1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По величине ER зависит от угла ϑ между V и R. Вдольлинии движения заряда (т. е. при ν = 0, π) поле ослаблено в 1 − V 2 /c2раз по сравнению с кулоновым полем Eкул = e/R2 , а в перпендикулярном направлении усилено в √ 1 2 2 раз.
При V ∼ c поле ER велико1−V /c√только в узком интервале углов ∆ν ∼ 1 − V 2 /c2 вблизи экваториальной плоскости ν = π/2.Магнитное поле, как следует из второй формулы (15.31), в каждойточке ортогонально электрическому полю и характеризуется силовымилиниями в виде окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных линии движения заряда, и с центрами на этой линии. По величинеполе B пропорционально ER (R, ν), причем коэффициент пропорциональности равен V /c.15.6.Тензор электромагнитного поля. Ковариантный вид уравнений МаксвеллаВ косвенном виде закон преобразования полей заключен в соотношении (15.29). Но нам необходимо иметь прямые законы преобразования Eи B при переходе из одной инерциальной системы в другую. К этому вопросу мы сейчас и перейдем, определив предварительно ковариантный15.6.
Тензор электромагнитного поля21вид самих уравнений Максвелла. Для этого заметим, что компонентыполей E и B связаны с результатами дифференцирования элементов4-вектора Ai , и, следовательно, являются элементами 4-объекта, образованного из 4-векторов ∇i и Ai .Проверкой легко убедиться, что соответствующим 4-объектом является антисимметричный 4-тензорFik = ∇i Ak − ∇k Ai =∂Ak∂Ai−,i∂x∂xk(15.32)называемый тензором электромагнитного поля. Подставив значения Ai =(φ, −A) в определение (15.32), определяем смысл каждого из компонентFik .
Например,F01 =1 ∂∂∂Ax∂φA1 −A0 = −−= Ex .c ∂t∂xc∂t∂xРезультат можно записать в виде таблиц, в которых первый индексi = 0, 1, 2, 3 нумерует строки, а второй – столбцы:0ExEyEz0 −Ex −Ey −Ez Ex −Ex0−Bz By 0−Bz ByFik = , F ik = −Ey Bz E y Bz0−Bx 0−Bx−Ez−ByBx0Ez−ByBx0(15.33)Отсюда видим, что пространственные компоненты тензора Fik (т. е компоненты с i, k = 1, 2, 3) связаны с магнитным полем. Компоненты вектора E составляют временные компоненты тензора Fik .Теперь можем перейти к установлению ковариантного вида уравнений Максвелла.
Начнем с неоднородных уравнений (13.2), переписав ихв виде4π 0div E =j ,c(15.34)1 ∂E4π+ rot B =j.−c ∂tcВидно, что правые их части составляют 4-вектор (4π/c)j i , а левые части образованы из производных компонент тензора Fik , т. е. из элементов тензора 3-го ранга ∇k F lm . Следовательно, чтобы рассматриваемыеуравнения сложились в ковариантное 4-уравнение, 4-вектор их левыхчастей должен быть результатом свёртывания тензора ∇k F lm по паре.22 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаиндексов k, l (или по k, m). Имея перед глазами таблицу (15.33) для F ik ,легко увидеть, что результат свёртки ∇k F ik обеспечивает 4-вектор сознаками, согласованными с уравнениями (15.34).
Следовательно, ковариантная форма уравнений (13.2) имеет вид∂F ik4π= − ji.k∂xc(15.35)Обратимся теперь к однородным уравнениям (13.1). Оказывается,эта четверка уравнений может быть представлена в виде равенства∇i Fkl + ∇l Fik + ∇k Fli = 0,(15.36)в котором каждое последующее слагаемое левой части есть результаткруговой перестановки индексов предыдущего. Нетрудно увидеть, чтоданная сумма представляет собой антисимметричный по любой пареиндексов тензор третьего ранга; обозначим его Tikl . (Действительно,если, например, переставим индексы i и k, то из Tikl получимTkil = ∇k Fil + ∇l Fki + ∇i Flk ,только знаком отличающийся от Tikl , поскольку тензор Fik является антисимметричным.) Следовательно, тензор Tikl имеет всего четыре независимых отличных от нуля компонент, за которые можно принять, кпримеру, T012 , T013 , T023 , T123 , в каждом из которых среди индексов отсутствуют номера 3, 2, 1, 0 соответственно.Таким образом, уравнение (15.36) равносильно четырем независимым равенствам.
