1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Вторые производные167[]11ΓCα = ∆z az (ρ0 − ∆ρ, α0 , z0 ) − az (ρ0 + ∆ρ, α0 , z0 ) +22[]11+δρ aρ (ρ0 , α0 , z0 + ∆z) − aρ (ρ0 , α0 , z0 − ∆z) ,22[]1111ΓCz = ∆α (ρ0 + ∆ρ)aα (ρ0 + ∆ρ, α0 , z0 )−(ρ0 − ∆ρ)aα (ρ0 − ∆ρ, α0 , z0 ) +2222[]11+∆ρ aρ (ρ0 , α0 − ∆α, z0 ) − aρ (ρ0 , α0 + ∆α, z0 ) .22После деления на соответствующие элементарные площадки∆Sρ = ρ0 ∆α∆z, ∆Sα = ∆ρ∆z, ∆Sz = ρ0 ∆α∆ρи перехода к пределу отсюда приходим к искомому выражению дляротора в цилиндрических координатах( 1 ∂a( ∂a( 1 ∂(ρa ) ∂a )∂aα )∂az )zραρrot a =−eρ +−eα +−ez . ( 33 )ρ ∂α∂z∂z∂ρρ ∂ρρ∂αУпражнение.
Мысленно дополнив рис. A.19 элементами необходимых контуров, получить следующие выражения для вычисления роторав сферических координатах:1 [∂∂aθ ]rotr a =(sin θ aα ) −,r sin θ ∂θ∂α]∂1 [ ∂ar( 34 )−(r sin θ aα ) ,rotθ a =r sin θ ∂α∂r1[ ∂∂ar ]rotα a =(raθ ) −.r ∂r∂θA.8.Оператор набла. Вторые производные.Производные от произведений1. Выше мы познакомились с рядом дифференциальных операцийнад векторами и скалярами: образование градиента скаляра ( 9 ), дивергенция вектора ( 22 ), ротора вектора ( 32 ) и т. д. При применении168Глава 18. Приложение. Векторный анализвекторного анализа приходится сталкиваться ещё с целым рядом других дифференциальных выражений.Оперирование этими выражениями может быть упрощено введениемсимволического дифференциального оператора Гамильтона. Операторэтот обозначается знаком ∇ (читается: «набла»); в декартовой системекоординат он имеет вид∇ = ex∂∂∂+ ey+ ez .∂x∂y∂z( 35 )То есть, ∇ есть векторный оператор, слагающие которого по осям координат равны:∇x =∂∂∂, ∇y =, ∇z =.∂x∂y∂zЭтот векторный оператор соответствует в векторном анализе знакупроизводной обычного анализа.
Подобно тому, как в обычном анализепроизводную функции ∂u/∂x можно считать произведением оператора∂/∂x на дифференцируемую функцию, так путём умножения скалярови векторов, являющихся функциями точки, на оператор ∇ получаютсяпространственные производные этих величин.Так, например, произведение ∇ на скаляр u нужно, очевидно, принять равным∇u = (ex∂∂∂∂u∂u∂u+ ey+ ez )u = ex+ ey+ ez .∂x∂y∂z∂x∂y∂zСледовательно, согласно ( 9 ),∇u = grad u.( 36)С известными ограничениями, о которых будет сказано ниже, можнообразовывать произведения ∇ с другими векторами и скалярами так,как если бы ∇ был истинным, а не символическим вектором. Как и припользовании знаком производной, при этом предполагается, что оператор ∇ «действует» лишь на те величины, которые стоят вправоот него.Так, например, скалярное произведение символического вектора ∇на произвольный вектор a равно:2(∇ · a) = ∇x ax + ∇y ay + ∇z az ,2 Обращаем внимание, что в обозначении символического вектора использованиеполужирного шрифта не принято.18.8.
Оператор набла. Вторые производные169т. е. согласно ( 22 )(∇ · a) = div a.( 37 )Помимо скалярного произведения (∇ · a), можно образовать и векторное произведение этих векторов [∇ × a], которое, как нетрудно убедиться, совпадает с ротором ( 32 ) векторного поля a :exeyez( 38 )[∇ × a] = ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z = rot a.axayaz2. Обратимся к выражениям, содержащим два сомножителя ∇ и,следовательно, связанным со вторыми производными скалярных и векторных величин u, a. Начнём с произведения (∇ · ∇) = ∇2 . Легко вычислить, что этот квадрат совпадает с оператором Лапласа:∇2 =∂2∂2∂2+ 2+ 22∂x∂y∂z( 39 )(для него часто используется обозначение ∆, называемое лапласианом).Из соответствующей векторной алгебры(b · b)u = (b · bu)после замены b на вектор ∇ получаем выражение ∇2 u = (∇ · ∇u), т.
