1612045823-d5aae996d32081bbcbe16d742991f022 (533744), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Мы её здесь выписывать не будем.Сказанным ограничимся относительно распределения поля проходящейволны, получающегося как результат второго приближения геометрической оптики.17.5.Световые лучиОпределение световых лучей как траекторий, ортогональных фазовым поверхностям, и вытекающий отсюда способ их построения с помощью векторного поля grad ψ упоминались в конце §17.2. Таким образом,17.5. Световые лучи87для получения картины световых лучей мы пока нуждаемся в решениинелинейного уравнения в частных производных — уравнения эйконала. Трудность этого пути очевидна.
Но, к счастью, существует метод инепосредственного построения траектории луча — без промежуточногоэтапа в виде решения уравнения эйконала. Для этого используется такназываемое уравнение луча, аналогичное уравнению движения материальной точки в заданном силовом поле.Выводу уравнения луча и граничных условий для него посвященматериал данного параграфа. Но перед этим мы убедимся в важномсвойстве светового луча: в каждой точке пространства его направлениесовпадает с направлением усредненного потока энергии, выражаемоговектором Пойнтинга S = (c/4π)[E × B].Плотность потока энергии в геометрической оптикеИз правила (7.19) вычисления среднего значения произведения в виде < [E × B] >= (1/2)Re[Ê0 × B̂0∗ ], если в нём B̂0 заменить соответствующим выражением из уравнения (17.10) и воспользоваться условиемортогональности (grad ψ · Ê0 ) = 0, для искомой величины получаем< S >=])c 1 [c (Re Ê0 × [grad ψ × Ê0∗ ] =Ê0 (r) · Ê0∗ (r) grad ψ. (17.25)4π 28πВидим, что усредненный вектор Пойнтинга действительно направленвдоль светового луча.Заметим далее, что коэффициент при grad ψ в соотношении (17.25)связан с усредненной плотностью энергии электрического поля, поскольку< We >=)2)ϵ(r) (ϵ(r) 1 (< E(r, t) >=Ê0 (r) · Ê0∗ (r) .8π8π 2(17.26)Соответствующая плотность энергии магнитного поля< Wm >=()211 1< B(r, t) >=| B̂0 (r) |28π8π 2характеризуется той же величиной (17.26), поскольку, как следует изуравнений (17.8), (17.10), | B̂0 (r) |2 = ϵ(r) | Ê0 (r) |2 .
Таким образом,справедливо равенство< Wm >=< We > .Отсюда следует, что суммарная усредненная плотность энергии< W >=< We > + < Wm >=)ϵ(r) (Ê0 (r) · Ê0∗ (r) ,8π88Глава 17. Геометрическая оптикаи плотность потока (17.25) связана с плотностью энергии < W > соотношениемc< S >= < W > grad ψ.(17.27)ϵЕсли, воспользовавшись уравнением эйконала (17.8), grad ψ выразитьчерез введённый ниже единичный вектор u касательной к световомулучу:√(17.28)grad ψ = nu = ϵu,то выражение (17.27) приобретает вид< S >=c< W > u.n(17.29)Следовательно, в приближении геометрической оптики средняя плотность энергии распространяется вдоль луча со скоростью c/n.Уравнение лучаКак уже отмечалось, касательная к световому лучу в каждой точкесовпадает с grad ψ.
