1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 61
Текст из файла (страница 61)
° + [д) (х — х,.) — т!(х — х,. )] ф,. (х) + ° ° ° + [д) (х — х ) — д) (х — Ь)] ф„ (х), где ф (хыд), х > х; д (! = О, 1, 2,..., Ь), ф, (х) = р (х), х; ( х -=' хьы хэ =- а, ха+! -†- Ь, ф (х;), х ( хд фд (х) — непрерывные на всей прямой ( — оо, оо) функции. Их произведения на единичные функции ц (х — х!) суть обобщенные функции. Следовательно, произвольная кусочно-непрерывная функция есть линейная комбинация обобщенных функций и потому также является обобщенной функцией. б. Пусть (е„) — последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю. О п р е д е л е н и е.
Последовательность непрерывных функций (6 (х)) называется 6.последовательностью, если эти функции облададот следующими свойствами: а) бп (х) > 0 в интервале ( — е„, еп) и равна нулю вне его; б) 6п (х) имеет всюду производные всех порядков; ОР в) ~ 6„(!) й! = 1. Приведем пример 6-последовательности. Определим функцию а (х) следующим образом: е ох, х>0, а (х) = О, х<0.
Эта функция имеет производные всех порядков. Функция йн (х) = а (х-1-еп) а (ея — х) 346 положительна на интервале ( — ел, е„), равна нулю вне его н имеет производные всех порядков. Пусть оо Тогда 1 бл (1) дг =. 1. Следовательно, последовательность (Д„(х)/[бл]) есть б-последовательность. Т е о р е и а 4.
Всякая б-последовательность фундаментальна. До к а з а те я ь с т в о. Последовательность функций х у„(х) = ~ бл(1) Ж вЂ” О равномерно ограничена, так как 0 ( у (х) ( 1, и на всяком отрезке [а, [)], не содержащем точку к = О, равномерно сходится к нулю, если [а, [) ] С ( — со, 0), и к единице, если [а, 6) С (О, оо). В самом деле, в первом случае ([а, р] с- С ( — со, 0)) найдется такое л„что для всех л > ло имеем ел(] б[.
Следова- тельно, отрезок [а, ()] будет лежать левее всех интервалов ( — в„, в„), л ) ло. Поэтому все функции бл (х) с л > л, будут равны нулю на [а, К. Отсюда сле- дует, что у„(х) ы 0 на [а, б] для л > ло. Во втором случае ([а, [)] ~ (О, со)) найдется такое ло, что для всех л > ло имеем ен (а. Следовательно, отрезок [сс, [)] будет лежать правее всех интервалов ( — в„, е ), л > ло. Поэтому для х~ы [а, б] и л>ло х эл 7л (х) = ~ бл (1) дг=- ~~ бл (1) с(1= 1. — Ю -е п Таким образом, мы находимся в условиях применимости теоремы 3, согласно которой последовательность (ул (х)) фундаментальна.
А тогда по теореме 2 последовательность (бл (х)) также фундаментальна. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Очевидно, какова бы ни была константа С, последователь- ности (Сбл (х)) также фундаментальны. Легко показать, что все 6-последовательности эквивалентны друг другу и последовательностям примеров 2 — 4 о).
Следовательно, всякая 6-последова- тельность (бл (х)) определяет 6-функцию б (х); 6-последовательность (6„(х — хо)) определяет б-функцию 6 (х — х,). Многомерные 6-последовательности определяются аналогично. Например, 6-последовательность в трехмерном пространстве определяется как последова- тельность вида (6„(х) бл (у).6„(г)), составленная из произведений 6„(х) 6„(у) 6„(г), а 6-функция в трехмерном пространстве определяется б-последовательностями такого вида. Поэтому, по самому определению, 6 (М) = 6 (х) 6 (у).6 (г) и 6(М, Мо) =- (бл (х — хо) бл (у — у,) бл (г — го)) =-6 (х — хо) 6(у — уо) 6 (г — го). Здесь х, у, г — координаты точки М, хо, уо, го — координаты точки М,.
Выше мы показали, что последовательности (Або (х — хо)) фундаментальны. Можно доказать более общее утверждение: какова бы ни была функция ор (х), непрерывная в окрестности 0 (х ) точки х = хо, последовательность (~р (х) Х Х 6„(х — х,)) фундаментальна на О (хо) и вкеивалентна последовательности (ор (хо) бл (х — хо)). ') Читателю рекомендуется провести доказательство этого утверждения самостоятельно. До к аз а тельство.
