1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В нём увеличенное действительное изображениеобъекта, создаваемое одной линзой (объектив), наблюдают через вторую собирающую линзу (окуляр), играющую роль лупы. Принципиальная оптическая схема микроскопа, состоящего из объектива L1 иокуляра L2 (фокусные расстояния f1 , f2 ), расположенных на расстоянии d, представлена на рис. 17.42. Понятно из приведенного анализаработы лупы, что действительное изображение P ′ P1′ , создаваемое объективом, должно располагаться вблизи переднего фокуса окуляра (чутьближе его фокусного расстояния). Следовательно, за расстояние между объективом и изображением P ′ P1′ , по формуле (17.74) определяющеелинейное увеличение, можно принять (d − f2 ) и считать, что| P ′ P1′ |=| P P1 |(d − f2 ).f1138Глава 17.
Геометрическая оптикаP’’L2P’L1P1ϕ0f2PP’1dРис. 17.42Тогда изображение, рассматриваемое через окуляр, будет видно под углом| P ′ P1′ |d − f22φ0 ==| P P1 |.f2f1 f2Невооружённым глазом тот же объект с расстояния наилучшего зрениявиден под углом 2φ =| P P1 | /D. Отсюда для углового увеличениямикроскопа получаем значениеN=(d − f2 )DdD≃,f1 f2f1 f2которое, например, при параметрах f1 = 0,2см, f2 = 1,5см, d = 15см, D =25см равно 1250.На рис. 17.42 фокусное расстояние окуляра взято непомерно большое, чтобы сделать возможным увеличенное мнимое изображение P ′′ P1′′поместить на странице. «Строительные» лучи, определяющие положение изображения P ′′ P1′′ здесь не приведены. Оно располагается на такомрасстоянии от окуляра, чтобы его удобно было наблюдать ненапряжённым глазом.Зрительные трубы.
Зрительные трубы (телескопы) вооружают глаздля рассматривания деталей удалённого предмета. Они также состоятиз объектива L1 и окуляра L2 ; действительное (уменьшенное и перевёрнутое) изображение отдалённого предмета, даваемого объективом,рассматривается в окуляр, как в лупу. В зависимости от расстоянияпредмета до объектива изображение получается в задней фокальной17.16. Оптические инструменты, вооружающие глаз139плоскости объектива или несколько дальше.
В соответствии с этим нужно несколько передвигать окуляр (фокусировка).ABAB’oϕMA’’NB’’c ϕ o’0BABϕ0A’L1L2Рис. 17.43Схематическое изображение хода лучей в зрительной трубе (по Ландсбергу) дано на рис. 17.43. Здесь сплошные линии — лучи, идущие отверхнего края (точка A) удалённого объекта; пунктирные — лучи отнижнего его края (точка B); OC = f1 — фокусное расстояние объектива L1 ; CO′ = f2 — фокусное расстояние окуляра L2 ; M N — зрачокглаза. Рисунок соответствует случаю, когда изображение A′ B ′ находится в фокальной плоскости окуляра. При этом каждая точка изображения за окуляром формирует параллельный пучок лучей.
Поэтому глазаккомодирован на бесконечность.Угол зрения, под которым виден отдалённый предмет, на рисункеобозначен φ, а через φ0 — угол зрения, под которым видно изображение. Отношение φ0 /φ, определяет увеличение данного инструмента; оноравноf1N= .f2Таким образом, угловое увеличение зрительной трубы тем больше, чембольше фокусное расстояние её объектива и чем меньше фокусное расстояние окуляра.Если зрительная труба используется для рассмотрения астрономических объектов, тогда она называется телескопом. В этом случае идётпрактически параллельный пучок света и в своей фокальной плоскостиобъектив даёт лишь дифракционную картину, совпадающую с дифракционной картиной от круглого отверстия (радиус центрального пятнаопределяется при этом только оправой объектива).
Окуляр увидит этоцентральное дифракционное пятно.Приложение AВекторный анализАнализ скалярных и векторных полей составляет едва ли не основную трудность на начальном этапе изучения классической электродинамики. Поэтому неформальное овладение методами и понятиями векторного анализа представляется здесь первейшей необходимостью.
Именнодля решения этой задачи составлено данное приложение.Скалярные и векторные поля. Предварительное напоминание. Если каждой точке P пространства или его части поставлено всоответствие определённое значение некоторой физической величины,то говорят, что в области V определено поле этой величины. Поле называется скалярным, если u — скалярная величина, и задается оно функцией u(P ). В случае векторной физической величины поле являетсявекторным и в каждой точке P определяет значение вектора a (так вобщем случае обозначим векторную величину).
Задаётся векторное поле функцией a(P ). Естественно, для задания функций типа u(P ), a(P )требуются системы координат.A.1.Ортогональные системы координатОграничимся здесь простейшими ортогональными системами — декартовой, цилиндрической и сферической, которых достаточно для первоначального изучения предмета. Будем считать, что положение любойточки P мы умеем определять по её координатам (x, y, z) в декартовой(рис.
A.1), (ρ, α, z) в цилиндрической (рис. A.2) и (r, θ, α) в сферической14016.1. Ортогональные системы координат141(рис. A.3) системах координат. Напомним, что кроме координат, нам вкаждой из этих систем понадобятся координатные линии и координатные поверхности, проходящие через точку P.Координатными линиями, проходящими через точку P, в каждойиз систем координат являются линии, вдоль которых две координаты постоянны, а изменяется лишь одна.
