1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Синхротронное излучение73P1γE1γ∆tTTtРис. 16.1422γv(t’)1Рис. 16.155. О спектральном составе СИ. До наблюдателя, находящегося вплоскости орбиты (или вблизи нее), излучение доходит в виде периодической серии импульсов, как схематически изображено на рис. 16.14. Период между импульсами совпадает 16 с периодом вращения T = 2π/ωв ,длительность импульса ∆t определяется прохождением иглообразноголуча через точку наблюдения. Как следует из анализа, приведенногов § 8.2, рассматриваемый процесс характеризуется линейчатым спектром с частотами, кратными ωв . Ширина спектра и вид его огибающейопределяются формой и продолжительностью отдельного импульса.Для оценки ∆t воспользуемся рис.
16.15. Здесь точками 1, 2 отмечены два последующих положения электрона на орбите. К ним привязаныдва острых конуса, в которых содержится излучение, выпущенное электроном из соответствующих положений. Принято, что угловое расстояние δα между точками 1, 2 равно 2/γ. Тогда для точки наблюдения P,изображённой на рисунке, импульс излучения начинается и заканчивается, когда электрон проходит положения, соответственно, 1, 2. Время∆t′ , в течение которого электрон преодолевает это расстояние, в 2π/δα16 Вэтом легко убедиться, воспользовавшись соотношением (16.9)dt = dt′ − (1/c)n(t′ ) · v(t′ )dt′ .Здесь достаточно заметить, что для фиксированной точки наблюдения комплекс−(n(t′ ) · v(t′ )), как видно из равенства (16.4), представляет собой полный дифференциал dRe (t′ ) функции Re (t′ ) (см.
рис. 16.1), периодической с периодом T в случаезамкнутой орбиты.74Глава 16. Излучение релятивистских зарядовраз меньше периода вращения, т. е.∆t′ =22T =.γ2πγωвИскомый промежуток ∆t приема этого излучения связан с ∆t′ соотношением (16.9), которое в рассматриваемом случае сводится к ∆t =(1 − β)∆t′ . C учетом оценки (16.35) отсюда получаем∆t =1γ 3 ωв.По длительности импульса ширину спектра оценим из соотношениянеопределенности ∆ω∆t ∼ 1 и получим∆ω ∼ ωв γ 3 .Следовательно, рассматриваемый спектр, линейчатый, как было сказано выше, простирается до очень высоких номеров гармоник порядкаγ 3 .
Практически, из-за близости соседних линий, спектр можно рассматривать как сплошной (тем более, что он размазывается квантовыми флуктуациями энергии благодаря зависимости частоты обращенияот энергии частицы). КОНКРЕТНЫЕ ДАННЫЕ ИЯФа. В заключениеF(ξ)0,920,50 0,29 1234ξРис. 16.16приведем точный результат (см., например, Ландау-Лифшиц «Теорияполя», стр. 276) для спектрального распределения мощности СИ, который в наших обозначениях17 запишется в виде√ 3dE3e B (ω )= dωF.(16.76)′dt2π mc2ωc17 В «Теории поля» мощность излучения названа полной интенсивностью излучения и обозначена символом I.16.10.
Синхротронное излучение75Здесь ωc = (3/2)ωв γ 3 — характерная частота излучения, связанная сларморовской частотой ωв и релятивистским фактором γ, а безразмерная функция F, определяющая спектральную мощность (16.76), изображена на рис. 16.16.Отсюда видно, что максимум спектральной мощности находится вблизи значения ω = (1/2)ωв γ 3 .Глава 17Геометрическая оптикаГлава посвящена обоснованию и некоторым результатам применениятак называемого приближения геометрической оптики к задаче распространения электромагнитных волн в неоднородной среде. Рассмотрены простейшие вопросы инструментальной оптики.17.1.Вводные замечания1. Ограничимся случаем монохроматических волн, когда зависимость всех полей от времени описывается множителем e−iωt , диэлектрическая проницаемость среды имеет определенный смысл (см. § 7.4),связывая соответствующие комплексные амплитуды полей соотношением D̂ = ϵÊ.
