1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 20
Текст из файла (страница 20)
к. для центрального луча линза представляется такой пластиной). Заметное различие этих углов на данномрисунке обеспечено за счёт большого отношения n2 /n1 ≃ 2, как об этомможно судить по фокусным расстояниям | z1f |, | z2f | . В случае, когдапоказатели преломления по обе стороны линзы одинаковы (n1 = n2 ),рассматриваемые углы будут равны. Соответствующая схема прохождения лучей нам понадобится при описании лупы, и она приведена нижена рис. 17.41.Найдём связь между z-координатами плоскости предмета и плоскости изображения zпредм , zизобр , для рассматриваемого случая тонкойx1 = x2− θ2θ1z предмz изобрOРис.
17.33линзы, воспользовавшись матричным равенством x2 10= x1 .n2 θ2 −n2 /z2f 1 n1 θ1 Выразив малые углы θ1 , θ2 (см. рис. 17.33), входящие во вторую строчку этого равенства, через соответствующие координаты в виде θ1 =x1 /(−zпредм ), −θ2 = (x1 = x2 )/(−zизобр ), после сокращения x1 отсюдаполучим искомую зависимостьn2zизобр−n1zпредм=n2.z2f(17.72)126Глава 17. Геометрическая оптикаЗаменив n2 /z2f на выражениеP1 + P2 =n − n1n − n2−,R1R2полученное с учётом формул (17.69), зависимость (17.72) можно записать в видеn2n1n − n1n − n2−=−,zизобрzпредмR1R2напоминающем соотношение (17.45) для одной преломляющей поверхности.В часто встречающемся случае, когда линза находится в воздухе,n1 = n2 = 1, | z1f |=| z2f |, зависимость (17.72) приобретает вид1zизобр−1zпредм=1,z2f(17.73)обычно называемый формулой линзы.В связи с полученной формулой обратим внимание на один частныйслучай — получение действительного изображения с большим увеличением.
Для этого предмет (на рис. 17.32(б) это отрезок P P1 ) необходимо расположить чуть дальше переднего фокуса собирающей линзыв плоскости zпредм = −(f + ∆l) (∆l ≪ f ), где f =| z2f | — фокусноерасстояние. При этом изображение, как нетрудно получить из формулы(17.73), занимает положение zизобр = f 2 /∆l. Выбором ∆l этой коорди(0)нате можно придать любое потребное значение zизобр ≫ f и получитьизображение (см. рисунок) с увеличением(0)(0)zизобрzизобр| P ′ P1′ |=≃.| P P1 |f + ∆lf(17.74)(0)Для фиксированного zизобр оно тем больше, чем меньше фокусное расстояние линзы; это понимание нам будет полезно при рассмотрении оптической схемы микроскопа.Вернёмся к толстой линзе.
Здесь положение с построением изображения совсем иное. Знания расположений главных фокусов F1 , F2 (которые нетрудно определить с помощью матрицы преобразования (17.68))в данном случае недостаточно для построения изображения. Причиназаключается в неопределённости точки пересечения лучей 1′ , 2′ , соответствующих известным падающим лучам 1, 2 (см. рис. 17.34), после17.14. Кардинальные элементы оптической системы127прохождения толстой линзы. Конечно, луч 1′ параллелен оси z, но егоx-координата неизвестна.
Аналогично с лучом 2′ . Он обязательно проходит через фокус F2 , но под неизвестным углом. Поэтому точка переΣ1MΣ222’1F2F11’zРис. 17.34сечения лучей 1′ , 2′ , (т. е. положение сопряжённой точки M ′ ) знаниемфокусов не определяется.На сказанное можно возразить, сказав, что по матрице M (17.68) недостающиепараметры можно рассчитать. Да, но это очень неудобно — для каждой точки Mрассчитывать параметры для построения точки M ′ .Для конструктивного решения задачи разработан соответствующийметод. Заключается он в определении так называемых главных плоскостей, которые вместе с фокусами составляют кардинальные элементыоптической системы и полностью решают задачу построения изображений.17.14.Кардинальные элементы оптическойсистемыПриступая к этому вопросу, мы не будем ограничиваться толстойлинзой, а рассмотрим оптическую систему с матрицей преобразованияM, в общем виде составленной из элементов A, B, C, D, не забывая приэтом, что её определитель равен единице:A B M=|M| = AD − CB = 1.(17.75)C D ,Будем считать, что оптическая система ограничена опорными плоскостями, обозначаемыми Σ1 , Σ2 и проходящими через точки A1 , A2 осиz (см.
рис. 17.35). Показатели преломления среды с внешней стороны128Глава 17. Геометрическая оптикаоптической системы примем как n1 и n2 , соответствующие параметрылуча также обозначим без штрихов (см. сноску 13).Начнём с нахождения заднего главного фокуса. Для этого рассмотрим луч, входящий в оптическую систему параллельно оси z (на рис.Σ 1 H112’H2 Σ 2x 2 (1)11’θ2(2)2x 2 (2)x 1 (2)2θ1(1)zA1F1n1A2F2z(H 1 )|z(H 2 )|n2Рис. 17.3517.35 это есть луч 2) с параметрами x1 (2), θ1 (2) = 0. Параметры выходного луча определяются из равенства x2 (2) A B x1 (2) Ax1 (2)==(17.76)n2 θ2 (2) C D 0 Cx1 (2) ,(здесь, так же, как на рис. 17.35, параметры луча записаны с аргументом, указывающим его номер).