Если точку на кривой характеризовать расстояниемu = drdssr(s)лучOРис. 17.3s, измеренным вдоль луча, то единичный вектор касательной (см. рис.17.3) будетdru=(17.30)dsи, как следует из уравнения эйконала, имеемn(r)dr= grad ψ.ds(17.31)Конечно, это ещё не есть уравнение луча, т. к. содержит градиент неизвестной функции ψ(r). Для его исключения надо взять производную отобеих частей полученного соотношенияd ( dr )dn=grad ψ.ds dsds(17.32)17.5. Световые лучи89Имея в виду, что производная по лучу определяется векторным операторомddr= (u · ∇) = (· ∇),dsdsнетрудно показать, что правая часть (17.32) не зависит от ψ и равнаgrad n. Для этого рассмотрим цепочку равенствddr1grad ψ = (· ∇) grad ψ = (grad ψ · ∇) grad ψdsdsnи, воспользовавшись векторным тождеством (a·∇)a = grad(a2 /2)−[a×rot a], её продолжим:1dgrad ψ = grad(grad ψ)2 /2.dsnПодставив сюда уравнение эйконала, получаем требуемый результат1dgrad ψ = grad(n2 /2) = grad n,dsnчто в совокупности с соотношением (17.32) приводит к искомому уравнению лучаd ( dr )n= grad n.(17.33)ds dsУравнение луча и уравнение эйконала являются двумя альтернативными описаниями геометрической оптики.
Уравнение луча более удобно для определения траектории световых лучей в неоднородной среде.При этом его необходимо дополнить условием, которому подчиняетсяединичный вектор u = dr/ds на границе раздела сред с различнымидиэлектрическими проницаемостями.Граничные условияКак следует из соотношения (17.31), поле единичных векторов u(r), характеризующее световой пучок, после умножения на скалярную функцию n(r) становится потенциальным. Следовательно, циркуляция векторного поля nu по любому замкнутому контуру равна нулюIn(u · dl) = 0.(17.34)CИмея в виду, что приближение геометрической оптики применимо лишьдля непрерывно изменяющихся n с характерным масштабом области90Глава 17.
Геометрическая оптикалучи светаϕ1u1τu2ϕ2Cn12n1n 2 поверхностьразделаРис. 17.4изменения L ≫ λ0 , вместо поверхности раздела двух сред будем рассматривать переходный слой, в котором n меняется от n1 до n2 , причемтолщина δ этого слоя удовлетворяет условию λ0 ≪ δ ≪ L.Возьмем плоский контур C (см. рис.
17.4). Продольные стороны этого контура проходят по обе стороны переходного слоя. Пусть плоскостьконтура совпадает с плоскостью, образованной нормалью n12 к границераздела, и единичным вектором u1 касательной к лучу в точке, примыкающей к поверхности раздела со стороны среды n1 . Тогда обычныерассуждения,4 основанные на интегральном соотношении (17.34), приводят к условию непрерывности вектора nuτ при переходе границы.Отсюда следует, во-первых, что вектор u2 лежит в плоскости, образованной векторами u1 , n12 , и, во-вторых, n1 u1τ = n2 u2τ , что равносильносоотношениюn1 sin φ1 = n2 sin φ2 .(17.35)Эти два утверждения составляют закон преломления Снеллиуса.
Раньше, в § 7.8, он был получен для частного случая падения плоской волнына плоскую же границу раздела при произвольной длине волны. Теперьмы показали, что этот закон справедлив для луча при любой форме поверхности раздела, если только радиус поверхности и радиус кривизныволновой поверхности существенно превышают длину волны.Пример. Решение (17.19), ранее полученное с помощью эйконала,теперь воспроизведем непосредственно из уравнения луча (17.33).В рассматриваемом случае это векторное уравнение сводится к двумскалярным уравнениям для функций x(s), y(s)d(dx ) dnn(x)=,dsdsdx4 См.(a)вывод граничного условия для тангенциальных компонент поля E в § 1.8.17.5. Световые лучи91d(dy )n(x)= 0.dsdsНачальными условиями являются:(b)dx(0) = cos φ(0),dsdyy(0) = y0 ,(0) = sin φ(0),dsгде угол преломления φ(0) удовлетворяет закону Снеллиусаx(0) = 0,n(0) sin φ(0) = sin φ0 .(c)(d)(e)Первый интеграл уравнения (b)n(x)dy= C1 ,ds(f )где константа C1 , определяемая из начального условия (d), принимаетзначениеC1 = n(0) sin φ(0) = sin φ0 ,(g)фактически представляет собой соотношение, которое мы уже выписывали в § 17.3 для угла φ(x) в виде n(x0 ) sin(φ(x0 )) = sin φ0 .Воспользуемся первым интегралом (f), чтобы в уравнении (a) от sперейтик другойнезависимой переменной y.
