1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 63
Текст из файла (страница 63)
х6 (х) = О, ф (х) 6 (х) = ф (О) 6 (х), ф (а ~ х) 6 (х) = ф (а) 6 (х). 5. ~ ф (х) 6 (х . хо! ~!х — ф (хо). б. ~ 6 (х — !) 6 (з — Г) г)Г = 6 (х — з). 7. 6' (х) = — 6 (х). — 1 х оо 8. ) ф(х)6'(х — хо)дх —. — ф'(хо), если ф'(х) непрерывна при в==хо 9. ~ 6' (х — !) 6 (з — Г) М = 6' (х — з). Ю о(е „п) 1О. — 6(х) = — ( — 1)н — „6 (х). ! л х" дч 11, ~ ф (х) — 6(х.— з) г(х= ( — 1)"ф~ч! (з), если фрм (х) непрерывна дхи при х=з.
12. Ц ) ф (М) 6 (М, Мо) дтм == ф (Мо) !3. Фурье. преобразование б-функции б (х — хо) имеет вид ОО 6(6)= — ) 6(х — хо)е дх= — е 1 Г гзх ! гзх. Р 2п Р' 2п следовательно, Ю 6 (х — хо) = — ~ 6 (Р) е !йода 1 ~ е 4!х х,! доь СЮ о) Г ел ь фа н д И. М., Ш илов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними.
— Мл Физматгиа, изд. 2-е, 1959; Ми куси н с к и й Я., С и к о р с к и й Р. Элементарная теория обобщенных функций, вып. 11.— Мл ИЛ, 1963. Длв трехмерного случая 6 (М Ме) =- — ~ ) ~ ~ е Г 14 12-221+ ч (а 8 > + ь (2-22>)лх8,( лег 'х 2п/ Π— е Гв 12 221 8($ ( 2 Гч (Р Р 18( ~ 8 ГС 12 221 (~ 2м 3 = 6 (х — 22) . 6 (У вЂ” уе) 6 (8 — 28), Таким образом, 6 (М, Ме) = 6 (х — хе) 6 (у уе) 6 (а ае) в декартовых координатах. 1 14.
6 (М, Ме) = — 6 (à — Ге) 6 (~р — ~ре) в полярных коордиватах на пло- Г скости. 1 1 16 6 (М, Ме) = — 6 (à — Ге) —.6 (9 — 98) 6 (<р — 8ре) в сферических Ге ' 51П 9 координатах. 19. 6 (М, М,) (У' У() ('1" 48) (Уе "8 в произвольных орто- 61'68'68 гональиых криволинейных координатах (ут, де„уз). Здесь Ьх "8 "2 — козффицненты Лама. Встречаются также обобщенные функции 6+(х) и 6 (х), которые мы определим формально с помощью представления 6 (х) = — ~ е 812 д6, е (х) — ( е 182 Дх — 1 2852 Д6 Ю о Очевидно, 62 (х) + 6 (х) = 6 (х) и 6„( — х) = 6 (х). 122 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ") Глаза Е и=о еи1+тч, р=- — 0,25,т = — о — (С =у — Зх, т) = у — х); в) о +о чч — 1 5о = О, и = о е В н ($ = 2у — х, т) = х).
Глаза П. 1. а и„„ + у = итт, и (х, 0) = О, ит (х, 0) = оз, и (О, 1) = и„ (1, 1) = О. 2. азиях — Вит = итт, и (х, 0) = ф (х), ит (х, 0) = фт(х); и (О, 1) = и (1, 1)=0. д 3. — (Е Я.ихх) = рдитт, и (х, 0) = ф(х), ит(х, 0) =фа(х); атих(0, 1)— дх — Вти(0, 1) =О, итие(1 1) +()зи(1, 1) = О. 4.
— [(1 — х) и„] = — итт, д 1 дх у ,(х); и(0, 1) =-О, ]и(1, 1)[.='М. и (х, 0) = ф (х), ит (х, 0) = ф д 6. у — К1 — х) их] + шзи = итт, дх дополнительные условия задачи 4. д 6. ета — [((а — хз) и ] = ритт, дополнительные условия задачи 4. дх х 7. а Вхх= Вн, В(х, 0) =-ф(х), Вт (х, 0) =-трд(х); 6(0, 1) = 6(1, С) =О.
В. ати„„+ — 1(1) =ити и(х, 0) =ит(х, 0) =0; и(0, 1) =и(1, 1) =О, Н ср с — скорость света. «) Ббльшая часть задач заимствована из [2] н [16] (см. Литературу в конце книги). 356 1. а) и„— 0,5 — и =0 (С=-ху, т)= — 71; б) тти — и — и„=О 1 у т $ у 0,5 (я=уз,т)=хз); в) и„=О (я= —, т)=у)', г) и + — '(и1 — и)= х' ) ч 6 — т) =0 в области у <О (6=х+2]à — у, т)=х — 2]à — у); би =0 в области у)0 (6=х, Ч=2]Гу). 2. а) — 2о =О, и=озв11тч, 1 )т=1,1875, о=025 (В=у — х, т)=у+х); б) о + — о=О, 32 (и (х, 1), х~О, 9.
