1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Вместо него изобразим сечение элементарного объёма плоскостью α = const (см. рис. A.8), имеяв виду, что объём получается в результате поворота заштрихованного«прямоугольника» на угол ∆α относительно оси z, проходящей на расстоянии r sin θ от площадки. Поэтому, глядя на этот рисунок, каждый18.2. О разложении векторного поля145zθ∆rzθ + ∆θr∆θrr + ∆rO∆zyαxρρ∆α∆ρРис. A.7Рис. A.8должен увидеть, что∆Sr = r∆θ · r sin θ∆α,∆Sθ = ∆r · r sin θ∆α,∆Sα = r∆θ∆r,∆V = ∆Sα · r sin θ∆α = r2 sin θ∆r∆θ∆α.(2)Такой подход мы применим при вычислениях в сферических координатах.
Но это будет ниже, когда мы перейдём к собственно векторному анализу. Но перед этим есть необходимость в кратком обсуждениивопроса о разложении векторного поля по ортогональному базису и внекоторых комментариях.A.2.О разложении векторного поля. Комментарии по векторной алгебре1. Трёхмерное векторное поле задаётся в виде разложения по ортамсоответствующей системы координат. В декартовой системе это будетa(r) = ax (x, y, z)ex +ay (x, y, z)ey +az (x, y, z)ez , а в сферической системе,146Глава 18.
Приложение. Векторный анализнапример, a(r) = ar (r, θ, α)er +aθ (r, θ, α)eθ +aα (r, θ, α)eα . Обратим внимание, что для конкретного рассматриваемого векторного поля использовать можно любую из систем координат. Но на практике в каждомслучае существует своя предпочтительная система координат. Выбореё осуществляется по характерным особенностям задачи, касающимсяграниц области решения, свойств симметрии и других особенностей.В ходе изучения основного курса мы постоянно сталкиваемся с этойпроблемой выбора и на практике приобретаем необходимое умение.
Аздесь на простейшем примере однородного поля E0 = const продемонстрируем две возможные формы представления этого векторного поляв сферических координатах.Пример 1. Примем, что E0 параллельно оси z декартовой системы:E1 = E0 ez .Как видно из рис. A.9, в любой точке P (r, θ, α) вектор ez можно разложить по ортам сферической системы в виде ez = cos θer − sin θeθ .ezzerθPeθθrOРис. A.9Следовательно, рассматриваемое поле имеет представлениеE1 = E0 ez = E0 (cos θer − sin θeθ ).(3)Пример 2. Теперь предположим, что поле E0 параллельно оси x :E2 = E0 ex .Проведя через точку P плоскость, перпендикулярную оси z (см.
рис.A.10a), вектор ex легко выразить через eρ и eα : ex = cos αeρ − sin αeα .В меридиональной плоскости, проведённой через точку P и ось z (см.18.2. О разложении векторного поляy147zereαeρPeρPexθeθrαxzO(б)(a)Рис. A.10рис. A.10б), видно, что орт eρ , входящий в предыдущее равенство, естьeρ = sin θer + cos θeθ .
Следовательно, для поля E2 получаемE2 = E0 ex = E0 [(sin θer + cos θeθ ) cos α − sin αeα ].(4)Обращаем внимание, что компоненты однородного поля E0 в сферической (впрочем, как и в цилиндрической) системе координат зависят отточки наблюдения. Это естественно, поскольку орты er , eθ , eα привязаны к точке наблюдения и зависят от её координат.В этом месте полезно поупражняться в установлении взаимныхсвязей между ортами типаer = sin θeρ + cos θez , eθ = cos θeρ − sin θez ;eρ = cos αex + sin αey , eα = − sin αex + cos αey .2.
Комментарии к векторной алгебре относительно произведений векторовНапомним, что скалярное произведение векторов a и b, обозначаемое (a · b), определяется как скаляр(a · b) = (b · a) =| a || b | cos φ,равный произведению их длин на косинус угла между ними, приведенными к общему началу (см. рис. A.11а), или, что то же самое, произведению длины одного и проекции другого на направление первоговектора.148Глава 18. Приложение. Векторный анализceθbbϕ(a)Рис. A.11eraaeα(б)Рис. A.12Векторное произведение векторов [a × b] есть вектор c, длина которого равна | a || b | sin φ (т. е.
