1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Первый член зависит только от скорости (а не от ее ускорения) и с расстоянием меняется как 1/Re2 . Второй член зависит от ускорения, с расстоянием спадаеткак 1/Re и при больших Re (т. е. в волновой зоне, как говорилось в главе13) является превалирующим.
Здесь поля B, E взаимно перпендикулярны, равны по модулю и описывают поле излучения рассматриваемойчастицы с вектором Пойнтинга, направленным радиально и спадающимкак 1/Re2 . Обратим внимание для дальнейшего, что в ближней зоне поля имеют более сложную структуру с вектором Пойнтинга, отличнымот чисто радиального.Пример 1. Для случая заряда, движущегося с постоянной скоростью, выполнить переход от общих результатов (16.16), (16.17) к формулам (15.31). (Иными словами, формулы (16.16), (16.17) требуется освободить от промежуточных параметров n(t′ ), Re (t′ ), характеризующихположение заряда в ретардированный момент времени.)Для этого обратимся к рис. 16.2, где положения заряда в моментыt′ , t отмечены точками A′ , A, а P означает точку наблюдения.
Рисунок3 Обратим внимание, что, как следует из полученных формул, поле произвольнодвижущегося заряда в точке r, в момент времени t определяется положением, скоростью и ускорением заряда в некоторый предшествующий момент времени t′ (частоназываемый ретардированным), подчиняющийся требованию (16.3). Только в случае равномерно движущегося заряда, как мы видели раньше (см.
формулы (15.31)),поля можно связать с точкой, которую заряд занимает в момент наблюдения. Переход от общих формул к результату (15.31) ниже показан в качестве примера.16.2. Поля движущегося зарядаνR e (t)43PereθAPR e (t’)v(τ)rν’θeA’Рис. 16.2w(t’)Рис. 16.3содержит также все необходимые обозначения. С их помощью электрическое поле в точке P, определяемое первым слагаемым (16.16), представим в видеEp (t) = e(1 − β 2 ) (Re (t′ ) − Re (t′ )βRe (t′ ) − Re (t′ ) · β)3 ,β=v.c(а)Заметим, что в рассматриваемом случае числитель в выражении Epравен вектору Re (t) :Re (t′ ) − Re (t′ )β = Re (t).(б)β = (t −Действительно, т.
к. согласно (16.3) Re (t′ ) = c(t − t′ ), то Re (t′ )β−→t′ )v и при v = const совпадает с вектором перемещения A′ A . Отсюдаследует результат (б).Скалярная величина из знаменателя дроби также выражается черезвекторы Re (t) и β. Справедливо равенство4()2Re (t′ ) − Re (t′ ) · β = Re2 (t)(1 − β 2 sin2 ϑ).(в)После подстановки равенств (б), (в), выражение (а) для электрическогополя приобретает требуемую формуEp (t) = eRe (t)1 − β2.Re3 (t) (1 − β 2 sin2 ϑ)3/2(16.18)4 Это геометрическое соотношение легко доказывается справа-налево, еслипредварительно воспользоваться равенством (б) и заменой Re2 (t)β 2 sin2 ϑ наRe2 (t′ )β 2 sin2 ϑ′ = Re2 (t′ )β 2 − (Re (t′ ) · β)2 .44Глава 16.
Излучение релятивистских зарядовДля получения искомого результата для магнитного поляβ × Ep (t)]Bp (t) = [β(16.19)выражение (а) для поля Ep (t) необходимо векторно умножить слева наn(t′ ). После замены()()β ] = [ββ × Re (t′ ) − Re (t′ )ββ ][n(t′ ) × Re (t′ ) − Re (t′ )βрезультат приобретает нужную форму. (Последнее равенство доказывается простым раскрытием внутренних скобок с учётом Re (t′ ) = Re (t′ )n(t′ ).)Перед тем, как перейти к следующему вопросу, сделаем ещё пример,уместный именно в данном месте. Его результаты в качестве предварительного материала нам понадобятся в § 16.5; там мы их и обсудим.Пример 2. Выписать поля Лиенара-Вихерта для заряда, в момент t′имеющего скорость и ускорение, параллельные между собой (v(t′ )∥w(t′ )).Получить соответствующие выражения для компонент вектора Пойнтинга в окружающем пространстве.Точку наблюдения P зададим сферическими координатами r, θ, совмещая начало координат с положением заряда в момент t′ и отсчитываяугол θ от направления вектора w(t′ ) (см.
рис. 16.3). Тогда, после заменыRe , n соответственно на r, er , формулы (16.16), (16.17) для электрического и магнитного полей в точке P в момент времени t = t′ + r/c легкоприводятся к видуEp = Er er + Eθ eθ ,Bp = Bα eα ,e1 − β2гдеEr (r, θ)= 2,′r (1 − β cos θ)2t=t +r/c[ee w]sin θEθ (r, θ) ′.= Bα (r, θ) ′= 2 β(1−β 2 )+ 2rr c (1 − cos θ)3t=t +r/ct=t +r/cОтсюда для компонент вектора ПойнтингаccS=[E × B] =Bα [E × eα ]4π4πполучаем следующие выражения:Sr (r, θ)t=t′ +r/cSθ (r, θ)t=t′ +r/c==c e2 [ β(1 − β 2 )w ]2 sin2 θ+,4π r2rc2 (1 − cos θ)6w ] (1 − β 2 ) sin θc e2 [ β(1 − β 2 )+.−4π r3rc2 (1 − cos θ)5(16.20)16.3.