и (х, 1) = Ю а (и,) „ = (и,)„ (1 = 1, 2); и (х, 0) (( ие (х, 1), х ) О, г Ед = Р(х), ию(х, 0) =юуд (х); аю — — — (ю = 1, 2); и,(0, 1) = иа(0, 1), Рю Едид„(0, ю) = Еаид„(0, 1). 10. Ти„„= [р+ теб(х — хе)1июю, и(х, 0) = юр (х), ию (х, 0) = юрд (х); и(0, г) = и (1, 1) = О. Илн (ид(х, Ю), х~ хе, и(х, 1) =ю ' ' ае(ию)да= (ию)ы (ю = 1, 2), ( ид (х, 1), х ) хе, и(х, 0) = юр(х), ию (х, 0) = юрд (х); ид (О, Ю) = О, иа (1, 1) = 0; ид (х,, 1) = иа (хе, 1), Т (аа„(хе, 1) — идх (хе, 1) ] = теин (хв 1).
11. ти„„+ Р (1) 6 (х — оег) = риюю, и (х, 0) = ию (х, 0) = О. 12. о„+ +Ь )ю+й 1=0, ю„+С од+Ос=О; о(х, 0) = — юр(х), ю'(х, 0)- — юрд(х). 13. ох + Е 11 = О, (дх + С ою = 0; о (х, 0) = юр (х), ю' (х, 0) = юр, (х); — о (О, ю) = = йе)(0, 1), сеою (1, 1) = ю'(1, 1). 14. ох+ Л гю = О, юх+ Сою = 0; о(х, 0) = р (х), ю (х, О) = юрд (х); — о(0, 0 = ЕОЯ!ю (О, О, о(1, ю) — Е(0 =Ее! )ю'ю(1,1).
(од(х, 1), х(0, (ю,(х, 1), х(0, 15. о (х, 1) = ! ', ' ' 1(х, 1) = ~, (оа)х + (од(х,,'1), х)0, (ю,(х, Ю), х)0; + 1 а (1и) ю + йа 1а = 0 (юь)х + Са (их) ю = О, о (х, 0) = юр (х), 1 (х, 0) =- юр, (х), ! юд(0, 1) = юг(0, 1), от(0, 1) — одю(0, Ю) = — 1,(0, Ю) (2 = 1, 2). ДлЯ силы се тока 1(х, 1): (юь)и =.СаЕа(юа)юг+ Сайа!а: гд(0 1) =1д(0 Ю); ! 1, ! — 1,„(о, 1) — — 1,„(о, ю) = — 1,(о, ю); С „' С ' С й,юр (х) — юр,' (х) юа (х, 0) = юр (х), 1аю (х, 0) =- Ее 10. )г 脄— й (и — юр (1) ) = ори,; и (х, 0) =-.
1 (х); и (О, 1) = )д (1), ли„(1, 1) р 4(1). 17. Юг.ихи — )Юи-(-ЮО! = григ, и(Х, О) =1(Х), йи„(0, 1) =Си!(0, 1), д йи„(1, 1) = С,ию (1, 1), гле Сд, С, — теплоемкости клемм. 13. — „(Ви„)— д ' д д дх (о'и) сию' !9' а) дх (Ои„) — Ри = сию' б) дх (Ею их) + ююи = сиг. ( ид (х, 1), х ( О, 20. и (х, Ю) = ~ аю (ию)х» — — (ию)ю и (х, 0) = юр (х); ид(0, 1) = иа (О, 1); а) лапах (О, Ю) — йдид„(0, 1) = 0; б) Ааидх(0, 1) — адидх(0, 1) = Сеид(0, 1). д д 21. д (Аих) = срию, 'и (х, О) = 0; и (ою, 1) = юр(1).
22. д (lги„) + Яд(х— — оег) = срию', и (х, 0) =- юр(х). 23. а иаа — й (и — ие) = ию! и (О, 0) = юр (О); юг и(0+2п, ю) =и(0, 1); 0 — полярный угол, а'= —, й — радиус кольца. срйа ' 357 д сз дзЕ . дН сг дсН 24. — Е =- — —; — = —, где с — скорость света, дг 4иор дР ' д( 4п<гр дйз и — проводимость среды, р — магнитная пронйцаемость, 5 — расстояние, отсчитываемое от фиксированной плоскости, Е = — Е (с, 1), Н = Н ($, 1). 25. а) Аи =- — 4ир; б) Ли = О.