е.∆u = div grad u,( 40 )раскрывающее смысл оператора Лапласа.Рассмотрим другие произведения, содержащие по два одинаковыхвектора:()[]b · [b × a] = 0, [b × bu] = 0, b × [b × a] = b(b · a) − b2 a.3Их аналогами, получающимися после замены b на ∆ (при любых a иu), являются тождества()∇ · [∇ × a] = 0, т. е. div rot a = 0,( 41 )3 В правой части последнего равенства можно, конечно, изменить порядок сомно[]жителей, например, так: b × [b × a] = (a · b)b − ab2 .
Однако при замене b на ∆мы должны записать это равенство так, чтобы все дифференциальные операторыстояли перед дифференцируемым вектором a.170Глава 18. Приложение. Векторный анализ[∇ × ∇u] = 0, т. е. rot grad u = 0,( 42 )[]∇×[∇×a] = ∇(∇·a)−∇2 a, т. е. rot rot a = grad div a−∆a. ( 43 )Результат действия оператора ∆ = ∇2 на вектор a, входящий в последнее выражение, имеет определённый ( 39 ) смысл:∆a =∂2a ∂2a ∂2a++ 2.∂x2∂y 2∂z( 44 )3. Итак, пока оператор ∇ входит сомножителем в произведения,содержащие в себе лишь один-единственный истинный скаляр или вектор, произведения эти можно преобразовать по обычным правилам векторной алгебры.
Однако, если в произведение входят два или несколькоистинных скаляров или векторов, то правила эти становятся неприменимыми и нуждаются в видоизменениях. Продемонстрируем это напримере воздействия оператора ∇ на произведения двух функций. Приэтом ∇ следует применить сначала к первому сомножителю, считая второй постоянным (так что он может быть вынесен за знак ∇), а затем ковторому сомножителю, считая первый постоянным, и результаты сложить. Условимся сомножитель, на который ∇ в данном слагаемом недействует, отмечать нижним индексом «c»:∇(uv) = ∇(uc v) + ∇(uvc ) = u∇v + v∇u(в крайней правой части этих равенств индекс опускается, так как ∇воздействует только на величину, стоящую справа от него),(∇ · ua) = (∇ · uc a) + (∇ · uac ) = u(∇ · a) + (∇u · a),(∇ × ua) = (∇ × uc a) + (∇ × uac ) = u(∇ × a) + (∇u × a),Первая из приведенных здесь формул есть формула ( 14 ) для градиентапроизведения, а последующие можно представить в видеdiv(ua) = u div a + (grad u · a),( 45 )rot(ua) = u rot a + [grad u × a].( 46 )Теперь обратимся к действию ∇ на произведения (a · b), [a × b] векторов a и b.
Из них получаются три различающихся объекта()∇(a · b) = grad(a · b), ∇ · [a × b] = div [a × b],( 47 )[]∇ × [a × b] = rot [a × b].18.8. Оператор набла. Вторые производные171Наиболее просто раскрывается структура среднего из них() () ()∇ · [a × b] = ∇ · [ac × b] + ∇ · [a × bc ] .Здесь достаточно воспользоваться круговой перестановкой сомножителей в смешанных произведениях правой части() ()()∇ · [ac × b] = ac · [b × ∇] = − a · [∇ × b] ,() () ()∇ · [a × bc ] = bc · [∇ × a] = b · [∇ × a] .В результате получим() () ()∇ · [a × b] = b · [∇ × a] − a · [∇ × b] ,т. е.div [a × b] = (b · rot a) − (a · rot b).( 48 )Для следующего объекта[] [] []∇ × [a × b] = ∇ × [ac × b] + ∇ × [a × bc ]каждое слагаемое правой части распишем по правилу ( 6 ) вычислениядвойного векторного произведения, а затем осуществим необходимуюперестановку сомножителей так, чтобы только переменная величинаоказывалась правее ∇.