Четырёхвектор энергии-импульса излучения45Заметим, что в приведенных формулах β, w означают β(t′ ), w(t′ ). Следует также иметь в виду, что если в момент t′ ускорение направленопротив скорости, величина β отрицательна.16.3.Четырёхвектор энергии-импульса излучения релятивистской частицы1. Обратимся к излучению заряда, движущегося со скоростью не малой по сравнению со скоростью света.
Формулы дипольного излучения,справедливые при v ≪ c, к этому случаю непосредственно неприменимы. Но у нас есть возможность рассматривать частицу в специальновыбранной сопутствующей системе отсчета S0 , в которой скорость частицы в некоторый момент времени t′0 равна нулю, а ускорение w0 (t′0 )отлично от нуля. Следовательно, излучение в этой системе отсчета дипольно и для энергии излучения справедлива формула (13.32)2 e2 w2 (t′ )J t =.3c3(16.21)Обратим внимание, что в качестве энергии, уносимой излучением заединицу времени, здесь принимается поток вектора Пойнтинга поляизлучения через сферу большого радиуса r с центром, совпадающимс положением заряда в момент t′ (время излучения). Рассматриваемыйпоток вычисляется в момент t наблюдения излучения, где t = t′ + r/c,и J называется полной интенсивностью излучения.Это повторение здесь приводится для того, чтобы ниже иметь возможность заметить, что для релятивистского заряда излучение характеризуется энергетическойвеличиной, иначе связанной с вектором Пойнтинга поля излучения.Для сопутствующей системы отсчета результат (16.21) представимв виде2 e2 w02 (t′0 ) ′dt0 ,(16.22)3c3явно содержащем обозначение dE(0) для энергии, излучаемой частицейза время dt′0 = dτ.
(Нижним индексом (0) здесь и далее отмечаетсяотнесенность соответствующей величины к системе S0 .) Отметим, чтонаряду с энергией излучение уносит от заряда и импульс. Для определения величины полного излучаемого частицей импульса обратим вниdE(0) =46Глава 16. Излучение релятивистских зарядовмание, что излучение, порождённое частицей за время dt′0 , в последующий момент времени t0 сосредоточено в сферическом слое толщиныcdt′0 . Центр сферы находится в точке, занимаемой зарядом в момент t′0 ,SBW(0)(t’) θEnSc dt’c(tB-t0’ )0EРис. 16.4радиус сферы r = c(t0 − t′0 ) (см. рис. 16.4). Вспомнив, что плотностьимпульса электромагнитного поля (15.69)g = (1/c2 )Sпропорциональна вектору Пойнтинга, легко убедиться, что суммарныйимпульс поля в рассматриваемом слое равен нулю. Следовательно, излучаемый частицей за время dt′0 импульсdP(0) = 0.(16.23)Действительно, в поле излучения, определяемом формулами (13.
28)B=e[w0 (t′0 ) × n],c2 rE = [B × n],вектор Пойнтинга S = (c/4π)[E ×B] равен (c/4π)B 2 n. Поскольку B 2 ∼ sin2 θ, в двухсимметричных точках, выделенных на рис. 16.4, векторы S равны по величине, противоположны по направлению и взаимно компенсируют друг друга, подтверждаятем самым справедливость результата (16.23).2. Чтобы вернуться в лабораторную систему отсчета и здесь определить излученные энергию и импульс, необходимо построить соответствующий 4-вектор( 1 dE dP )dP iPi ==,,dτc dτ dτ16.3. Четырёхвектор энергии-импульса излучения47который бы в сопутствующей системе S0 принимал значениеiP(0)=( 1 dEc(0),dt′0) ( 1 2 e2 w 2)00, 0, 0 =, 0, 0, 0 ,3c3 c(16.24)согласующийся с требованиями (16.22), (16.23). Для этого вспомним,что инвариантный квадрат 4-ускорения (15.13) в сопутствующей системе переходит в квадрат собственного ускорения:duk duk= −w02 .dτ dτОтсюда понятно, что искомый 4-вектор равенPi = −2 e2 duk duk iu,3 c5 dτ dτ(16.25)iпоскольку в системе S0 , в которой ui(0) = (c, 0, 0, 0), компоненты P(0)приобретают необходимые значения (16.24).
Полученный вектор( 1 dE dP )dP i11√Pi = √=,1 − v 2 /c2 dt′1 − v 2 /c2 c dt′ dt′описывает полные энергию (dE/dt′ ) и импульс (dP /dt′ ), излучаемые вединицу времени t′ .Зная компоненты этого 4-вектора в сопутствующей системе, из законов преобразования (15.6) нетрудно найти искомые величины в лабораторной системе. Для этого сопутствующую систему, движущуюся соскоростью v заряда, примем за подвижную систему S ′ и будем считать,что скорость v = V направлена вдоль оси x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