площади параллелограмма, построенногона векторах a и b), направленный перпендикулярно a и b в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от a к b с конца вектора c казалсянаблюдателю происходящим против часовой стрелки (рис. A.11б).В работе редко случается пользоваться этими определениями непосредственно. Для вычислений используются формулы, получающиесяв результате разложения векторов a и b по определённым ортам. В ортогональных системах координат они имеют простой вид. Например, всферических координатах (r, θ, α) это будутer eθ eα(a · b) = ar br + aθ bθ + aα bα ,[a × b] = ar aθ aα .
( 5 )br bθ bα(В декартовых координатах — аналогичные формулы, совсем привычные.)Два замечания к использованию формул типа ( 5 ):а). Для вычисления компонент векторного произведения [a×b] фактически необязательно каждый раз выписывать и раскрывать соответствующий определитель. Достаточно перед собой иметь соответствующую правую тройку единичных векторов (рис.
A.12) и, обратив внимание, например, на равенство er = [eθ × eα ] (а также [eα × eθ ] = −er ),понять, что [a × b]r может состоять только из θ и α-компонент векторовa и b, причём в самом простейшем виде [a × b]r = aθ bα − aα bθ . И так повсем другим компонентам. Например, [a × b]α = ar bθ − aθ br , как легкоувидеть из рис. A.12.б). Часто приходится иметь дело со случаем, когда перемножаемые векторы заданы разложениями по ортам разных систем коорди-18.2. О разложении векторного поля149нат. Тогда для вычисления произведения формулами типа ( 5 ) непосредственно воспользоваться невозможно.
Необходимо орты одной изсистем предварительно разлагать по ортам другой, как показано в рассмотренных выше примерах (см формулы ( 3 ), ( 4 )).Пример 3. Пусть точечный заряд q, находящийся в однородном электрическом поле E0 ex , совершает перемещение из точки P с координатами (r, θ, α) в точку P ′ с координатами (r + dr, θ + dθ, α + dα). Вычислитьвеличину работы, совершённой электрическим полем над зарядом.Здесь dA = (f · dℓℓ), где f = qE0 ex , dℓℓ = drer + rdθeθ + r sin θdαeα(см. третью строку равенств ( 1 )).
Воспользуемся разложением ( 4 ) исилу представим в виде f = qE0 [(sin θer + cos θeθ ) cos α − sin αeα ]. Тогдадля искомой работы получаемdA = qE0 [(sin θdr + r cos θdθ) cos α − r sin θ sin αdα].Упражнение. Приведенный ответ получить по-другому, орты er , eθ , eαразложив по базису в декартовых координатах и выразив dℓx черезdr, dθ, dα.О двойном векторном произведении.
Из трёх векторов a, b и c, вобщем случае некомпланарных,организуемдва вариантадвойного век[] []торного произведения: [a × b] × c и a × [b × c] . В первом из них«внешним» сомножителем является c, а во втором такую роль играет a. Структура ответа для этих произведений нам известна. Как, недумая, написать для них правильные[][[a × b] × c] = b(a · c) − a(b · c) .a × [b × c] = b(a · c) − c(a · b)(6)ответы? Механическое запоминание здесь совсем нерационально. Следует просто обратить внимание, что каждый из этих ответов представляет собой разложение по двум векторам из тройки. В первой строкеэто есть разложение по векторам a и b, входящим во внутреннюю скобку, а во второй — разложение по аналогичным векторам b и c.
Здесьещё ничего запоминать не требуется, так как понятно, что каждое издвойных произведений представляет собой вектор, перпендикулярный«внешнему» вектору и следовательно, при разложении составляющейпо этому вектору не имеет. Единственно, что осталось просто запомнить, это: в правых частях равенств ( 6 ) именно средний вектор извнутренней скобки берётся со знаком «плюс».150Глава 18. Приложение. Векторный анализA.3.Скалярное поле. ГрадиентВажной характеристикой поля u(r), определяющей его поведение вмалой окрестности любой точки P, является градиент поля в точке P.Чтобы к нему придти, обратимся к величине, смысл которой содержится в её названиипроизводная скалярной функции по направлению.Для этого возьмём точку P (x, y, z) и проведём луч l, исходящий из этойточки (рис.