Эту процедуру продемонстрируем на первомслагаемом, где переменной величиной является b :[]∇×[ac ×b] = (∇·b)ac −(∇·ac )b = ac (∇·b)−(ac ·∇)b = a(∇·b)−(a·∇)b.Вместе с аналогичным вторым слагаемым они приводят к результату[]∇ × [a × b] = a(∇ · b) − b(∇ · a) + (b · ∇)a − (a · ∇)b,эквивалентному тождествуrot [a × b] = a div b − b div a + (b · ∇)a − (a · ∇)b.( 49 )Обратим внимание, что в составе rot [a × b] появились слагаемые(a·∇)b, (b·∇)a, определяемые незнакомым пока оператором типа (a· ∇)в виде скалярного произведения истинного вектора a на вектор ∇, стоящий справа от a. Смысл этого оператора будет выяснен позже.
А передэтим вернёмся к последнему из объектов ( 47 ) grad (a · b), в составекоторого названный выше оператор также появляется.172Глава 18. Приложение. Векторный анализИтак, обращаемся к равенству∇(a · b) = ∇(ac · b) + ∇(a · bc )( 50 )Чтобы комплекс ∇(ac · b) из правой части ( 50 ) привести к нужному виду с переменным вектором b, расположенным непосредственно заоператором ∇, возьмём следующее двойное векторное произведение иего разложение[]ac × [∇ × b] = ∇(ac · b) −(ac · ∇)b.| {z }Здесь выделенное слагаемое есть интересующий нас комплекс, а другиеэлементы равенства имеют требуемую форму.
Отсюда получаем[]∇(ac · b) = a × [∇ × b] + (a · ∇)b.Выражение[]∇(a · bc ) = ∇(bc · a) = b × [∇ × a] + (b · ∇)aдля второго слагаемого ( 50 ) очевидно. Следовательно, искомая формула приобретает видgrad (a · b) = [a × rot b] + [b × rot a] + (a · ∇)b + (b · ∇)a.( 51 )4. Чтобы понять физический смысл оператора (a · ∇), (a — постоянный вектор), подействуем им на векторное поле b в точке P и результатпредставим в виде( ∂b∂b∂b )(a · ∇)b = ax+ ay+ az( 52 ) .∂x∂y∂z PОтсюда видно, что рассматриваемая величина зависит от пространственных производных поля b в точке P. Если вектор a зададим егодлиной | a | и направляющими косинусами в виде a =| a | (cos αex +cos βey + cosγez ), то соотношение ( 52 ) приобретает вид(a · ∇)b =| a | (cos αex + cos βey + cosγez )b.Вспомнив (см. формулу ( 7 )), что скобка в этом равенстве представляетсобой производную ∂/∂l по направлению вектора a, результат применения оператора (a · ∇) к полю b можем представить в виде(a · ∇)b =| a |∂b.∂l( 53 )18.8.
Оператор набла. Вторые производные173По этой причине векторная величина (a · ∇)b называется производнойвектора b по направлению вектора a.В заключение заметим, что в справедливости всех инвариантныхрезультатов, полученных здесь при помощи символического оператора( 35 ), можно убедиться, подставляя в них соответствующие выражения,имеющиеся в декартовой системе координат.Приложение BЗакон сохранения иплотность импульсаэлектромагнитного поля1. Если поле обладает энергией, то, очевидно, оно обладает и импульсом. Для его определения необходимо обратиться к изучению силового воздействия электромагнитного поля на материальную среду ивоспользоваться законом сохранения импульса.Вспомним, что даже в случае стационарных полей сила, действующая на среду со стороны поля (см.
§ 2.10, § 6.13), кроме плотностизаряда и протекающего по материалу тока, зависит от его свойств ϵ, µ.В случае произвольно меняющихся полей единственной материальнойсредой, на которую электромагнитное поле действует известной нам силой, является система свободных зарядов. Если ρ, j — объёмные плотности заряда и тока, характеризующие систему, то объёмная плотностьэтой силы (силы Лоренца) выражается формулойf = ρE + (1/c)[j × B].(B.1)Поэтому для проведения мысленного эксперимента по силовому воздействию поля на материальную среду мы примем систему из электромагнитного поля с находящимся в нем сгустком заряженных частиц,занимающих ограниченную область пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