Видно, что параметры x2 (2), θ2 (2)выходного луча 2′ пропорциональны x1 (2) и, следовательно, точка пересечения этого луча (или его продолжения, как на рис. 17.35) с осью zне зависит от координаты x1 (2). То есть все лучи, входящие в оптическую систему параллельно оптической оси, после оптической системывстречаются в одной точке (или как бы исходят из одной точки) на осиz, являющейся задней фокальной точкой. Её координата, отсчитываемая от точки A2 , определяется формулойz2f = −n2A.C(17.77)Теперь обратим внимание на точку пересечения воображаемых продолжений входящего 2 и выходящего 2′ лучей.
Её z-координата (отсчитываемая также от точки A2 ), как видно из рис. 17.35, с параметрами лучей 2, 2′ связана соотношением −zθ2 (2) = x2 (2) − x1 (2). Послеподстановки значений θ2 (2), x2 (2), следующих из матричного равенства17.14. Кардинальные элементы оптической системы129(17.76), отсюда получаем z = n2 (1 − A)/C. То есть все рассматриваемые точки пересечения, независимо от значения x1 (2), лежат в однойплоскости, перпендикулярной оси z. Её называют задней главной плоскостью и обозначают H2 , а её положение определяется координатой1−A.(17.78)CКак мы видим, плоскость H2 определяет вторую точку (дополнительно к точке F2 ), через которую проходит исследуемый луч 2′ , и, такимобразом, снимает неопределённость, о которой говорилось выше применительно к толстой линзе.Перейдём к передним кардинальным точкам.
Обратимся для этого к лучу 1, исходящему из переднего фокуса F1 под некоторым углом θ1 (1). В опорную плоскость Σ1 этот луч приходит с параметрами(−z1f θ1 (1)), n1 θ1 (1), где z1f — координата точки F1 , отсчитываемая отточки A1 (см. рис. ??). Выходные параметры луча 1 после прохожденияоптической системы определяются матричным равенством x2 (1) A B −z1f θ1 (1)=n2 θ2 (1) C D n1 θ1 (1) .z(H2 ) = n2Условие, что луч 1′ выходит из системы под углом θ2 = 0, определяетискомую координатуDz1f = n1 ,(17.79)Cкоторая от θ1 (1) не зависит и, следовательно, действительно определяетположение фокуса F1 .Первая строчка выписанного матричного равенства определяет xкоординату луча 1′ . Воспользовавшись ею, легко находим точку пересечения продолжений лучей 1 и 1′ , на рис.
?? отмеченную цифрой 1.Её z-координата (обозначим z(H1 )), отсчитываемая от точки A1 , определяется условием A(−z1f )θ1 (1) + Bn1 θ1 (1) = (−z1f + z(H1 ))θ1 (1), и независит от угла θ1 (1). Следовательно, все рассматриваемые точки пересечения составляют главную плоскость H1 , с координатой z(H1 ) =z1f (1 − A) + n1 B, которая при использовании условия (17.75) |M| = 1приобретает видD−1z(H1 ) = n1.(17.80)CОбращаем внимание, что если координаты фокусов отсчитывать отсоответствующих главных точек и ввести для них обозначенияz̃1f = z1f − z(H1 ),z̃2f = z2f − z(H2 ),130Глава 17. Геометрическая оптикато последние выражаются формуламиz̃1f =n1,Cz̃2f = −n2,C(17.81)аналогичными формулам для фокусов тонкой линзы. Отсюда следует,что элемент C матрицы преобразования M оптической системы (17.75)отвечает за её суммарную преломляющую силу PΣ :C = −PΣ .(17.82)Элементы A, D, совместно с C, определяют положения главных плоскостей H2 и H1 соответственно.Фокусы F1 , F2 и точки пересечения главных плоскостей H1 , H2 с оптической осью называются кардинальными точками оптической системы.
Их положение полностью определяет преобразование любого параксиального луча оптической системой. По нему можно построить выходящий из системы луч, не рассматривая реального хода лучей в системе. Таким образом, знание положения кардинальных точек решаетзадачу геометрического построения изображений, создаваемых даннойоптической системой. Процедура построения основывается на использовании двух «строительных» лучей, поведение которых после прохождения оптической системы подчиняется положениям, которые здесь ещёраз кратко повторим.1. Луч, исходящий из точки предмета и проходящий через переднийфокус F1 , (луч 1), после оптической системы идёт параллельно оси z(луч 1′ .) Точка пересечения их продолжений, на рис. 17.35 отмеченнаякружочком с цифрой 1, лежит в плоскости H1 .2. Второй луч, падающий на оптическую систему параллельно осиz (луч 2), после оптической системы проходит через главный фокус F2(луч 2′ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