Магнитную проницаемость µ примем тождественно равнойединице, считая B = H. При этих ограничениях уравнения Максвелладля комплексных амплитуд полей сводятся к двум роторным уравнениямiωiωrot Ê(r) =B̂(r), rot B̂(r) = − ϵ(r)Ê(r).(17.1)cc(Соответствующие дивергентные уравнения()div B̂(r) = 0, div ϵ(r)Ê(r) = 0(17.2)являются следствиями основных уравнений (17.1).) Понятно, что в случае неоднородной среды, характеризуемой произвольной функцией ϵ(r),определение полей Ê(r), B̂(r) в волне, как решений системы (17.1), в7617.2. Уравнение эйконала77общем случае труднореализуемо.
Но для практически важного случаяэлектромагнитных волн оптического диапазона очень часто оказывается справедливо сильное неравенствоλ0 ≪ L,(17.3)т. е. характерный размер L неоднородности среды намного больше соответствующей длины волны. При этом ограничении среда рассматривается как слабонеоднородная и для описания распространения света вней широко используется подход геометрической оптики1 . В его первом приближении исследование волнового поля Ê(r), B̂(r) заменяетсягеометрией световых лучей, по которым распространяется волна и переносится энергия.
Обеспечивая менее полное описание волнового поля, данный подход освобождает от необходимости решения выписанныхуравнений Максвелла.2. Для исследования поля Ê(r) вдоль луча в геометрической оптике получается соответствующее уравнение второго приближения. Дляэтого необходим результат исключения поля B̂(r) из системы (17.1),(17.2). (Напомним, что в случае ϵ = const результат имеет простой вид∆Ê + ϵω 2 /c2 Ê = 0 и называется уравнением Гельмгольца.) В общемслучае подобное уравнение имеет сложную структуру и здесь не приводится.2 Нам оно понадобится только для частного случая волны, распространяющейся в «двумерной» среде с проницаемостью ϵ = ϵ(x, y) ис полем Ê(r) = Êz (x, y)ez , имеющим одну компоненту. Поскольку этополе тождественно удовлетворяет уравнению div Ê(r) = 0, процесс исключения B̂(r) из системы (17.1) становится столь же простым, как вслучае ϵ = const, и приводит к уравнению Гельмгольца∆Êz (x, y) + k02 ϵ(x, y)Êz (x, y) = 0(17.4)с переменным коэффициентом.17.2.Уравнение эйконала1.
Первое приближение геометрической оптики основывается на понятии эйконала. Для его введения повторим некоторые результаты решения уравнений (17.1), (17.2) для случая однородной среды ϵ = const,1 Особые случаи, когда условие (17.3) не выполняется, в данном Пособии не обсуждаются.2 Его можно найти в книге М. Борн, Э. Вольф «Основы оптики.»78Глава 17. Геометрическая оптикаотносящиеся к плоской монохроматической волне. Соответствующиеформулы выпишем с сохранением временной экспоненты:E(r, t) = Ê0 ei(kr−ωt) , B(r, t) = B̂0 ei(kr−ωt) , B̂0 =[k × Ê0 ].ω/cВ этих формулах Ê0 , B̂0 постоянны и взаимно перпендикулярны. Фазаволны задается выражением Φ = kr − ωt.
