раздела и показателисреды удовлетворяют условию n2 > n1 (следовательно, φ2 < φ2 .) Видно, что фокусы F1 , F2 расположены здесь в собственных областях 1,2 иявляются действительными.
При изменении знака R (то есть если пучок встречает вогнутую поверхность) и сохранении условия n2 > n1 ,как видно из рис. 17.23, рис. 17.24, фокусы становятся мнимыми, а рас-ϕ2ϕ1F2ϕ2F1CCРис. 17.23Рис. 17.24полагаются они в смежных областях (например, F1 находится в области2). Естественно, всё это непосредственно вытекает из формул (17.46),(17.47), из которых следует, что изменение характера фокусов происходит при изменении знака произведения R(n2 −n1 ).
При положительныхR(n2 − n1 ) имеем действительные фокусы, расположенные в собственных областях, при отрицательных R(n2 − n1 ) — фокусы мнимые, а расположены они в смежных областях.Полезно здесь обратить внимание на два обстоятельства, связанныес фокусами F1 , F2 . Во-первых, их координаты связаны между собойсоотношениемz1fn1=− ,(17.48)z2fn2так что фокусы всегда, независимо от отношения n1 /n2 и значения радиуса R (по величине и знаку), располагаются по разные стороны отповерхности раздела. Во-вторых, если фокусы использовать в качественачала отсчёта z-координат точек L, L′ и принятьz̃1 = z1 − z1f ,(0)z̃2 = z2 − z2f ,(17.49)то связь (17.45) между соответствующими координатами замечательно114Глава 17. Геометрическая оптикаупрощается10 и принимает вид(17.50)z̃1 z̃2 = z1f z2f .Как следует из связи (17.48), правая часть соотношения (17.50) всегдаотрицательна.
Следовательно, источник L и его изображение L′ всегдарасполагаются по разные стороны от соответствующих фокусов.4. От изображения точечного объекта перейдём к изображению малого предмета, создаваемого преломляющей сферической границей. ПустьMMPF2L’OLРис.
17.25CzM’L’CLQM’Рис. 17.26L и L′ — точечный объект и его изображение (см. рис. 17.25). Если повернём ось LC вокруг центра кривизны C на небольшой угол, то точка L перейдёт в положение M, а её изображение — в положение M ′ .При этом все точки дуги LM отобразятся соответственными точкамидуги L′ M ′ . Если дуги LM и L′ M ′ малы, то их можно рассматриватькак прямолинейные отрезки, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси z и проходящих через точки L L′ . Точно так, как точки L и L′являются сопряжёнными точками, названные две плоскости являютсясопряжёнными плоскостями, поскольку любые две точки M и M ′ этихплоскостей, соединяемые прямой, проходящей через центр C, являются сопряжёнными.
Отсюда вытекает, что изображением малой плоскойплощадки ∆S, нормальной к оптической оси, будет также соответствующая плоская площадка ∆S ′ в сопряжённой плоскости.До сих пор положения точек L, L′ и, следовательно, сопряжённыхплоскостей мы определяли z — координатами, подчиняющимися формуле (17.45). Теперь продемонстрируем геометрический метод построения изображения.
Для этого воспользуемся тем, что каждаяточка изображения, являющаяся местом пересечения всех лучей, исходящих из сопряжённой точки объекта, может быть определена местомпересечения любых двух из этих лучей. Знание положений переднего и10 Дляэтого второе слагаемое правой части (17.45) заменяем на n2 /z2f , полученное(0)равенство делим на n1 и подставляем в него значения z1 , z2 , n1 /n2 , получаемые изсоотношений (17.48), (17.49).17.11. О критерии параксиальности115заднего фокусов позволяет провести два луча, исходящих из точечногообъекта (точка M на рис. 17.26), направления которых после преломления на сфере нам известны. Это луч M P, параллельный оптическойоси, и луч M Q, проходящий через передний фокус.
После преломленияони идут так, как изображено на рисунке, и пересекаются в точке M ′ ,являющейся изображением точки M. Дополнив рисунок точками L, L′ ,мы получили отрезок LM и его изображение — отрезок L′ M ′ .17.11.О критерии параксиальностиВ учебном пособии, предназначенном для начинающих, полезно квопросу о фокусировке на сферической поверхности раздела подойтиещё и с другой стороны, обратившись к принципу Ферма.
Здесь мыне только продемонстрируем использование принципа Ферма для определения положения изображения, но, что важнее, покажем, что изображение фактически не является точкой, через которую проходят всерассматриваемые лучи, а представляет собой короткий отрезок прямой.Мы оценим длину этой фокальной линии и обсудим, в каком смысле еёдлиной можно пренебречь и изображение обоснованно считать точечным. Иными словами, мы здесь получим критерий параксиальностигомоцентрического пучка.Итак, рассмотрим достаточно тонкий гомоцентрический пучок лучей, исходящих из светящейся точки L, падающий на сферическую границу раздела сред.
Два луча из этого пучка изображены на рис. 17.27.PS1Lz1S2hOzpRCL’z2zРис. 17.27Один из них падает на поверхность по нормали и проходит границу безпреломления. (По направлению этого луча проведена ось z, за начало координат принята точка O на сфере.) Второй луч проходит черезточку P поверхности, расположенную на малом расстоянии h от оси z.116Глава 17. Геометрическая оптикаПосле преломления этот луч пересекает ось z в некоторой точке L′ скоординатой z2 , которую требуется определить (символ z1 на рис. 17.27относится к светящейся точке L).Как следует из принципа Ферма, когда два луча, исходящие из одной точки L, после прохождения границы встречаются в точке L′ , оптические длины ломаного луча LP L′ и прямого луча LL′ должны бытьмежду собой равны.
