1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Как видно из рисунка (а), соответствующего случаю φ1 > α,справедливы равенстваβ = φ1 − αи φ2 = β ′ + α.С учётом соотношений β ′ = βn, φ1 = φ/n отсюда получаем:φ2 = (φ1 − α)n + α = φ − (n − 1)α,т. е.φ2 − φ = −(n − 1)α.(Из рисунка (б), соответствующего случаю φ1 < α, получается тот жерезультат: β = α − φ1 , φ2 = α − β ′ = α − (α − φ1 )n = φ − (n − 1)α.)Таким образом, как мы убедились, все лучи, исходящие из точкиL, после прохождения призмы действительно поворачиваются на одинугол (n − 1)α в сторону основания призмы.Для доказательства второй части приведенного утверждения о существовании мнимого изображения необходимо, вообще говоря, проследить за геометрией преломлённого луча, включая прохождение точек A17.9. Мнимое изображение, создаваемое тонкой призмой107и B (рис.
??). на гранях призмы. Если же довольствоваться правдоподобными рассуждениями, то процедуру «доказательства» можно предельно упростить. Считать, что для тонкой призмы смещением луча напути от A до B можно пренебречь и принять, что изменение угла от φдо φ−(n−1)α происходит непосредственно в точке A. В этом предположении крайний преломлённый луч, соответствующий лучу, падающемуна призму под углом φ = 0, проходит через начало координат (см. рис.??) с углом наклона −(n − 1)α и подчиняется уравнениюx = −(n − 1)αz.(a)Любой другой преломлённый луч, проходящий через соответствующуюточку A с координатами xA = φa, zA = 0 с углом наклона φ − (n − 1)α,описывается уравнениемx = φa + [φ − (n − 1)α]z.(b)С первым лучом (a) он пересекается в точке с координатамиx∗ = a(n − 1)α,z∗ = −a,(c)не зависящими от угла φ, и, следовательно, определяющими положениемнимого изображения L′ .Читателю, не склонному принимать на веру результаты подобных упрощённых умозаключений, полезно будет более строгое рассмотрение.
Теперь не будемигнорировать толщину призмы, которую у основания x = 0 примем равной ∆0 .Тогда первый из рассматриваемых преломлённых лучей будет выходить из точкиx = 0, z = ∆0 и определяться уравнениемx = −(n − 1)α(z − ∆0 ).(d)Второй луч, получаемый в результате двух преломлений в точках A и B, где разворачивается от малого угла φ ̸= 0 до φ − (n − 1)α, описывается уравнением прямойx − xB = [φ − (n − 1)α](z − zB ),(e)проходящей через точку B с соответствующим углом наклона. Координаты точки B,как точки пересечения единожды преломлённого луча x = φa + (φ/n)z и выходнойграни призмы z = ∆0 − αx, выражаются формуламиxB =a + (∆0 /n),1 + αφ/nzB = ∆0 − αφa + (∆0 /n).1 + αφ/n(f )Для точки пересечения рассматриваемых лучей (d), (e) с учётом формул (f) получаем результат()()x∗ = (n − 1)α(a + ∆0 /n) 1 + O(αφ, α2 ) , z∗ = ∆0 − (a + ∆0 /n) 1 + O(αφ, α2 ) .Отсюда видно, что в первом приближенииx∗ = (n − 1)α(a + ∆0 /n),z∗ = ∆0 − (a + ∆0 /n)108Глава 17.
Геометрическая оптикаточка пересечения не зависит от угла φ и, следовательно, представляет собой мнимоеизображение источника L. Близость полученного результата к результату нулевогоприближения (c) позволяет использовать последнее в приложениях.◦◦◦Вернемся к оптическим системам. Одним из самых распространенных элементов оптических систем являются линзы, составленные изсферических поверхностей. Поэтому следующий параграф будет посвящен исследованию фокусировки оптических пучков на сферической поверхности.17.10.Преломление луча на сферической поверхности.
