1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 60
Текст из файла (страница 60)
г (р) г (т — р) ) 340 Поскольку ~~„— 1~ ((г)" = (! — (г) а=о то из последней формулы и следует (3). Заметим, что правая часть формулы (3) является аналитической функцией переменной г во всей плоскости с разрезом по лучу (1, оо). Следовательно, формула (3) дает аналитическое продолжение гипергеометрической функ- ции на всю плоскость с разрезом по лучу (1, оо).
7. Функции Р (а, у, г) = !пп Р (а, (1, у, г)р) называются в=+ вырожденными гипергеомегиричеекими функциями. Подставляя в уравнение (1) г)р вместо г и переходя затем к пределу при р — оо, получим уравнение, решением которого являются вырожденные еииергеомегиричеекие функции гоп" + (у — г) ш' — аш = О. Совершая такую же процедуру в ряде (2), получим представление Р (а, у, г) степенным рядом я Р(а, у, г)= — у — га, %'ч (а)а ) я! (т)е а=о который сходится всюду. Очевидно, — Р(а, у, г) г— е ( ' Р(а+й, у+)с, г), 1=1, 2, вга ' ' = (у)а Так же, как и для Р (а, р, у, г), получается интегральное пред- ставление для Р (а, у, г): 1 Г(у) ( св(а — ! (! т — а — ! ~1 Г(а) Г(у — а) ) о 8.
Через вырожденные гипергеометрические функции выра. жаются многие функции. Например, Н,„(г) = ( — 1)" —, Р ( — и, —, г' 1, „ (2л)! г ! Н,„„(г) = ( — 1)" — ' 2гР ~ — п, —,, г' 1, о (2л+1)! l 3 ох л! (, ' 2' г'' А„"(г)=, "Р( — и, а+1, г), 1„(г)=(2) 1, ! Р(ч+ 2 2о+1, 2ег) ( ) 2)' ~'(~)=(2) Г(+!)Р( + 2' 2 +! 2~) )' е) Более подробаые сведения о гипергеометрических функциях читатель найдет в книге: Л е б ед е в Н. П. Специальные функции и их приложения.— Мл Физматгиз, 1963. Дополнение [[ОНЯТИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. б-ФУНКЦИЯ 1.
Мы введем понятие обобщенных функций методом, аналогичным методу введения действительных чисел с помощью последовательностей рациональных чисел. Введение действительных чисел имеет целью выполнимость таких операций, как извлечение корня и взятие логарифма. Введение обобщенных функций имеет целью сделать всегда выполнимой операцию диффер е н ц и р о в а н и я. Последовательность рациональных чисел (а») называется фундаментальной, если для любого рационального е ) О существует такое пь, что для в с е х пит)пь [ ໠— ат [( г.
Фундаментальные последовательности (ап) н (Ь„) называются эквивалентными, если 1)гп [ ໠— Ь„[ = О Эквивалентные последовательности определяют действительное число. Представителем этого числа является любая из эквивалентных последовательностей. 2. При определении обобщенных функций мы за исходные возьмем непрерывные функции, определенные в интервале (А, В), — оо( А с. В ь-со. Последовательность ()„(хЦ непрерывных на (А, В) функций называется фундаментальной нз (А, В), если существуют целое число й ) О и другая последовательность непрерывных на (А, В) функций (Р„(хЦ такие, что выполняются следующие два свойства: 1) Р„'"' ( ) = („ ( ); 2) последовательность (Р» (хЦ равномерно сходится на всяком отрезке [а, ~1 С (А, В) (Р» (х) -' ). Из определения фуйдаментальной последовательности следует Т е о р е и а 1.
Если последовательность неприрывных на (А, В) функций ()» (хЦ равномерно сходатся на всяком отрезкг [а, В[ с (А, В), то она фундаментальна. В самом деле, здесь Ь» (х) и 1» (х) и й = О. Т е о р е и а 2. Если ([» (хЦ вЂ” фундаментальнал последовательность функций, обладаюи(их непрерывными производнво|и гп-го порлдка 11т1 (х), то последовательность [)~1т) (х) ) также является фундаментальной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для [1» (хЦ существуют число й ) О и последовательность (Е» (хЦ, обладающие свойствами 1) и 2). Для [[~1~1 (х)) вместо й берем й+ т и ту же последовательность (Р» (хЦ. Они, очевидно, обладают свойствами 1) и 2).