Каждое из них соответствует одному из уравнений(13.1), в чем мы убедимся, вычислив, например,T123 = ∇1 F23 +∇3 F12 +∇2 F31 =15.7.∂∂∂(−Bx )+ (−Bz )+ (−By ) = − div B.∂x∂z∂yКовариантная форма уравнения движения материальной точкиВ качестве повторения, относящегося к курсу механики, здесь осуществим релятивистское обобщение классического (ньютонова) уравнения движения материальной частицы с массой покоя mdp=fdt(p = mv).(15.37)15.7. Ковариантная форма уравнения движения материальной точки23Для этого возьмем 4-вектор pi = mui , который с введением обозначенийmc2E=√,1 − v 2 /c2mvp= √1 − v 2 /c2(15.38)записывается в видеpi = (E/c, p).(15.39)Обратим внимание, что в предельном случае v ≪ c вектор p из (15.38)переходит в классический импульс mv, а скаляр E приобретает значениеmc2 + mv 2 /2, только на постоянную mc2 отличающуюся от классической кинетической энергии частицы.
Естественно поэтому, что величины (15.38) называются релятивистскими энергией и импульсом частицы, а pi является 4-вектором энергии-импульса, для которого инвариантный квадрат длиныpi pi =E2− p2 = m2 c2 .c2(15.40)Таким образом, релятивистски инвариантный физический закон, обобщающий уравнение (15.37), записывается в следующей ковариантнойформе:dpi= f i.(15.41)dτЕсли 4-силу f i представить как( (1/c)f 0)ffi = √,√,1 − v 2 /c21 − v 2 /c2(15.42)временная и пространственная компоненты 4-уравнения (15.41) приобретают видdEdp= f 0,= f.(15.43)dtdtОтсюда видно, что трехмерный вектор f , определяющий пространственную компоненту f i , является силой, действующей на частицу.
Поскольку производная dE/dt тождественно связана с силой f и скоростью vсоотношением 3dE= (f · v),(15.44)dt3 Как следует из инварианта (15.40), EdE/dt = p · dp/dt; после замен p = Ev/c2 иdp/dt = f отсюда получается равенство (15.44)24 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаотсюда следует, чтоf 0 = (f · v),и, следовательно, 4-сила (15.42) имеет структуру( (1/c)(f · v))ffi = √,√1 − v 2 /c21 − v 2 /c2(15.45)(часто называется 4-силой Минковского), и, как легко убедиться, удовлетворяет условию(f i ui ) = 0.(15.46)Таким образом, точно так же, как в классической механике уравнениеd(mv 2 /2) = (f · v) является следствием уравнения движеэнергииdtния mdv/dt = f , в релятивистской механике временная компонента4-уравнения движения (15.41) является простым следствием его пространственных компонент.В заключение обратимся к заряженной частице, движущейся в заданном электромагнитном поле.
Здесь действующей силой является сила Лоренца()f = e E + (1/c)[v × B] ;(15.47)при этом f 0 = (f · v) = e(E · v).Поскольку поля E, B и скорость v, входящие в (15.47), являются компонентами 4-объектов F ik , ui , нетрудно подстановкой убедиться, что4-сила (15.45) выражается формулойef i = F ik uk ,cа уравнение (15.41) имеет видm15.8.duie= F ik uk .dτc(15.48)Преобразование Лоренца для поляИтак, компоненты полей B, E составляют 4-тензор F ik .
Вспомнив,что элементы тензора преобразовываются как произведения координатxi xk , закон преобразования которых известен, легко получить формулы15.8. Преобразование Лоренца для поля25преобразования для любой из компонент полей. В книге, предназначенной для начинающих, этот элементарный процесс продемонстрируем надвух характерных элементах: F 10 , т. е. Ex , и F 20 (Ey ).