Параксиальное приближение1. Пусть сферическая граница (см. рис. 17.16) разделяет области сxϕ1Pϕ2Rθ1LOn1θ2Czn2Рис. 17.16показателями преломления n1 = const, n2 = const .6 Луч света, исходящий из точки L области 1, падает на поверхность раздела. Соединимточку L с центром сферы C и полученную прямую примем за ось z(ось симметрии). Плоскость, образованная падающим лучом и осью z,является меридиональной плоскостью для сферы; поперечную декартову координату в ней назовём x. Отметим, что в этой плоскости лежаттакже нормаль к границе раздела в точке падения P и преломленный6 Нам, конечно, более привычно средой 1 считать воздух (n = 1), а в качестве1среды 2 принять стекло с n2 > 1.
Но для возможности обобщений здесь мы примемобщие обозначения n1 , n2 .17.10. Преломление луча на сферической поверхности109луч. Направления лучей характеризуются углами θ1 , θ2 отклонения отнаправления оси z и углами падения-преломления φ1 и φ2 . Положительные направления углов на рис. 17.16 указаны стрелками.Задачей данного пункта является определение направления преломленного луча, задаваемого углом θ2 .
Для этого служат закон Снеллиусаи геометрические соотношенияn1 sin φ1 = n2 sin φ2 ,φ1 − θ1 = φ2 − θ2 = arcsin(xp /R),(17.41)связывающие углы перед и за границей раздела. Здесь xp — координататочки пересечения луча со сферой, R — радиус сферы. Если принять,что радиусу сферы приписывается ещё и знак (так, чтобы вогнутой поверхности соответствовал отрицательный знак), тогда геометрическиесоотношения из системы (17.41) остаются справедливыми и для вогнутой поверхности, как нетрудно усмотреть из рис.
17.17, рис. 17.18. Здесьпредставлены соответствующие геометрии для двух случаев паденияϕ2 >0ϕ2 <0Pθ1− ϕ1θ1LCРис. 17.17ϕ1<0ϕ1>0θ2 − ϕ2Pθ1− ϕ1θ2θ2 − ϕ2θ2θ1zCLzРис. 17.18луча на вогнутую поверхность, отличающихся лишь знаками угла падения (а, следовательно, и угла преломления). Эти знаки явно указанына рисунках, так же как значения углов, выделенных здесь двойнымискобками, которые в обоих случаях выражаются одинаковыми формулами (θ1 − φ1 ) и (θ2 − φ2 ).
Видно, что условие их равенства приобретаетформу геометрического соотношения из (17.41), если радиус сферы будет подразумеваться отрицательным.Для произвольных по величине углов простые зависимости θ2 =θ2 (θ1 , xp /R) для направления преломленного луча из соотношений (17.41)получить невозможно.
Если же ограничиться так назывемым параксиальным приближением, т. е. рассматривать лучи, характеризующиесямалыми углами, и принадлежащие пучку с малым поперечным размером:| φ |≪ 1, | θ |≪ 1, xp ≪| R |,(17.42)110Глава 17. Геометрическая оптикато соотношения (17.41) становятся линейнымиn1 φ 1 = n2 φ 2 ,φ1 − θ1 = φ2 − θ2 = xp /R.При этом искомый результат легко приводится к видуn2 θ2 = (n1 − n2 )(xp /R) + n1 θ1 .(17.43)Это основное соотношение геометрической оптики для преломления луча на сферической поверхности, фактически определяющее её фокусирующие свойства.2.
Воспользуемся полученным соотношением для определения координаты7 z2 точки L′ , где преломлённый в точке P на сфере луч (или егоxxp PLz1θ1RL’ θ2z2 O zpn1Czn2Рис. 17.19продолжение) пересекает ось z (см. рис. 17.19). Для этого заметим, чтомалые углы θ1 , θ2 связаны с координатами z1 , z2 соотношениямиθ1 =xpxp (zp )=1+,−z1 + zp−z1z1θ2 =xpxp (zp )=1+,−z2 + zp−z2z2в окончательном виде представленными с учётом малости | zp |= x2p /2|R|по сравнению с | z1 |, | z2 |.
