1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 25
Текст из файла (страница 25)
После разделения наобъём получаем∆Nρ1 (ρ0 + 12 ∆ρ)aρ (ρ0 + 12 ∆ρ, α0 , z0 ) − (ρ0 − 12 ∆ρ)aρ (ρ0 − 12 ∆ρ, α0 , z0 )=,∆Vρ0∆ρ1 ∂(ρaρ )(P0 ).ρ ∂ρГрани параллелограмма, соответствующие координатам α0 − 12 ∆α, α0 +12 ∆α имеют одинаковые площади и вклад этой пары граней в суммар1 ∂aαный поток поля приводит к величине(P0 ).
Аналогичны грани сρ ∂αчто в пределе ∆ρ → 0 даёт160Глава 18. Приложение. Векторный анализ11∂azкоординатами z0 − ∆z и z0 + ∆z. Их вклад даёт величину(P0 ).22∂zВ результате формула для дивергенции в цилиндрических координатахприобретает вид:div a =1 ∂(ρaρ ) 1 ∂aα∂az++.ρ ∂ρρ ∂α∂z( 23 )Наконец, в сферических координатах, когда соответствующую замкнутуюzr0 + 1 ∆r2P01θ 0 + 2 ∆θr0 − 1 ∆r2θ0r0OРис. A.19поверхность можем представить сечением (рис. A.19) полуплоскостьюα = α0 . Здесь уже две элементарные площадки зависят от своих координат: dSr = r2 sin θ∆θ∆α, dSθ = r sin θ∆α∆r, а dSα = r∆θ∆r от своейкоординаты не зависит. В соответствии с этим попарные потоки последеления на объём ∆V = r02 sin θ0 ∆α∆θ∆r и сокращений дают:(r0 + 12 ∆r)2 ar (r0 + 12 ∆r, θ0 , α0 ) − (r0 − 21 ∆r)2 ar (r0 − 12 ∆r, θ0 , α0 )∆Nr=,∆Vr02 ∆rsin(θ0+ 12 ∆θ)aθ (r0 , θ0+ 12 ∆θ, α0 ) − sin(θ0− 21 ∆θ)aθ (r0 , θ0− 12 ∆θ, α0 )∆Nθ=,∆Vr0 sin θ0 ∆θaα (r0 , θ0 , α0 + 12 ∆α) − aα (r0 , θ0 , α0 − 21 ∆α)∆Nα=.∆Vr0 sin θ0 ∆αПосле перехода к пределам приводят к формуле для вычисления дивергенции в сферических координатахdiv a =1 ∂ 21∂1 ∂aα(r ar ) +(sin θaθ ) +.r2 ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂α( 24 )18.6.
Циркуляция и ротор поля. Теорема СтоксаA.6.161Циркуляция и ротор поля. Теорема СтоксаНаряду с дивергенцией важную роль в исследовании локальныхсвойств векторного поля играет его ротор. К этому понятию приводитрассмотрение циркуляции поля a, определяемый как криволинейныйинтегралIΓC =al dlCпо замкнутому контуру C, снабжённому направлением обхода. Здесь al— проекция вектора a на касательную к контуру C, причём положительным считается то направление на касательной, которое совпадаетс направлением обхода контура.Обратимся сразу к плоскому контуру. Возьмём точку P (x, y, z) ипроходящую через неё ось с единичным вектором направления n.
Вплоскости, содержащей точку P и перпендикулярной n, проведём контур C, обходящий точку P в направлении против часовой стрелки, еслисмотреть на контур с конца вектора n (см. рис. A.20) (Такое направление обхода контура называют «согласованным» с n.) Определим локальную характеристику поля, называемую завихренностью в точкеzA3CPCnO’A2A1SCnCPCOxРис. A.20yРис. A.21P вокруг направления n, как предел отношения циркуляции ΓC к пло-162Глава 18. Приложение. Векторный анализщади, ограниченной контуром C, при стягивании контура к точке P :I1wn (P ) = limal dl.( 25 )C→P ScСправедливо следующее важное предложение относительно этой скалярной величины: если единичный вектор n = cos αex +cos βey +cos γezзадан направляющими косинусами, тоwn (P ) = wex (P ) cos α + wey (P ) cos β + wez (P ) cos γ.( 26 )Для доказательства ( 26 ) через точку P проведём плоскость, перпендикулярную к n, выберем на продолжении вектора n точку O′ и проведём через O′ лучи, параллельные осям координат (см.