Следовательно, [(~~т>(х)) — фундаментальная последовательностьть. Последовательность функций( (1» (хЦ называется равномерно ограниченной на (А, В), если существует такое числоМ, что [1» (х) [ ( М для всех п и для всех х еи (А, В).
Т е о р е м а 3. Если последовательность непрерывных на (А, В) функций равномерно ограничена на (А, В) и .равномерно сходится на всяком отрезке [а, [)) с (А, хь) и на всяком отрезке [и, р) с (хь, В), то она фундаяентальна на (А, В). 342 >е.ы — е.~е>= [ая-ь~+ к, к 6 «1 ~!(,(и -( (~) ! )г «) ! [„П) — [„(г)[61= !к, а 3 хе —— бМ к„+— е бм ! Ь вЂ” )пе [61 6 ]Ь-(.! )Г-] ~  л, е l е х з ! Вп (х) — Ва (к)! ( 3 ([) — а) [, 6М ) 3 [хе — — — а) + — + е / е + З(6 а) (, 6М ) Пусть [а, [3] С (А, х,).
Тогда ке ! Г. (х) — Е (х) ! ) ! Ь ( — /ю (Г) ! а = а е ке 4М к, — [Р. (1)--[. (1)[Аг+ ~ [[„(1)-(„(1)]61. е к,—— 4М По условпю теоремы последовательность ([и (1)) равномерно сходится на отрезке ' 1., а, 'х„— — '1 . Следовательно, существует лб (е) такое, что для п, гп) лр (е) 4М 1' е [[ (П вЂ” ( (П]( й(, Здесь хе ~ (А, В). Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем в качестве гп (х) интеграл гп (х) =. = ) ( и (1) й, а й = 1.
Тогда свойство 1), очевидно, будет выполнено. Докажем хе справедливость свойства 2). Возьмем е ) 0 и [а, К ~ (А, В). Пусть А < а ( (хб(р(В. По условию !)п(Г)!«М. Нам надо доказать равномерную сходимость последовательности (Вп (х)) на отрезке [а, !)]. Следовательно, надо рассматривать х ~ [а, 6]. Для таких х имеем на отрезке [а, ке — — (. поэтом> для и, т) пэ (е) и х ~ [44 [)) 4М 1 Ф е е ~да(х) — Рм(х) ~< — — —.)+ 2 (хе — М) [, 4М х, е е [[„(1) — [ (Г) ~ и< — +2М вЂ” =е. 2 4М к,—— 4М Если [а, [) [ 4: (хэ, В), то аналогично получаем р [ Е.
(х) — Р„(х) [~ 1 [ [и (1) — [м (1) [ А1 =- к, е хк+— 4М )(„(1) — 1„,(1)1А1+ ~ [(„(1) 1 (1)[ВГ< е ха+в 4М <2М вЂ” + ([) — хо — — 1<в. 4М 2 ([) — хе) 4М ) Следовательно, последовательность (Ра (х)) равномерно сходится на всяком отрезке [44, 6) < (А, В). Таким образом, свойство 2) выполняется. Теорема до. казана.
Рис. 46. Рис. 47. 3 а м е ч а н и е. Если последовательность ([а (х)) фундаментальная, то [ к - »([Ьэк) 4( -. - -. к, П р н и е р 1. Рассмотрим последовательность функпий (яа (х)): 1 ьн (х) = Š— ак и интервал ( — оо, со) (рпс. 46). Эта последовательность равномерно ограничена числом 1. На всяком отрезке [м, [)[ С ( †, 0) опа равномерно сходится к нулю. На всяком отрезке [44, [)[ 4 (О,оо) она равномерно сходится к единице. Таким образом, выполняются условия теоремы 3. Следовательно, последовательность (йа (х)) фундаментальна. П р и м е р 2. Рассмотрим последовательность функций ([„ (х)); (.
» ==- ~уе — " -"'" л интервал ( †, оо) (рнс. 47). На всяком отрезке [а, [)[ ~ ( — оо, 0) или [а, 6[ ~ (О, оо) эта последовательность равномерно сходится к нулю. Однако она не является равномерно ограниченной. Последовательность функций (Ря (х)), к где Р„(х) =- ~ /„(/) б/, также равномерно сходится на всяком отрезке [и, [)[, принадлежащем интервалам ( — со, 0) или (О, оо), и равномерно ограничена (числом 1) на интервале ( — оо, со). Следовательно, по теореме 3 она фундаментальна.
