1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Наличие веществас сопутствующими ему связанными зарядами и молекулярными токами в этой области пространства исключается. Тогда суммарная сила17418.8. Оператор набла. Вторые производные175∫F = f dv, действующая на заряды сгустка, определяет скорость изменения суммарного механического импульса рассматриваемых частиц:∫dP= f dv,(B.2)dtVгде объём интегрирования V выбран таким, что весь сгусток сосредоточен внутри этой области и ее границу S заряды не пересекают.2. Очевидно, что в этом случае скорость изменения суммарного импульса, равного P + G, где G — импульс электромагнитного поля вобъеме V, будет определяться только потоком импульса электромагнитного поля через замыкающую поверхность S.
Обозначив тензор плотности потока импульса через −Tik 1 ,закон сохранения i—ой компонентыимпульса можно представить в видеId(Pi + Gi ) = Tik nk ds,(B.3)dtSСледовательно, чтобы определить искомые выражения для плотностиимпульса электромагнитного поля g и тензора Tik , необходимо так преобразовать выражение (B.1) для плотности силы f , чтобы, в результате, соотношение (B.2) привелось к виду, соответствующему равенству(B.3).3.
Приступим к поэтапному решению этой задачи.а). Начнём с того, что ρ и j, входящие в (B.1), из неоднородныхуравнений Максвелла заменим выражениями1div E,4πи, как результат, получимρ=ρE +j=c1 ∂E(rot B −)4πc ∂t])11 (1 [ ∂E[j × B] =E div E + [rot B × B] −×B .c4πc ∂tПоследнее слагаемое в этом выражении преобразуем,попутно использовав еще одно из уравнений Максвелла:] 1 ∂[1 [ ∂E1 ∂B ]×B =[E × B] − E ×=c ∂tc ∂tc ∂t1 Напомним, что объяснение смысла компонент тензора можно найти, например,в §2.11 данного Пособия.176Глава 18. Приложение.
Векторный анализ1 ∂[E × B] + [E × rot E],c ∂tа к первому слагаемому прибавив член B div B, тождественно равныйнулю. В результате выражение (B.1) для f приобретёт вид) ()}∂ 11 {(f =−[E×B]+E div E−[E×rot E] + B div B−[B×rot B] .∂t 4πc4π(B.4)б). В качестве второго шага слагаемое (1/4π){ } правой части (B.4)приведем к дивергенции тензора натяжений Tik . Заметив, что рассматриваемое выражение складывается из двух однотипных составляющих,займёмся преобразованием одного из них. Возьмём какую-либо его декартову компоненту, например, x :=(E div E − [E × rot E])x= Ex( ∂Ex∂Ey∂Ez )++−∂x∂y∂z−−−Ey==∼∼( ∂Ey( ∂Ex∂Ex )∂Ez )−+ Ez−∂x∂y∂z∂x−−∼∼==−−и осуществим обозначенную подчёркиваниями перегруппировку. Результат приведём к виду−1 ∂ 2∂∂∂E +(Ex Ex ) +(Ex Ey ) +(Ex Ez );2 ∂x∂x∂y∂zотсюда видно, что для произвольной i-ой компоненты в тензорной записи имеем(E div E − [E × rot E])i=−1 ∂ 2∂E +(Ei Ek ) =2 ∂xi∂xk∂1(Ei Ek − δik E 2 ).∂xk2Аналогичное выражение справедливо для второго слагаемого.
Такимобразом, i-ая компонента полного выражения (1/4π){ } имеет дивергентный вид:1 { }∂Tik=,4π∂xkiв котором тензор натяжений определён выражением=Tik =)1 (1Ei Ek + Bi Bk − δik (E 2 + B 2 ) ,4π2(B.5)18.8. Оператор набла. Вторые производные177причем Tik = Tki . Как видно из полученного выражения, тензор Tikдля произвольного переменного электромагнитного поля складываетсяиз двух частей, отвечающих, соответственно, отдельно электрическому и отдельно магнитному полю. Каждый из этих вкладов совпадает с тем, который получается для стационарного электрического (илимагнитного) поля в случае среды,не обладающей диэлектрическими имагнитными свойствами (см.
результаты §§ 2.11, 6.14).в). Введём обозначениеg=1[E × B]4πc(B.6)и векторное равенство (B.4) запишем в видеfi = −∂Tik∂gi+.∂t∂xk(B.7)Проинтегрировав последнее соотношение по объёму V, получаем интегральный закон сохранения (B.3), в котором суммарный импульс электромагнитного поля определён как∫G = gdv,Vпричём плотность импульса определяется выражением (B.6).В заключение соотношение (B.3) воспроизведём в векторном виде∫∫Idf dv +gdv = Tn ds,dtVVSчтобы повторить замечание из конца § 2.11 о неэквивалентности электромагнитных натяжений пондеромоторным силам в случае переменных электромагнитных полей. Как видно из приведенного выражения,разница между ними обусловлена изменением суммарного импульсаэлектромагнитного поля в рассматриваемом объеме.Библиографический списокАхманов С.А., Никитин С.Ю.
Физическая оптика. — М.: Изд-воМГУ, 1998.Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Современная электродинамика.Москва, Ижевск, 2003.Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике.— М.: Наука, 1970.Бутиков Е.И. Оптика. — М.: Высш. шк., 1986.Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука,1975.Гинзбург И. Ф., Погосов А. Г. Электродинамика. Новосибирск: НГУ,2010.Джексон Дж. Классическая электродинамика.
— М.: Мир, 1965.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Физматлит, 2001.Ландсберг Г. С. Оптика. — М.: Наука, 1976.Матвеев А.Н. Оптика. — М.: Высш. шк., 1985.Меледин Г.В., Черкасский В. С. Электродинамика в задачах. Новосибирск: НГУ, 2009.Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитные волны и оптика.— Новосибирск: Наука.
Сиб. отд-ние, 1987. Ч. 2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1996. Т. 3. Ч. 2.Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Гос. изд. техникотеоретической литературы, 1957.Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. М.: Высш. шк.,1980.Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. — / Р. Фейнман,Р. Лейтон, М. Сэндс. М.: Мир, 1966. Т. 5—7.Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики.
— М.: Гос. изд.технико-теоретической литературы, 1957. Т. 3..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