В декартовой системе имиявляются три бесконечные прямые, параллельные соответственно оси xzzezy-линияezx-линияPexz-линияzeαα-линияeyPeρρ-линияOz-линияxРис. A.1OyyαρxРис. A.2(x-линия), оси y (y-линия) и оси z (z-линия) (см. рис. A.1). В цилиндрической системе через каждую точку P (ρ, α, z), не лежащую на оси z (т. е.ρ ̸= 0), проходят: ρ-линия (луч, исходящий из точки оси z с координатойzp ), α-линия (окружность, перпендикулярная оси z с центром на ней) иz-линия (прямая, параллельная оси z) (рис.
A.2). И, наконец, в сферической системе это луч, исходящий из начала координат (r-линия), вдолькоторого угловые координаты неизменны; окружность (α-линия), схожая с соответствующей координатной линией цилиндрической системыкоординат; и полуокружность радиуса r с началом в центре координат(θ-линия), расположенная в плоскости α = const .
На рис. A.3 θ-линияпредставлена отдельным фрагментом; вдоль этой линии координата θменяется от 0 до π.Единичные векторы, исходящие из точки P и направленные вдолькоординатных линий (или касательные к ним) в сторону возрастаниясоответствующей координаты, составляют базисную систему ортогональных векторов. Это ex , ey , ez — в декартовой, eρ , eα , ez — в цилиндрической и er , eθ , eα — в сферической системах координат, представ-142Приложение. Векторный анализленные на рис. A.1 — рис. A.3. При этом элементарный вектор перемещения dℓℓ из точки P в соседнюю точку P ′ с координатами, отличающиzr-линияα-линияzerPeαPθθreθrOαyOθ-линияxРис. A.3мися на бесконечно малые приращения, в каждой из систем координатможно представить в виде результата последовательных перемещенийпо соответствующим ортам:dℓℓ = dxex + dyey + dzez ,dℓℓ = dρeρ + ρdαeα + dzez ,dℓℓ = drer + rdθeθ + r sin θdαeα .(1)Вспомним, что положение точки в пространстве, определяемое тремякоординатами, удобно характеризовать радиусом-вектором r (это вектор, соединяющий начало координат с точкой).
При этом рассматриваемый здесь переход из точки P (радиус-вектор r) в соседнюю точку P ′(радиус-вектор r ′ ) связан с изменением r на величину dr = r ′ − r. Следовательно, вектор, который в ( 1 ) обозначен dℓℓ, есть дифференциалdr.Элементарные перемещения по ортам, содержащиеся в первых двухстрочках (для декартовых и цилиндрических координат) очевидны. Следует обратить внимание на последнее слагаемое третьей строчки, соответствующее перемещению по орту eα сферической системы координат.Это — результат поворота на угол dα вокруг оси z с радиусом, равным r sin θ. Подчеркнем, что эти элементарные перемещения dℓr = dr,dℓθ = rdθ, dℓα = r sin θdα хорошо надо «чувствовать», поскольку ониявляются сторонами элементарных площадок и элементарного объемав сферических координатах, которые обсуждаются ниже.Координатные поверхности.16.1.
Ортогональные системы координат143Через любую точку можно провести три координатные поверхности.Каждая из них представляет геометрическое место точек, у которыходна из трёх координат в выбранной системе фиксирована и совпадаетс координатой точки P, а две другие определяют положение точки наповерхности.В декартовой системе координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные, соответственно, оси x (это будет поверхностьSx ), оси y (Sy ) и оси z (поверхность Sz ). На рис. A.4 дано изображениеповерхности Sx c нанесёнными на неё координатными линиями y и z,zSxyPOxPxРис. A.4сетка которых Sx разбивает на элементарные площадки ∆Sx = ∆y∆z.(Координатные поверхности Sy , Sz полностью аналогичны и в комментариях не нуждаются.)В цилиндрической системе (ρ, α, z) координатной поверхностью Sρявляется соответствующая цилиндрическая поверхность.
На рис. A.5она представлена вместе с координатными линиями α и z, образующими ортогональную криволинейную сетку. Соответствующий элементплощади определяется выражением ∆Sρ = ρ∆α∆z. Координатная поверхность Sα — полуплоскость, проходящая через ось z. Элемент соответствующей поверхности ∆Sα = ∆r∆z. Наконец, координатная поверхность Sz — это плоскость, перпендикулярная оси z, и на рис. A.6изображена вместе с ортогональной сеткой координатных линий α и ρ.Заштрихованная элементарная площадка ∆Sz = ρ∆α∆r.Три пары координатных поверхностей с координатами ρ, ρ+∆ρ; α, α+∆α; z, z + ∆z вырезают из пространства элементарный объём в видекриволинейного ортогонального параллелепипеда.
Этот элемент объёма выражается формулой ∆V = ρ∆α∆ρ∆z и изображён в виде рис.144Приложение. Векторный анализzy∆α∆αPOρyzα∆S = ρ∆α∆zρρ + ∆ρxxРис. A.5Рис. A.6A.7. Заметим, что в процессе вычислений каждый раз подобный рисунок воспроизводить неудобно. Рационально этот параллелепипед представлять в виде столбика с заштрихованным на рис. A.6 сечением и свысотой ∆z. (При вычислении дивергенции и ротора в цилиндрическихкоординатах мы так его и будем представлять.)В ещё большей степени высказанное замечание относится к сферическим координатам. Там соответствующий криволинейный параллелепипед ещё труднее представлять в трёхмерном виде, поэтому егодвумерный образ, который ниже будет приведён, будет полезен даже вбольшей степени.В сферических координатах (r, θ, α) координатные поверхности Sr , Sθ ,Sα представляют собой сферу радиуса r, конус с углом при вершине θи с осью симметрии, совпадающей с z, и полуплоскость α = const, совпадающую с координатной поверхностью в цилиндрической системе.Соответствующий элементарный объём, вырезанный из пространстватрёмя парами координатных поверхностей, изображать здесь не будемиз-за его бесполезности для вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