После подстановки в равенство (17.43) ониприводят к искомой зависимостиn2 (zp ) n1 (zp ) n2 − n11+=1++,(17.44)z2z2z1z1R7 Обратим внимание, что в литературе по геометрической оптике положения точек на оптической оси обычно задают «расстояниями» (положительными или отрицательными) от определённых точек. Имея в виду, что только координаты точек имеют однозначный смысл, не требующий дополнительных договорённостей, вданном Пособии везде используются координаты точек. «Расстояния» упоминаютсятолько в комментариях.17.10. Преломление луча на сферической поверхности111определяющей z2 при фиксированном значении z1 .
Отсюда видно, чтоискомая координата z2 , вообще говоря, зависит от положения точки Pна сфере.Представляется естественным, что в параксиальном приближении(17.42) малую координату zp из уравнения (17.44) можно исключить.Идеализированный вариант этого уравнения8n2(0)z2=n2 − n1n1+,z1R(17.45)получаемый в пренебрежении величиной zp , обычно применяют вместо (17.44).
Именно из этого приближения приходят к заключению, чтовсе лучи, исходящие из точки L с координатой z1 , после прохождениясферической границы пересекают ось z в одной точке. Или, более точно, этот вывод формулируют так: после преломления на сферическойповерхности гомоцентрический пучок остается гомоцентрическим, еслион удовлетворяет условию параксиальности.Конечно, при zp → 0, равносильном требованию θ1 → 0, все соот(0)ветствующие лучи собираются в точке с координатой z2 , определяемой формулой (17.45).
Но нам интересно знать, какой разбег углов ∆θ1вблизи θ1 = 0 допустим, при котором приведенный вывод в определённом смысле (в каком именно?) справедлив. Иначе говоря, нужен болееточный критерий, определяющий параксиальность пучка. Оценка длянего будет получена в следующем параграфе, а пока заметим, что в(0)зависимости от знаков и величин R и (n2 − n1 ) значение z2 (17.45) познаку либо отличается от z1 (при этом изображение является действительным), либо совпадает — для мнимого изображения.Ещё одно замечание относительно точек L и L′ . Пока мы считали,что в точке L располагается источник, а L′ соответствует изображению.Очевидно из приведенных рассуждений, что если источник света поместить в точку L′ , то его изображением станет9 точка L.
Такие точкивпредь будут называться сопряжёнными.Повторим также ещё раз, что все геометрические результаты, относящиеся к траектории преломлённого луча, в параксиальном приближении получаются с использованием условия zp = 0. Это означает, что прирасчёте траектории излом луча считается происходящим не в точке P(0)8 Здесь обозначением zподчёркивается его соотнесённость к нулевому прибли2жению искомой величины.9 В этом можно убедиться также из принципа Ферма, обратившись к следующемупараграфу.112Глава 17.
Геометрическая оптикаΣ SPzOРис. 17.20пересечения со сферической поверхностью, а в плоскости, касающейсясферы в точке z = 0, как схематически изображено на рис. 17.20.3. Найдём задний и передний фокусы преломляющей сферическойповерхности. Обратимся для этого к параллельному пучку лучей, падающему на сферическую поверхность, получающемуся при z1 = −∞.После преломления этот пучок собирается в точке, которую называютзадним фокусом F2 преломляющей поверхности, координату которойϕ1ϕ2ϕ1F2F1Cϕ2Cn1n2 > n1Рис. 17.21Рис. 17.22удобно обозначить символом z2f .
Как следует из формулы (17.45),z2f =n2 R.n2 − n1(17.46)n1 Rn2 − n1(17.47)Наоборот, точка с координатойz1f = −называется передним фокусом F1 преломляющей поверхности. Падающий гомоцентрический пучок с центром в этой точке после преломления(0)уходит в виде параллельного пучка (т. е. z2 = ∞).Так же, как и изображения, фокусы могут быть действительнымиили мнимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