Поверхность постоянной фазы (волновая поверхность), определяемая уравнением Φ = const, представляет собой плоскость, перпендикулярную волновому вектору k иперемещающуюся вдоль этого вектора с фазовой скоростью u = ω/k.Волновой вектор k связан с частотой ω и показателем преломления nсоотношениями√k = k0 n, k0 = ω/c, n = ϵ,(17.5)где k0 = 2π/λ0 — волновое число в пустоте, отвечающее частоте ω (число волн, укладывающихся на длине 2π см). Отметим, что приближениегеометрической оптики опирается на тот факт, что это число очень велико.2. В случае слабонеоднородной среды (17.3) интуитивно представляется, что любую локальную область с размерами порядка несколькихдесятков длин волн приближенно можно рассматривать как однородную и структуру волны в ней считать мало отличающейся от плоскоймонохроматической волны.
Соответствующее решение уравнений (17.1)представляют в виде гармонической волны с полями, задаваемыми ввидеÊ(r) = Ê0 (r) eik0 ψ(r) , B̂(r) = B̂0 (r) eik0 ψ(r) .(17.6)Здесь амплитуды Ê0 , B̂0 уже не постоянны; они рассматриваются какмедленноменяющиеся функции пространственных координат, испытывающие существенные изменения лишь на характерном расстоянии L,удовлетворяющем условию 17.3.
Фаза волны (без временной слагаемой)отлична от линейной функции типа kr и записывается в виде произведения большого параметра k0 и скалярной вещественной функции ψ(r),имеющей размерность длины и называемой эйконалом. Поверхность,определяемая уравнением ψ(r) = const, представляет собой волновуюповерхность. Естественно, этой поверхности постоянной фазы в общемслучае (17.6) не соответствует постоянное значение E0 (r), как в случаеплоской монохроматической волны, распространяющейся в однороднойсреде.17.2.
Уравнение эйконала79Выделение в фазе волны множителя k0 приводит к тому, что ψ (точнее, как увидим ниже, grad ψ) становится также медленноменяющейсяфункцией, в чем нетрудно убедиться, мысленно выделив в пространстве две фазовые поверхности с фазами, отличающимися на величинуΦo+2πλ = λnoΦoψoψo+ 2πκoРис. 17.12π (см. рис. 17.1).
(Рисунок подсказывает, что в общем случае волновыеповерхности не обязаны быть плоскими. Такими они подразумеваютсятолько в пределах малых областей.) Локально эти поверхности отстоятдруг от друга на расстоянии λ0 /n по нормали. Как отмечено на рисунке, им отвечают значения ψ, отличающиеся всего на малую величину2π/k0 . Таким образом, если| grad Φ |=2π2π= nk0 , то | grad ψ |== n.λ0 /nk0 λ0 /nВидим, что | grad ψ | является функцией, испытывающей заметные изменения лишь на расстояниях порядка L.3.
Продолжим качественное исследование предполагаемых решений(17.6). Обратимся к поведению одного из полей, например, электрического, в малой окрестности произвольной точки с радиус-вектором r0 .Примем, что здесь E0 (r) = E0 (r0 ) = const, а функцию ψ(r) возьмем судержанием двух первых членов разложения Тейлора в видеψ(r) = ψ(r0 ) + grad ψ(r0 ) · (r − r0 ).(Запись grad ψ(r0 ) здесь и далее означает grad ψ(r)r=r0 .) Тогда полеÊ(r) примет видE 0 eik0 (grad ψ(r0 )·r)Ê(r) = Ê()E 0 = Ê0 (r0 )eik0 [ψ(r0 )−(grad ψ(r0 )·r0 )] = constÊ80Глава 17. Геометрическая оптикаE 0 и волновымполя плоской монохроматической волны с амплитудой Êвекторомk = k0 grad ψ(r0 ).(17.7)Отсюда имеем, что волна, описываемая полями (17.6), в любой точке r0 распространяется по направлению grad ψ(r0 ) и, как следует изсравнения выражений (17.5), (17.7), градиент функции ψ(r) по модулюдолжен равняться локальному значению показателя преломления:| grad ψ(r) |= n(r).Таким образом, из качественных соображений мы получили то соотношение, которое называется уравнением эйконала3 и является однимиз основных уравнений геометрической оптики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