Рассмотрим функции Рп (х) = ~ ф (Г) 6» (à — ха) йт Фп (х) = ~ ф(ха) 6» (à — ха) йГ Очевидно, Р„' (х) = ф (х) 6„(х — х ), Ф;, (х) = ф (хо) 6„(х — х ) для всех точек окрестности О (хо). Для всякого е ) 0 найдется такое по (е), что [ф(х) — ф(хо) 1(е для х Е (хо — еп, хо+в») и и) по. Тогда для всякого х ои О (ха) и для и ) по х >».с» — о.с» — -! [Иоо> — ос*,цо.о — *ои/~ х ~ ( ф (Г) — ф (ха) [ Ьп (à — хо) йт ~ "о+а» хо+оп ( ф (г) — ф (ха) [ 6» (г — х,) йг < е ) 6» (г — х,) йг = е, хо — „ оа оп т. е. ! Рп (х) — Фп (х)( ( е. Так как последовательность (Фп (х)) равномерно сходится (Фп (х) = ф (хо) Х Х уп (х — ха) (см. доказательство теоремы 4), то и последовательность (Рп (х)) равномерно сходится на всяком отрезке [со, [)1 г О (хо). Отсюда и из неравенства (1) следует, что последовательность (ф (х) 6» (х — ха)) фундаментальна на О (х ) и эквивалентна последовательности (ф (хо) бп (х — хо)).
Произведением непрерывной в окрестности точки х = хо функции ф (х) на 6-функцию 6 (х — ха) будем называть обобщенную функцию ф (х) 6 (х — хо), определяемую фундамейтальной последовательностью (ф (х) 6» (х — ха)). Доказанное выше утверждение означает, что ф (х) 6 (х — ха) = ф (хо) 6 (х — ха). б. Т е о р е м а 5. Среди ькеивалентных фундаментальньгх последовательностей, определяющих обобщенную функцию 1(х), имеются фундаментальные последовательности дифференцируемых функций (полиномов1).
Докажем сначала лемму. Л е и м а. Для любой непрерывной на (А, В) функции Р (х) существует последовательность полиномов 1Р» (х)), которая равномерно сходится к Р (х) на встюм отрезке [и, [)) г (А, В). Д о к'а з а т е л ь с т в о. Пусть (Ап) — убывающая последовательность чисел, сходящаяся к А, (В») — возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к В. По теореме Вейерштрасса существует такой полинам Р, (х), что 1Р (х) — Р» (х)1( 1/и для всех точек х отрезка [Ап, Вп). Последовательность таких полиномов обладает указанным в лемме свойством.
Действительно, каковы бы ни были положительное число е и отрезок 1и, 6) г: (А, В), найдется такое целое положительное число по, что для всех п > па — (а и [и, 6) г- [Ап, Вп[. 1 и Тогда по самому выбору полиномов Рп (х) для всех и > пь и для всех х щ [а, ])[ будет выполняться неравенство 1 ! Р„(х) — Р (х) ! < — < г, означающее равномерную сходимость последовательности (Р, (хЦ к функции Р(х) на отрезке [а, [)].
Лемма доказана. Д о к аз а тел ь ство теоремы. Пусть ()и (хЦ вЂ” фундаментальная последовательность, определяющая обобщенную функцию г' (х). Тогда по определению фундаментальной последовательности существуют целое число й > 0 и сходящаяся на (А, В) к некоторой функции Р (х) последовательность нейре. рывных функций (Р„(хЦ такие, что Функция Р (х) непрерывна на (А, В), так как последовательность (Р„(хЦ равномерно сходится к Р (х) на всяком отрезке [а, б] < (А, В). По лемме существует последовательность полиномов (Рп (хЦ, равномерно сходящаяся к Р (х) на всяком отрезке [а, 6] <: (А, В). Поэтому согласно определению эквивалентных фундаментальных последовательностей последовательность полиномов ]рп (х) [, где рп (х) = Р1Ь! (х), будет фундаментальной последовательностью, эквивалентной последовательности ([„ (хЦ.
Теорема доказана. Таким образом, мы всегда можем считать, что обобщенная функция [(х) определяется фундаментальной последовательностью дифференцируемых функций (!'и (хЦ. О п р е д е л е н и е. Производной пьго порядки обобщенной функции [ (х) и : — ([и (хЦ называется обобщенная функция определяемая фундаментальной последовательностью производных гп-го порядка [[!т! (х)], Так, в частности, б-функция б (х) имеет производные всех порядков, Например, 6'(х) определяется фундаментальной последовательностью ]6„'(х)], Производная единичной функции ц (х) есть обобщенная функция, равная 6 (х): ц' (х) = 6 (х), так как последовательность ]йп] примера 1 эквивалентна последовательности (!'и (хЦ примера 2, определяющей 6-функцию.
Следовательно, мы можем написать, что Ч(х)= ~ б(!)Ж. 7. Интегралом произведения 6-функции 6 (х — х ) ни произвольную непре рмвную функцию ф (х): ь ~ ю (х) 6 (х — хь) дх а мы будем называть предел ь !пп ~ ф(х) бп(х — хь)йх> и 349 где (б„(х — хо)] — любая б-последовательность, определяющая 6-функцию 6 (х — хо). Покажем, что этот предел существует и что справедлива формула *) ь б ( <р (х,), если хо Е (а, Ь), ф(х) 6(х — хо) 0х=~ ( О, если хо Ф [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