Для первого изних выпишем произведениеx1 x0 =(x′1 + (V /c)x′0 )(x′0 + (V /c)x′1 )=1 − V 2 /c2=x′1 x′0 + (V /c)(x′1 x′1 + x′0 x′0 ) + (V /c)2 x′0 x′1,1 − V 2 /c2и формулу преобразования получим в видеF 10 =F ′10 + V /c(F ′11 + F ′00 ) + (V /c)2 F ′01.(1 − V 2 /c2 )Так выглядит формула для названного элемента произвольного тензора2-го ранга. Мы же рассматриваем антисимметричный тензор электромагнитного поля, в котором F 00 = F 11 = 0, F 01 = −F 10 ; для него законпреобразования сводится кF 10 = F ′10 , т.
е. Ex = Ex′ .Для F 20 формула преобразования, следующая из цепочкиx′ 0 + (V /c) x′ 1x′ 2 x′ 0 + (V /c) x′ 2 x′ 1√x2 x0 = x′ 2 √=,1 − V 2 /c21 − V 2 /c2имеет видF 20 =Ey′ + (V /c)Bz′F ′20 + (V /c)F ′21√, откуда Ey = √.1 − V 2 /c21 − V 2 /c2Аналогичный простой путь приводит к остальным результатам. В совокупности формулы преобразования полей приобретают вид:Ey′ + (V /c)Bz′Ez′ − (V /c)By′Ex = Ex′ , Ey = √, Ez = √,1 − V 2 /c21 − V 2 /c2(15.49)Bz′ + (V /c)Ey′By′ − (V /c)Ez′, Bz = √,Bx = Bx′ , By = √1 − V 2 /c21 − V 2 /c2(15.50)Здесь мы получили формулы для перехода из инерциальной системы S ′в систему S.
Обратные преобразования получаются из (15.49), (15.50)26 Глава 15. Специальная теория относительности и электродинамикаперестановкой штрихованных величин с нештрихованными и заменойV на −V.Полученные формулы легче запоминаются, если их представить ввиде закона сохраненияE∥ = E∥′ ,B∥ = B∥′(15.51)для продольных компонент (т. е. компонент вдоль направления скорости V ), и законов преобразования′′E⊥− V ×Bc,E⊥ = √V21 − c2′B⊥+ V ×EcB⊥ = √V21 − c2′(15.52)для поперечных компонент. Эти формулы показывают, что поля B, Eотносительны, их величины и соотношения между ними различны вразных системах отсчета. Например, чисто электрическое или чистомагнитное поле в одной системе отсчета представляется совокупностьюэлектрического и магнитного полей в другой системе.
Причем, как следует из равенств (15.51), (15.52), они взаимно перпендикулярны междусобой и связаны определенным соотношениемB=11[V × E] (еслиB ′ = 0), E = − [V × B] (еслиE ′ = 0).cc(15.53)Пример. Получить формулы (15.31) для поля равномерно движущегося заряда непосредственно из законов преобразования полей (15.51),(15.52).В подвижной системе S ′ , связанной с зарядом,E′ = er′,r′ 3B ′ ≡ 0.Тогда для электрического поля в точке (x, y) лабораторной системы вмомент времени t имеем:Ex = Ex′ =x′ ′ ′x−VteE (r ) = √,r′1 − V 2 /c2 r′ 3Ey′y′1yeEy = √= ′ E ′ (r′ ) √=√,222222rr1 − V /c1 − V /c1 − V /c ′ 315.9.
Инварианты поля27откуда видно, что вектор E направленвдоль радиус-вектора R√(см. рис. 15.2). Выразив r′ = x′ 2 + y ′ 2 через x, y, t в виде√1V2′r =√(x − V t)2 + (1 − 2 )y 2 ,c1 − V 2 /c2и перейдя к координатам R, ν, для искомого поля получаем выражениеE(R, ν) =e R1 − V 2 /c2√,R2 R ( cos2 ν + (1 − V 2 /c2 ) sin2 ν )3совпадающее с первой из формул (15.31).
Вторая из них (для магнитного поля) в рассматриваемом случае B ′ = 0 у нас уже выписана вцепочке (15.53).В заключение обратим внимание на то ослабление поля ER в 1 −V 2 /c2 раз по сравнению с кулоновым Eкул = e/R2 (на линиях ν = 0, π),о котором говорилось в конце параграфа § 15.5.На первый взгляд данное обстоятельство кажется противоречащимусловию сохранения продольной компоненты E∥ = E∥′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