Глава Ш. 1. См. рис. 50. У к а з а и и е. Воспользоваться формулой Даламбера. 1 2. См. рис. 51. 3. и (х, 1) = — (г (х+ аг) — и (х — аг)), где О, г( — с, оа (7 + с), — с(г~(с, 2оас, г ) с. 4. См. рис. 52, 5. и(х, г) = — (Г(х+ аг) — Е(х — аг)), где 1 2а Р (г) =- — (11 (г — ха) — т( (г + ха)) Р р Указание. Решить задачу; авив„= иы и (О, 1) = 0; и(х,О) =О, иг (х, 0) =- — (х — ха), 0 -х(оо. Р Р и" - с бс б с 'с Зс О с 'с Зс Рис.
50. -4с -Лс -'с -с П с гс Ус сс Рис. 51. гр с бс бс рс,б' с "с Яс сс бс бс бьб Рис. 52 6. Для — оо( х ч 0 имеем и,(х, 1) =((à — — )+ )(Г+ — ); х т У" РтЕт — )г РзЕз г х пт ) )/РгЕ 1 )/'РаЕ 'ь ат ) ' преломленная волна: *(, В= '~'"' ((1 — — '), ) ГргЕг + )ГраЕз из отраженная волна.' Р Р,Е1 — )'рсЕс и«ер = — С '( С -(- — ) > )"Р1Е1 -(- )/Р Ес т, ас С' и«тр отсутствует при р,Е, = Р,Е, у, Уол к =ее )с ! е "; р(х, с)=е«е Уонкт1'(х — ас),О<х,с<;!(, з/ б "Ч(х — аС).
8, и(х, С) — О и(х С) и(х !) и(к, С,) м и(х, О). 2 2 «+«4 "о 2 Т ~ "(В) с(% — а!< х<о,С, 2аТ« е О, х) «С, 9. и!(х, С)= «с-к «4 а — ою 2 2 ис (х, С) 2аТ« Р ($) М, п«С « «С, с О, х) ас, Те — начальное натяжение струны. ! = 11. УЕС 1О. и(х, С) =с)(С вЂ” — )у (С вЂ” — ), )(х, с) 2/' С вЂ” а 1сс- — ") ! ! .2/ С = с) (С вЂ” — ) 'к' )/ — е , гдеа=, а =— )/ ЕС Се д С ос ! Я« д с о, ч 12. Я (М, С) = Я вЂ” ~ — ! = †, — ~ †), 13. Только уравнения дС ~ 4ласС ) 4лаа д! ~ С )' Гхаеа )1'. 44 Х вЂ”вЂ” ! пл , лл пла 5!П Хе 51П Х Спа ла — 2Ы2 1.
и(Х, С)= пс к« (! — х«) «=1 1 (Т Р«х«(! х«) ° 2Р %ч ! . пл пл , пал 2. и (х, С) = — 7 — 51п — хе 5!и х 51п — С. пар уд л ! «1 гиперболического типа вида ас,и„„+ 2асаикс+ амим = О, Скорость а определяется иа уравнения а„а* — 2ат,а+ аса- О. 14. Только уравнения гиперболического типа с коаффициентами, удовлет.
воряющими соотношениям асеас — 2асса + асс = О, Ьс — Ьса — 2р (асс — асса) = О, аа,ае — рЬ2 + с = О. Р У к а з а н и е. и (х, 0) = О, и! (х, 0) = — 6 (х — х,). р а 8(ре 'в» ( — 1)" 2л+1 2л+1 3. и(х, с) = —, г 5!и нх соз анс. а=з Ре У к а з а н и е. и (х, 0) = — х, ис (х, 0) = О. ЕЯ 2Р соз — х 51и — аг !»а .
ра ! и (х С) = ~ » где ра — положи"" '(" (".-,.:) ( тельные корни уравнения р !8 р = Сс.(. а ЛаС и. и (Г, С) = ~„Сае '" — 51и — Г, где р„= р»Ла Я, Г йс ГС (Г) 5»П Г ССГ, сс е 2 и Р~+ (ЯС» — !) ! старз + (»сгс — !) СГС»!з р„— положительные корни уравнения 1д р = . У к а з а н и е. )с 1 — ЬС»» ' = о/Г и а*-= О»С. Л а С 1 6.
и (Г, С) = у С„е " — Ф„(Г), где Г = ( — рд р»~. ° + у )., УЛ„Г, я, 1 С„ = , ( Г( (,) Ф„ (,),СГ, я !(Ф„)~~ = ) Ф„(Г) »1», я» корни уравнения Фа (Г) ˄— положительные нл нс» Ф„р(х, у)=5!и — х 51п — у (и, р=1, 2, ..). 360 )»»з (1 — Ссср»с) — (1 — Ссзйз) '( ' — '= И,Л+(1 й,Я,)(1 И.Р,) иа з) С»ир = » б) оир = 0; в) Р»ар равно наименьшему положитель. У~' ному кОРню уравненвя (! С»СС) !д — ст = — )с, 8. Для краевых условий р»р ИТ а а первого типа: л' блв В случае квадрата (1 =- й) Лл р = — (из+ ра), Лт, Б = ЛБ, 1= — в, но 2л л л , 2л Фц 5 (х, у) = Б!и — х 51п — у ~ ФБ, 1 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