А тогда по теореме 2 последовательность (/„(/Ц также фундаментальна. П р и и е р 3. Рассмотрим последовательность функций (фа (х)), где ~р~(х) — кусочно-линейная непрерывная функция, равная нулю вне интервала ( — 1/л, !/л) (рис. 48). На всяком отрезке [и, [)[, принадлежащем интервалам л Рис.
48. Рис. 49. ( — оо, 0) или (О, оо), ана равномерно сходится к нулю. Однако она не является равномерно ограниченной. Последовательность функций (Фз (х)), Фя (х) = к ( ф„(/) б/, также равномерно сходится на всяком отрезке [и, 3), принадле- О жащем интервалам ( — оо, 0) или (О, оо), и равномерно ограничена (числом !) на интервале ( †, ао). Следовательно, по теореме 3 она фундаментальна.
А тогда цо теореме 2 последовательность (у» (х)) также фундаментальна. П р и и е р 4. Рассмотрим последовательность функций (ф„ (х)): 1/(. )[ (1/л)Я -1- х' и интервал ( — оо, оо) (рис. 49). Поскольку последовательность функций (Ч', (х)), к где Ч'в (х) = ( фа(/) й/, удовлетворяет условиям теоремы 3, она фундаментальна. ОО Следовательно, по теореме 2 фундаментальна и последовательность (ф, (х)). 3. Две фундаментальные последовательности (/„(х)) и (д» (х)) называются эхзиваленщными, (/„(х)) — (дн (х)), если существуют целое число й рв 0 и две другие последовательности (Р„(х)), (Ов (х)) такие, что 1) Р!"> (х) = /„(х), 0~"> (х) .=4в(х); 2) на всяком отрезке [сз, [) [ с: (А, В) последовательность (Р„(х) — 0„(х)) равномерно сходится к нулю: Рв (х) — Оа (х):4 О.
Так, последовательности примеров 2, 3, 4 эквивалентны друг другу. Они эквивалентны также последовательности (у! (х)) (пример 1). Оп р ед елен не. Каждый класс эквивалентных фундаментальных последовательностей определяет обобщенную функцию / (х), представителем которой является любая из последовательностей этого класса.
Мы будем также говорить, чта фундаментальная последовательность (/и (х)) определяет обобщенную функцию /(х), и писать: / (х) и (/в (х)). Так, последовательность (у„(хЦ (пример !) определяет единичную функцию ч()=(,' Следовательно, единичная функция Ч (х) является обобщенной функцией. 345 В силу леммы на стр. 348 и теоремы ! всякая непрерывная на (А, В) функ. ция также является обобщенной функцией. Последовательности [й„' (х) [, [)„(х) [, [ф„(х) [, [ф„(х) [ примеров ! — 4 определяют обобщенную функцию 6 (х) (с особенностью и точке х = — 0), которая называется 6-фунхцией Дираха.
Очевидно, 6-функции 6 (х) является четвой функцией 6 ( — х) = 6 (х). 4. Линейной комбинацией а! + рф (а и [) — постоянные) двух обобщенных функций !'(х) и ф (х), определяемых фундаментальными последовательностями (го (х)) и (гр„(х)), называется обобщенная функция г" (х), определяемая фундаментальной последовательностью (аде (х) + [)фя (х)). В частности, сумма и разность двух обобщенных функций ! (х) и ф (х) есть также обобщенвая функция. Произведением обобщенной функции д) (х — хе) (т.
е. единичной функции) на непрерывную на отрезке [а, Ь) функцию ф (х), ц (х — х,) ф (х), будем называть обобщенную функцию, определяемудо фундаментальной последовательностью (йи (х — хе) ф (х)), где йп (х) — функции примера 1, а р(Ь), х>Ь, ф (х) = ф (х), а ( х ( Ь, ф (а), х(а. Очевидно ( ф (х), х > хе, ц (х — хе) ф (х) = ~ ~ О, в<хе. Произвольную кусочно-непрерывную на [а, Ь] функцию ф (х) с точками разрыва хд, х, ..., хь (а (хд(хз (... (ха ( Ь) можно записать в виде чР (х) = (д) (х — а) — д) (х — хд)] фе (х) + ° .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