рис. A.21) Этилучи пересекут плоскость, проведённую через P, в точках A1 , A2 , A3 .В качестве контура C возьмём периметр треугольника A1 A2 A3 , пробегаемый в направлении, согласованном с n, т. е. контур A1 A2 A3 A1 .На остальных трёх гранях пирамиды O′ A1 A2 A3 также введём контуры C1 : O′ A2 A3 O′ , C2 : O′ A3 A1 O′ и C3 : O′ A1 A2 O′ , обходы которыхсогласованы соответственно с ex , ey , ez . Тогда нетрудно видеть, чтоIIIIal dl = al dl + al dl + al dl,( 27 )CC1C2C3так как в правой части интегралы по рёбрам O′ A1 , O′ A2 , O′ A3 взаимноуничтожаются. Площади граней пирамиды связаны соотношениями:SC1 = SC (n · ex ) = SC cos α,SC2 = SC (n · ey ) = SC cos β,SC3 = SC (n · ez ) = SC cos γ.Поэтому из равенства ( 27 ) находим, чтоIIII1111al dl =al dl · cos α +al dl · cos β +al dl · cos γ.SCSC1SC 2SC3CC1C2C3После перехода к пределу при стягивании контура C в точку P (т.
е.при перемещении точки O′ по отрезку O′ P в точку P.) это равенствопревращается в требуемое соотношение ( 26 ).18.6. Циркуляция и ротор поля. Теорема Стокса163Таким образом, завихренность в точке P вокруг направления n выражается через завихренности вокруг направлений ex , ey , ez соотношением, полностью аналогичным соотношению ( 7 ) для производной понаправлению. Здесь его для сравнения воспроизведём:∂u∂u∂u∂u(P ) =(P ) cos α +(P ) cos β +(P ) cos γ.∂l∂x∂y∂z(7)Теперь можно повторить всё сказанное раньше после формулы ( 7 ),внеся единственное уточнение, касающегося вектора с вспомогательнымобозначением Λ.
Обозначением этим пользоваться ещё раз не станем,назвав соответствующий вектор своим именем — ротор векторного поляв точке P :rot a(P ) = wex (P )ex + wey (P )ey + wez (P )ez ,а аналог соотношения ( 7 ) повторим в видеwn (P ) = rotn a(P )( 28 )и дополним поясняющим рис. A.22.Инвариантное определение ротора векторного поля, вытекающее изсказанного, формулируется так: это есть вектор, имеющий направление,совпадающее с тем, вокруг которого завихренность поля максимальна,Srot a (P)Pni∆Siϕn(ρ)Cn(P)Рис. A.22Рис.
A.23и величину, равную этой максимальной завихренности. Из равенства( 28 ) следует, что составляющая ротора по любому направлению равна завихренности( 29 ) вокруг этого направления.164Глава 18. Приложение. Векторный анализЭто — ключ к вычислению ротора во всех ортогональных системах.Теорема Стокса. Как мы убедились выше, из инвариантного определения дивергенции вытекает теорема Остроградского-Гаусса ( 21 ),связывающая интеграл по объёму V от дивергенции векторного поляс потоком вектора через замыкающую поверхность S.
Точно так же изинвариантного определения ротора и соотношения ( 29 ) следует теорема Стокса∫Irotn adS =Sal dl.( 30 )CЗдесь S — любая незамкнутая поверхность, опирающаяся на замкнутый контур C, в общем случае пространственный (см. рис. A.23), а направление нормали n и положительное направление обхода контура Cсогласованы между собой.Теорема утверждает, что циркуляция векторного поля по контуру Cравна потоку ротора через поверхность S, натянутую на контур C. Длядоказательства достаточно поверхность S разбить на систему бесконечно малых элементарных площадок и циркуляцию dΓ по контуре, охватывающую площадку dS, выразить через завихренность wn = rotn aсоотношениемdΓ = wn dS = rotn adS.( 31 )(На рис.