A.13). Направление луча охарактеризуем единичным вектором e = cos αex + cos βey + cos γez , задаваемым направляющими косинусами, причём cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. Названная производная,обозначаемая ∂u/∂l, в точке P характеризует быстроту изменения скалярной величины u при перемещении точки наблюдения от точки P получу l. Пусть P ′ — соседняя точка, расположенная на расстоянии ∆l.Тогда по определениюz’zlezγgrad uβαP(x,y,z)y’lϕPu lx’yxyxРис. A.13Рис. A.14∂uu(P ′ ) − u(P )u(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − u(x, y, z)(P ) = lim= lim.∆l→0∆l→0∂l∆l∆lПоскольку вектор перемещения ∆l = ∆le = ∆l(cos αex + cos βey +cos γez ), то ∆x = ∆l cos α, ∆y = ∆l cos β, ∆z = ∆l cos γ, и для приращения функции имеем( ∂u)∂u ∂u ∂u ∂u∂u∆u =∆x +∆y +∆z = ∆lcos α +cos β +cos γ .PPP∂x∂y∂z∂x∂y∂z18.3.
Скалярное поле. Градиент151Следовательно,∂u∂u∂u∂u(P ) =(P ) cos α +(P ) cos β +(P ) cos γ,∂l∂x∂y∂z(7)т. е. производная функции u по направлению l∂uΛ · e)(P ) = (Λ∂l(8)∂u∂u∂uex +ey +ez и∂x∂y∂ze = cos αex + cos βey + cos γez . При этом вектор Λ определяется толькоточкой P и не зависит от направления луча, а e — единичный вектор вэтом направлении.Вектор Λ называется градиентом поля в точке P и обозначаетсяравна скалярному произведению векторов Λ =grad u(P ) = grad u =∂u∂u∂uex +ey +ez .∂x∂y∂z(9)Таким образом, градиент можно вычислить по этой формуле, еслив пространстве введена прямоугольная декартова система координат ифункция поля u(P ) введена как функция этих координат u(x, y, z).
Есливыбрать другую прямоугольную декартову систему координат (с другим началом и с другими направлениями осей), то изменятся направления ортов ex , ey , ez и значения производных ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z. Однако сам градиент останется неизменным. Чтобы в этом убедиться,необходимо дать инвариантное определение градиента, т. е.
определение, которое не зависит от выбора системы координат в пространстве.Из формулы ( 8 ) следует, что производная по направлению связанас градиентом соотношением∂u=| grad u | cos φ,∂l( 10 )где φ — угол между grad u и направлением l (см. рис. A.14). Так какcos φ принимает своё наибольшее значение при φ = 0, из равенства( 10 ) следует, что | grad u | есть наибольшее возможное значение ∂u/∂lв точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, исходящего из точки P, для которого ∂u/∂l принимает это своё наибольшеезначение.Таким образом, градиент скалярного поля — это вектор, имеющийнаправление наибыстрейшего возрастания функции и величину, равную производной по этому направлению.
Это определение градиента152Глава 18. Приложение. Векторный анализне зависит от выбора системы координат и является, следовательно,инвариантным.Вернёмся ещё раз к соотношению ( 10 ). Его можно перефразироватьтак: составляющая градиента по любому направлению равна производной( 11 ) по этому направлению.А это уже прямой путь для вычисления градиента поля, отнесённогок другим ортогональным системам координат. (Для декартовой системы имеется формула ( 9 ).) В цилиндрических координатах с ортамиeρ , eα , ez разложение имеет видgrad u(ρ, α, z) =∂u∂u∂ueρ +eα +ez .∂ρρ∂α∂z( 12 )В сферических координатах при вычислении составляющей по eα незабываем, что элемент координатной линии α есть r sin θdα. Результатследующий:grad u(r, θ, α) =∂u∂u∂uer +eθ +eα .∂rr∂θr sin θ∂α( 13 )Подчеркнём, что составляющие по всем ортам в формулах ( 12 ), ( 13 )получены в соответствии с утверждением ( 11 ).Для вычисления градиента полезны также следствия формулы ( 9 )и правил дифференцирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