Обозначив расстояния | LP |, | P L′ | символами s1 ,s2 (см. рис. 17.27), названное условие представим в видеn1 s1 + n2 s2 = n1 (−z1 ) + n2 z2 .(17.51)Оно служит для определения искомой координаты z2 , для чего предварительно s1 , s2 выразим через z1 , z2 , R. Для параксиальных лучей споперечной координатой h, удовлетворяющей условиюh ≪ (s1 , s2 , R),для этого воспользуемся приближенными геометрическими формуламиs=d+h2,2dd=s−h2,2s(17.52)определяющими разность между гипотенузой s и длинным катетом dв треугольнике по его короткому катету h ≪ d. В рассматриваемомслучае рис. 17.27 гипотенузами являются s1 , s2 , а соответствующиедлинные катеты отличаются от | z1 | и z2 на координату точки P, равнуюzp = h2 /2R.(17.53)Для гипотенуз s1 , s2 имеемs1 = (−z1 + zp ) +s2 = (z2 − zp ) +h2h2zp= (−z1 + zp ) −(1 + ),2(−z1 )(1 − zp /z1 )2z1z1h2zp(1 + ).2z2z2После подстановки этих выражений и равенства (17.53) условие (17.51)здесь приводится к квадратному уравнению(([ ( R )2( R )2 ]R)R)n1 1 −− n2 1 −− ϵ n1− n2= 0,z1z2z1z2(17.54)17.11.
О критерии параксиальности117для искомой величины, представленной в виде безразмерной переменной R/z2 . Координата h также обезразмерена с помощью масштаба Rи в уравнение входит в виде малого параметраϵ=h2≪ 1.2R2(17.55)при квадрате неизвестной. Решение построим по методу возмущения:(0)(1)z2 = z2 + ϵz2 .Подставив выражениеRRR (z2 )= (0)=1−ϵ(1)(0)(0)z2z2 + ϵz2z2z2(1)в уравнение (17.54), для нулевого и первого приближений получим соответствующие результаты:n2(0)z2=n1n2 − n1,+z1R(17.56)(0)[n1 ( z2 )]2(1)z2 = R 1 −.n2 z 1(17.57)Здесь уравнение нулевого приближения (17.56) представлено в виде результата (17.45), полученного ранее из геометрического рассмотрения,и определяет положение изображения в параксиальном приближении(0)z2 =n1 z 1 R.n1 R + (n2 − n1 )z1(17.58)(1)Первое приближение приведено к решению (17.57) для z2 .
Разность(1)(0)z2 − z2 = ϵz2 , характеризующая смещение фокальной точки для конуса лучей, определяемых параметром h, относительно параксиального(0)изображения z2 , в рассматриваемом случае преломления на сферической границе11 определяется формулой(1)δzR = ϵz2 =(0)h2 [n1 ( z2 )2 ]1−.2Rn2 z1(17.59)11 Для случая плоской границы раздела аналогичная формула (17.40) полученаранее.118Глава 17. Геометрическая оптика(Заметим, что точно это выражение для δzR получается из решенияуравнения (17.44) геометрического рассмотрения. Этим подтверждается, что формула (17.59) применима не только для действительного, нои мнимого изображения.)В формулу (17.59) входят координаты источника и изображения(0)z1 , z2 , связанные между собой соотношением (17.56).
Если же перейтик координатам z̃1 , z̃2 , (17.49), отсчитываемым соответственно от переднего F1 и заднего F2 фокусов, и воспользоваться формулой (17.50), торезультат приводится к простому выражению, содержащему только одну из двух координат. Выраженный через координату источника z̃1 ,ответ будет такой:(√ n z )2 ]n1 ( z2f )2 ]h2 [h2 [2 1f1−1−δzR ==.(17.60)2Rn2 z̃12Rn1 z̃1(Переход от (17.59) к (17.60) очевиден: поскольку(0)(0)z2z2f + z̃2z1f z2fzz2f=, z̃2 =, то 2 =.)z1z1f + z̃1z̃1z1z̃1Чтобы результат сделать более обозримым, перепишем его в видеδzR =h2 (1)1− 2 ,2Rξz̃1ξ=√,n2 /n1 z1fгде | ξ | — безразмерное расстояние от фокуса√ F1 до источника L; приэтом в качестве линейного масштаба принят n2 /n1 | z1f | .
Видно отсюда, что по порядку величины рассматриваемое смещение фокальнойточки δzR совпадает с zp = h2 /(2R), а его конкретное значение зависитот z̃1 . Для источника, расположенного на большом удалении от F1 , δzRблизко к названному значению, а при√приближении к фокусу уменьшается, и при достижении расстояния n2 /n1 | z1f | обращается в нуль.(0)Замечаем, что если z̃1 → 0 (при этом z1 → z1f , z2 → ∞), то из формул(17.59), (17.60) получаем результат | δzR |→ ∞, не имеющий физическо(0)го смысла (смещение фокальной точки от положения z2 = ∞!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