A.23 вместо dS изображена конечная площадка ∆Si с указанием направления обхода её контура и направления вектора ni .) Просуммируем все равенства ( 31H ). Заметив, что сумма циркуляций dΓприводит к циркуляции ΓC = C al dl по контуру C, приходим к нужному результату ( 30 ).A.7.Вычисление ротора в ортогональных координатахОсновывается на утверждении ( 29 ) и определении завихренности,даваемой формулой ( 25 ). Для вычисления завихренности вокруг соответствующего орта можно пользоваться любым замкнутым контуром,лежащим в плоскости, перпендикулярной данному орту.
Практическиудобно пользоваться контуром с центром в точке P0 , образованным двумя парами координатных линий. Тогда контур будет иметь вид прямо-18.7. Вычисление ротора в ортогональных координатах165угольника, в общем случае криволинейного, при этом вклад каждойпары сторон, противоположных друг другу, учитывается отдельно.Имея в виду опыт, приобретёный читателем при вычислении дивергенции, соответствующий процесс для ротора здесь представим более схематично, предполагая присутствие воображения при построениинеобходимых замкнутых контуров, а также понимание возможности замен неопределённых координат типа x∗ , y∗ , z∗ на x0 , y0 , z0 .Начнём с бесхитростного случая декартовых координат. Здесь дляопределения wex (P0 ) = rotx a(P0 ) возьмёмzz 0 + 1 ∆z2P0z0Cxz 0 − 1 ∆z2xy0 − 1 ∆y2y0y0 + 1 ∆y2yРис.
A.24прямоугольный контур со сторонами ∆y, ∆z, лежащий в плоскостиx = x0 с направлением обхода, согласованным с ортом ex (см. рис. A.24).Циркуляция по этому контурускладывается из двух частей:11ΓCx = ∆y[ay (x0 , y0 , z0 − ∆z) − ay (x0 , y0 , z0 + ∆z)]+2211+∆z[az (x0 , y0 + ∆y, z0 ) − az (x0 , y0 − ∆y, z0 )].22После деления на площадь ∆y∆z и перехода к пределу отсюда получается x-составляющая ротораrotx a(P0 ) = wex (P0 ) =∂az∂ay(P0 ) −(P0 ).∂y∂zВыражения для двух других составляющихroty a(P0 ) = wey (P0 ) =∂ax∂az(P0 ) −(P0 ),∂z∂xrotz a(P0 ) = wez (P0 ) =∂ay∂ax(P0 ) −(P0 )∂x∂y166Глава 18.
Приложение. Векторный анализможно получить аналогично, а можно просто воспользоваться круговойперестановкой индексов x, y, z. Таким образом, формула для вычисления ротора в декартовых координатах имеет вид( ∂ax( ∂ay( ∂az∂ay )∂az )∂ax )rot a =−ex +−ey +−ez .( 32 )∂y∂z∂z∂x∂x∂yДля цилиндрических координат (ρ, α, z) в качестве замкнутых контуров, служащих для определения завихренностей в точке P0 (ρ0 , α0 , z0 )вокруг направлений eρ , eα , ez берём контуры, обрамляющие соответствующие элементарные площадки ∆Sρ , ∆Sα , ∆Sz . Первые две на рис.A.25(а),(б) представлены в виде разреза плоскостью z = z0 .
Пунктирнаяyyρ = ρ0ρ0eρyeα∆S P∆αα0(а)∆S z∆S αP0∆ρxα0∆ρx(б)∆αx(в)Рис. A.25окружность представляет собой координатную линию ρ, проходящую через точку P0 . Элемент дуги длины ρ0 ∆α на рис. A.25а и радиальный элемент с длиной ∆ρ на рис. A.25б, проведённые сплошнойлинией, здесь символизируют соответственно ∆Sρ и ∆Sα . Конечно, мыих мысленно дополняем двумя прямыми отрезками длины ∆z, направленными параллельно образующим цилиндра ρ = ρ0 . Направление обхода на этих отрезках символически обозначено точками и крестиками.Элементарная площадка ∆Sz на рис. A.25в показана явно — со своимконтуром и направлением обхода.Имея перед глазами эти картинки, легко написать выражения соответствующих циркуляций, каждая из которых складывается из двухчастей:[]11ΓCρ = ∆z az (ρ0 , α0 + ∆α, z0 ) − az (ρ0 , α0 − ∆α, z0 ) +22[]11+ρ0 ∆α aα (ρ0 , α0 , z0 − ∆z) − aα (ρ0 , α0 , z0 + ∆z) ,2218.8. Оператор набла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