Для этого d/ds заменим()на C1 /n(x) d/dy и уравнение (a) перепишем в видеC1 d (C1 dx ) dnn(x)=, т. е.n(x) dyn(x) dydxC12d2 xdn=n .dy 2dxВ результате получаем уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной y. Существующий стандартный прием его интегрирования мы несколько укоротим: умножим обе части уравнения на2dx/dy и проинтегрируем. В результате получим первый интеграл уравнения (a) в виде( dx )2C12= n2 (x) + C2 ,(h)dyгде C2 — новая произвольная постоянная. Для её вычисления воспользуемся начальными условиями (c), (d), откуда следует, что( dx )2( cos φ(0) )2=.dy x=0sin φ(0)92Глава 17.
Геометрическая оптикаИмея n(0) и значение C1 из (g), для константы получаем значение C2 =− sin2 (φ0 ). При этом первый интеграл (h) запишем как√dysin2 (φ0 )=±.dxn2 (x) − sin2 (φ0 )Выбирая знак «плюс», удовлетворяющий начальным условиям (c),(d),для искомого луча отсюда получаем решение, повторяющее (17.19).17.6.Примеры применения уравнения лучаВернёмся к уравнению луча (17.33)d ( dr )n= grad n,ds dsкоторое напоминает уравнение движения частицы в потенциальном силовом поле.
Роль силы f = − grad U здесь играет градиент показателяпреломления.Исследование траекторий луча с помощью этого уравнения в конкретных задачах часто осуществляется путем компьютерного моделирования. Мы здесь ограничимся рассмотрением нескольких простыхчастных случаев, представляющих, тем не менее, физический интерес.1. Начнём с простейшего случая однородной среды n = const .
Приэтом уравнение луча сводится к d2 r/ds2 = 0 и имеет общее решениеr(s) = a + bs,a, b − постоянные.Этому решению соответствует прямолинейный луч (см. рис. 17.5), проходящий через точку с радиус-вектором r(0) = a и параллельный векsbлучaO (началокоординат)Рис. 17.517.6. Примеры применения уравнения луча93тору ṙ(0) = b. Из геометрического смысла переменной s очевидно, чтоb — единичный вектор, т. е. | b |= 1.2. Случай сферически симметричного распределения n(r), r — расстояние от начала координат. Полное решение уравнения луча для данного случая мы не будем строить.
Получим только первый интегралэтого уравнения, аналогичный моменту импульса в механике точки дляслучая центральных сил. Для этого уравнение (17.33) векторно умножим на r, обратив внимание, что в рассматриваемом случае grad n ∼ rи [r × grad n] = 0. Дополнив левую часть полученного равенства[r ×d(nu)] = 0dsтождественно равным нулю слагаемым [dr/ds × nu], в результате придем к искомому соотношениюd[r × nu] = 0,dsэквивалентному закону сохраненияΛ = [r × nu] = constвекторной величины Λ вдоль луча, где u — единичный вектор касательной к нему (см.
(17.30)). Из неизменности направления Λ вдоль лучаследует, что все лучи лежат в плоскостях, проходящих через началокоординат (центр симметрии). А постоянство величины Λ означает,что для каждого луча справедливо условиеn(r)r sin φ = nd = const,где d — перпендикуляр, опущенный из начала координат на направление касательной к лучу (см. рис. 17.6). Отсюда следует, что если n увеличивается при приближении к центру симметрии, то для сохраненияпроизведения nd неизменным необходимо, чтобы множитель d уменьшался. Следовательно, луч должен искривляться в сторону центра, какизображено на рисунке.Это соотношение позволяет объяснить явление астрономической рефракции, обусловленной тем, что плотность земной атмосферы и, следовательно, её показатель преломления убывают с высотой (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
