1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда из первой формулы(15.6) получаем(1/c)dE(0) /dt′011 dE√P0 = √=, т. е.1 − v 2 /c2 c dt′1 − v 2 /c2dE(0)dE,=′dtdt′0Последующие три формулы дают равенстваdPxv dE(0) dPydPz= 2,= 0,= 0,′′′dtc dt0dtdt′(16.26)48Глава 16. Излучение релятивистских зарядовсоставляющие одно векторное соотношениеdPv dE(0)= 2.dt′c dt′0(16.27)Итак, как мы выяснили, неравномерно движущийся заряд, кромеэнергии, в лабораторной системе отсчета излучает также и импульс,определяемые соотношениями (16.26), (16.27). Представим их в видеследующей пары:dE(0)dE2 e2 w02==,′′dtdt03 c3dPv dE= 2 ′.dt′c dt(16.28)3. Перед тем, как продвинуться дальше, здесь на короткое времяостановимся, чтобы разобраться в названиях, встречающихся в литературе применительно к величине dE/dt′ . Начнем с замечания, что перваяиз формул (16.28), отвечающая излучению энергии, повторяет структуру соотношения (16.22) и отсюда, казалось бы, следует, что dE/dt′ имеет смысл полной интенсивности излучения, представляя собой потоквектора Пойнтинга через соответствующую сферическую поверхность,вычисляемый в момент t приема излучения.
Ниже мы увидим, что этопредположение неверно. Тем не менее в литературе иногда за этой величиной сохраняют обозначение J и название «полная интенсивностьизлучения», неявно оговаривая при этом его отличие от соответствующего потока вектора Пойнтинга. Еще одно название, правда, неудачное— скорость потери энергии частицей на излучение, — с давних пор используется применительно к величине dE/dt′ .
Но это — действительнонеудачное название, поскольку скорость потери энергии на излучение,т. е. механическая энергия, теряемая излучающей частицей за единицувремени, является независимой энергетической характеристикой процесса излучения. Ниже она будет определена и обозначена символом−dEмех /dt′ . В общем случае эти две величины не равны между собой 5 ,т. е. dE/dt′ ̸= −dEмех /dt′ .Устранение фактического отождествления двух названных энергетических характеристик, имеющего место в литературе 6 , существенно упрощает понимание излучения релятивистских зарядов, как будет5 В этом легко убедиться, обратившись к сопутствующей системе, в которой положительная мощность излучения (dE (0) /dt′0 ) = (2/3)e2 w02 /c3 очевидно не можетбыть обеспечена за счет механической энергии частицы, которая здесь минимальна (равна mc2 ), а мощность, развиваемая внешними силами, при нулевой скоростичастицы тождественно равна нулю.6 Краткую библиографию см.
в статье автора (Вестник НГУ, Физика, 2012,вып. 3).16.3. Четырёхвектор энергии-импульса излучения49видно из последующего. А пока отметим, что физической сущностиdE/dt′ отвечает имеющееся в литературе (см., например, книги Гинзбурга В. Л. и Джексона Дж.) название мощность излучения, и мыим будем здесь пользоваться.
Если сформулировать кратко, под этимтермином подразумевается энергия, излучаемая частицей за единицувремени t′ . (Более подробно его смысл обсуждается в § 16.5).4. Как видно из (16.28), мощность излучения есть величина инвариантная, определяемая квадратом собственного ускорения. Излучения энергии и импульса связаны между собой вторым из соотношений(16.28). Для частицы, движущейся со скоростью v и ускорением w,квадрат собственного ускорения, как показано в § 15.2, определяется изинвариантного квадрата 4-вектора wi и выражается формулой (15.13).Следовательно, мощность излучения такой частицы определяется выражениемdE2e2 w2 − [v × w]2 /c2 = 3.(16.29)dt′3c(1 − v 2 /c2 )3 t′Для заряда, движущегося в заданном электромагнитном поле, собственное ускорение w0 определяется непосредственно через электрическое поле E(0) в сопутствующей системе, какeE(0) .mОтсюда, воспользовавшись законами (15.51), (15.52) преобразования продольной и поперечной компонент электрического поля, для w02 получаем([v × B] )222 E⊥ +ee222cw0 = 2 (E(0) ) = 2+E.∥mm 1 − v 2 /c2w0 =Простые преобразования(([v × B] )2[v × B] )2 ([v × B] )2+ E∥2 = E⊥ + E∥ += E+,ccc( v 2 ) ( E · v )2 v 2( E · v )2E∥2 2 ==,2cvccпозволяют результат привести к виду()2 ()2e2 E + [v × B]/c − E · v/c2w0 = 2.(16.30)m1 − v 2 /c2E⊥ +50Глава 16.
Излучение релятивистских зарядовОтсюда для мощности излучения получаем()2 ()2dE2 e4 E + [v × B]/c − E · v/c = ′.dt′3 m2 c 31 − v 2 /c2t(16.31)Следовательно, полное излучение энергии за время пролета частицычерез данное электромагнитное поле определяется интегралом2 e4∆E =3 m2 c3∫∞ (−∞)2 ()2E + [v × B]/c − E · v/c ′ dt′ .1 − v 2 /c2t(16.32)Выражение для полной потери импульса ∆P , как следует из второйформулы (16.28), отличается лишним множителем v/c2 под знаком интеграла.16.4.Угловое распределение излученияДля получения формулы для углового излучения воспользуемся выражениями для полей Лиенара-Вихерта. На большом расстоянии от частицы (в волновой зоне) поле E определяется вторым слагаемым формулы (16.16).
Используя обозначения β = v/c, w = v̇ и раскрыв двойноевекторное произведение, отсюда получаемE =t)e ( (n − β)(nw)w− .c 2 Re(1 − nβ)3(1 − nβ)2 t′Тогда для интенсивности излучения в телесный угол dΩc 2 2E Re dΩ4πрезультат можно привести к видуdJ =e2 {w2(nw)(βw) (1 − β 2 )(nw)2 } dJ =+2− ′ dΩ, (16.33)4πc3 (1 − nβ)4(1 − nβ)5(1 − nβ)6ttв котором все входящие величины n, β, w берутся в ретардированныймомент времени t′ .Заметим, что распределение (16.33) зависит от двух угловых координат, отсчитываемых соответственно от направления скорости v(t′ ) (эту16.4. Угловое распределение излучения51ffmax1f2 maxβ(t’)w(t’)θen(t’)dJdΩRe(t’)t0Рис.
16.5θθθРис. 16.6координату мы обозначим символом θ, как показано на рис. 16.5) и отвектора ускорения w(t′ ). Поэтому в общем случае его анализироватьдовольно сложно. Только в ультрарелятивистском случае 1 − β ≪ 1рассматриваемое распределение принимает характерный вид с резкиммаксимумом в направлении движения частицы с узким интервалом углов 0 < θ < θ0 . (Из выражения (16.33) видно, что при β ≈ 1 максимумдействительно достигается на направлении θ = 0, на котором все знаменатели минимальны.) Для оценки угловой ширины рассматриваемогомаксимума обратимся к функцииf (θ) =11=,1 − nβ1 − β cos θпри значениях β ≈ 1 имеющей вид, схематически показанный на рис.16.6.
Значение угла θ0 , отмеченного на рисунке, при котором функцияf от максимального значения f (0) = fmax = 1/(1 − β) ≫ 1 спадает доего половины, как легко убедиться,7 определяется соотношением√θ0 = 2(1 − β).(16.34)Отсюда имеем, что при увеличении угла θ от 0 до значения θ0 входящая в (16.33) дробь с минимальной степенью уменьшается в 24 = 16раз.
Поэтому понятно, что ультрарелятивистская частица излучает восновном в направлении своего движения в интервал углов 0 ≤ θ < θ0 .7 Для этого необходимо воспользоваться разложением cos θ ≈ 1 − (1/2)θ 2 , спра00ведливым при θ0 ≪ 1.52Глава 16. Излучение релятивистских зарядовЧасто малый параметр 1 − β выражают через релятивистский фактор E/mc2 ,определяемый равенством γ = (1−β 2 )−1/2 . При β ≈ 1 из определения (1−β)(1+β) =1/γ 2 следует1 − β = 1/2γ 2 ,(16.35)так что соотношение (16.34) для предельного угла принимает видθ0 =1.γ(16.36)Обратим внимание, что в частном случае, когда скорость и ускорение частицы направлены вдоль одной прямой, распределение интенсивности (16.33) зависит только от одной угловой координаты θ и сводитсяк простой формулеdJ =e2 w 2sin2 θdΩ,4πc3 (1 − β cos θ)6(16.37)справедливой независимо от того, вдоль или против скорости направлено ускорение. Распределение (16.37) осесимметрично, обращается внуль в направлениях по и против скорости, максимальная интенсивность dJ/dΩ = max достигается при угле 0 < θ∗ < π/2, для которого,как легко убедиться,√1 + 24β 2 − 1cos θ∗ =.(16.38)4βВ зависимости от значения β диаграмма направленности (16.37) (см.рис.
16.7) меняется от чисто дипольной (при β ≪ 1) до остронаправ-vβ << 1θ*vvβ = 0.5(например)β~1Рис. 16.7ленной при β → 1, когда угол θ максимального излучения спадает дозначения81 1θ∗ ≈ √ .5γЗаметим, что перечисленный выше разброс в названиях dE/dt′ является отражением того факта, что в процессе релятивистского обобщения результатов (16.22), (16.23) физический смысл энергетическойхарактеристики излучения dE/dt′ конкретно не выявляется. Её величина для заряда, движущегося с произвольными скоростью v и ускорением w, согласно (16.28) связанная с квадратом собственного ускорения,определяется формулой (16.29).
Но для понимания физического смыславеличины dE/dt′ важно установить её связь с полем излучения заряда.Именно эта связь определяет физический смысл мощности излучения.Выше уже отмечалось, что поток вектора Пойнтинга поля излучения через сферу радиуса Re (t′ ), вычисленный в момент t, не совпадаетс dE/dt′ . Для получения потока энергии, соответствующего мощностиизлучения dE/dt′ , обратим внимание на то, что импульс излучения, испущенный зарядом в течение времени dt′ , через элементповерхности()сферы проходит за промежуток времени (16.7) dt = dt′ 1 − n(t′ ) · β(t′ ) ,отличный от dt′ и зависящий от положения элемента ds.
Поэтому естественно ожидать, что энергия, излученная зарядом за время dt′ , черезповерхность сферы радиуса Re (t′ ) (в волновой зоне) проходит в видепотока энергии∫∫dJ dJdE =dΩdt=(1 − nβ) ′ dΩdt′′dΩ tdΩt(4π)(4π)и, таким образом, мощность излучения выражается интегралом∫ ()dE(dJ/dΩ)t′ 1 − n(t′ ) · β(t′ ) dΩ,(16.39)=′dt(4π)отличным от интенсивности излучения8 Для получения этой оценки левую часть равенства (16.38) заменим на 1−(1/2)θ 2 ,∗а в правой β 2 , β заменим тождественными величинами 1− 1/γ 2 , 1 − (1 − β) и для последней воспользуемся оценкой (16.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
